حلقة بولياكوف

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعدّ حلقة بولياكوف النظير الحراري لحلقة ويلسون ، حيث تعمل كمعامل ترتيب للحصر في نظريات القياس البحتة عند درجات حرارة غير صفرية . وهي تحديدًا حلقة ويلسون تلتف حول الاتجاه الزمني الإقليدي المضغوط لنظرية الحقل الكمومي الحراري . وتشير إلى الحصر لأن قيمتها المتوقعة في الفراغ يجب أن تتلاشى في طور الحصر نظرًا لعدم ثباتها تحت تحويلات القياس المركزية. وينتج هذا أيضًا من حقيقة أن القيمة المتوقعة مرتبطة بالطاقة الحرة للكواركات الفردية ، والتي تتباعد في هذا الطور. وقد طُرحت هذه الحلقات من قِبل ألكسندر م. بولياكوف عام 1975، ^{[ 1 ]} ويمكن استخدامها أيضًا لدراسة الجهد الكامن بين أزواج الكواركات عند درجات حرارة غير صفرية.

تُصاغ نظرية الحقل الكمومي الحراري في فضاء الزمكان الإقليدي مع اتجاه زمني تخيلي مضغوط بطول${\displaystyle \beta }$يتوافق هذا الطول مع مقلوب درجة حرارة المجال${\displaystyle \beta \propto 1/T}$يؤدي التكثيف إلى فئة خاصة من حلقات ويلسون غير التافهة طوبولوجيًا والتي تلتف حول الاتجاه المضغوط، والمعروفة باسم حلقات بولياكوف . ^{[ 2 ]}${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$نظريات حلقة بولياكوف مستقيمة على إحداثيات مكانية${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$يُعطى بواسطة

أين${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هو عامل ترتيب المسار و${\displaystyle A_{4}}$يمثل المكون الزمني الإقليدي لحقل القياس. في نظرية حقل الشبكة، يُعاد صياغة هذا المؤثر بدلالة حقول الربط الزمني.${\displaystyle U_{4}({\boldsymbol {m}},j)}$في موقع مكاني${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$كما ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {m}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}{\bigg [}\prod _{j=0}^{N_{T}-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.}$

يجب مراعاة حد الاستمرارية للشبكة بعناية لضمان أن يكون للاتجاه المضغوط امتداد ثابت. ويتم ذلك من خلال ضمان أن يكون عدد نقاط الشبكة الزمنية محدودًا${\displaystyle N_{T}}$بحيث${\displaystyle \beta =N_{T}a}$ثابت مثل تباعد الشبكة${\displaystyle a}$يصبح صفراً.

يجب أن تستوفي حقول القياس شرط الدورية${\displaystyle A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})}$في الاتجاه المضغوط. في الوقت نفسه، لا تحتاج تحويلات القياس إلا إلى استيفاء هذا الشرط حتى حد مركز المجموعة .${\displaystyle h}$مثل${\displaystyle \Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=h\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4})}$يمكن لتغيير الأساس دائمًا أن يجعل هذا الأمر قطريًا بحيث${\displaystyle h=zI}$بالنسبة للعدد المركب${\displaystyle z}$حلقة بولياكوف غير تافهة طوبولوجيًا في الاتجاه الزمني، لذا فهي، على عكس حلقات ويلسون الأخرى، تتحول كما${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow z\Phi ({\boldsymbol {x}})}$في ظل هذه التحويلات. ^{[ 5 ]} بما أن هذا يجعل مقياس الحلقة يعتمد على${\displaystyle z\neq 1}$، وفقًا لنظرية إليتزور، فإن القيم المتوقعة غير الصفرية لـ${\displaystyle \langle \Phi \rangle }$يشير ذلك إلى ضرورة انكسار المجموعة المركزية تلقائيًا ، مما يعني الحصر في نظرية القياس البحتة. وهذا يجعل حلقة بولياكوف مُعامل ترتيب للحصر في نظرية القياس الحرارية البحتة، مع حدوث طور الحصر عندما${\displaystyle \langle \Phi \rangle =0}$ومرحلة فك الحصر عندما${\displaystyle \langle \Phi \rangle \neq 0}$^{[ 6 ]} على سبيل المثال، تُظهر حسابات الشبكة للديناميكا اللونية الكمومية مع الكواركات الثقيلة للغاية التي تنفصل عن النظرية أن انتقال طور فك الحصر يحدث عند درجة حرارة تقارب 100 درجة مئوية.${\displaystyle 270}$MeV. ^{[ 7 ]} في الوقت نفسه، في نظرية قياس مع الكواركات، فإن هذه تكسر المجموعة المركزية وبالتالي يجب استنتاج الحصر بدلاً من ذلك من طيف الحالات التقاربية، الهادرونات المحايدة اللون .

