السلف (فيزياء)

تعتبر الموجات الأولية أنماط موجية مميزة ناجمة عن تشتت مكونات تردد النبضة أثناء انتشارها عبر وسط. ومن الناحية الكلاسيكية، تسبق الموجات الأولية الإشارة الرئيسية، على الرغم من أنها قد تتبعها أيضًا في مواقف معينة. توجد ظاهرة الموجات الأولية لجميع أنواع الموجات، حيث يعتمد ظهورها فقط على بروز تأثيرات التشتت في وضع معين من انتشار الموجة. وقد تم تأكيد هذا الغموض من خلال ملاحظة أنماط الموجات الأولية في أنواع مختلفة من الإشعاع الكهرومغناطيسي ( الموجات الدقيقة ، ^[1] والضوء المرئي ، ^[2] وإشعاع التيراهيرتز ^[3] ) وكذلك في موجات سطح السوائل ^[4] والموجات الزلزالية . ^[5]

تم التنبؤ بالسلائف لأول مرة نظريًا في عام 1914 بواسطة أرنولد سومرفيلد لحالة الإشعاع الكهرومغناطيسي الذي ينتشر عبر عازل محايد في منطقة التشتت الطبيعي. ^[6] تم توسيع عمل سومرفيلد في السنوات التالية بواسطة ليون بريلوين ، الذي طبق تقريب نقطة السرج لحساب التكاملات المعنية. ^[6] ومع ذلك، لم يتم تأكيد السلائف تجريبيًا لأول مرة حتى عام 1969 لحالة انتشار الموجات الدقيقة في موجه الموجات، ^[1] وقد تم إجراء الكثير من العمل التجريبي لمراقبة السلائف في أنواع أخرى من الموجات منذ عام 2000 فقط. يرجع هذا التأخير التجريبي بشكل أساسي إلى حقيقة أنه في العديد من المواقف، يكون للسلائف سعة أصغر بكثير من الإشارات التي تؤدي إليها (الرقم الأساسي الذي قدمه بريلوين أصغر بستة أوامر من حيث الحجم). ^[6] ونتيجة لذلك، لم يكن من الممكن إجراء التأكيدات التجريبية إلا بعد توفر التكنولوجيا لاكتشاف السلائف.

باعتبارها ظاهرة تشتتية، يمكن التعبير عن سعة الموجة السابقة المنتشرة في بعد واحد عند أي مسافة وزمن بواسطة التكامل الفوري.

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int {\hat {\zeta }}_{0}(\omega )\exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]d\omega }$

حيث يمثل تحويل فورييه للنبضة الأولية ويمثل الأس المركب الموجات المكونة الفردية التي تم جمعها في التكامل. ولتوضيح تأثيرات التشتت، يجب أن تتضمن مرحلة الأس علاقة التشتت (هنا، العامل) للوسط المحدد الذي تنتشر فيه الموجة. ${\displaystyle {\hat {\zeta }}_{0}(\أوميغا )}$${\displaystyle \exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]}$${\displaystyle k(\omega )}$

لا يمكن حل التكامل أعلاه إلا في شكل مغلق عندما يتم وضع افتراضات مثالية حول الدافع الأولي وعلاقة التشتت، كما هو الحال في اشتقاق سومرفيلد أدناه. في معظم الحالات الواقعية، يلزم التكامل العددي لحساب التكامل.

بافتراض أن النبضة الأولية تأخذ شكل جيب تمام يتم تشغيلها فجأة في الوقت المناسب ، ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{rl}0&t<0\\\sin {\frac {2\pi t}{\tau }}&t\geq 0\end{array}}\right.,}$

ومن ثم يمكننا كتابة التكامل العام المعطى في القسم