بالنسبة لنظريات القياس التي تفتقر إلى مركز مجموعة غير تافه يمكن كسره في طور الحصر، فإن القيم المتوقعة لحلقة بولياكوف لا تساوي الصفر حتى في هذا الطور. ومع ذلك، فهي لا تزال مؤشرًا جيدًا للحصر لأنها تشهد عمومًا قفزة حادة عند الانتقال الطوري . هذا هو الحال، على سبيل المثال، في نموذج هيغز مع مجموعة القياس الاستثنائية${\displaystyle G_{2}}$[ ^{8 ]​}

يفتقر نموذج نامبو -جونا-لاسينيو إلى تناظر اللون المحلي، وبالتالي لا يمكنه رصد تأثيرات الحصر. مع ذلك، يمكن استخدام حلقات بولياكوف لبناء نموذج نامبو-جونا-لاسينيو الموسع بحلقات بولياكوف، والذي يعامل كلاً من المكثف الكيرالي وحلقات بولياكوف كحقول متجانسة كلاسيكية تقترن بالكواركات وفقًا لتناظرات وأنماط كسر التناظر في الديناميكا اللونية الكمومية. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

الطاقة المجانية${\displaystyle F}$ل${\displaystyle N}$الكواركات و${\displaystyle {\bar {N}}}$يتم إعطاء الكواركات المضادة ، بعد طرح طاقة الفراغ ، بدلالة دوال الارتباط لحلقات بولياكوف ^{[ 12 ].}

${\displaystyle e^{-\beta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\dots \Phi ({\boldsymbol {x}}_{N_{q}})\Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle .}$

تُعدّ هذه الطاقة الحرة طريقة أخرى لإثبات أن حلقة بولياكوف تعمل كمعامل ترتيب للحصر، حيث تُعطى الطاقة الحرة للكوارك الواحد بالعلاقة التالية:${\displaystyle e^{-\beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle }$[ ^{13 ] إن} حصر الكواركات يعني أنه سيتطلب كمية لا نهائية من الطاقة لإنشاء تكوين مع كوارك حر واحد، وبالتالي يجب أن تكون طاقته الحرة لا نهائية، وبالتالي يجب أن تتلاشى القيمة المتوقعة لحلقة بولياكوف في هذه المرحلة، بما يتفق مع حجة كسر التناظر المركزي.

يمكن أيضًا استخدام صيغة الطاقة الحرة لحساب الجهد بين زوج من الكواركات ذات الكتلة اللانهائية والمفصولة مكانيًا بـ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}$هنا تكمن الإمكانات${\displaystyle V(r)}$يمثل الحد الأول في الطاقة الحرة، وبالتالي فإن دالة الارتباط لحلقتي بولياكوف هي

${\displaystyle \langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-\beta \Delta E(r)})))،}$

أين${\displaystyle \Delta E}$يمثل فرق الطاقة بين الجهد والحالة المثارة الأولى . في طور الحصر، يكون الجهد خطيًا.${\displaystyle V(r)=\sigma r}$حيث يُعرف ثابت التناسب باسم شد الوتر. ويكون شد الوتر الناتج عن حلقة بولياكوف محدودًا دائمًا من الأعلى بشد الوتر الناتج عن حلقة ويلسون. ^{[ 14 ]}

• بلازما الكوارك-غلوون
• حلقة هوفت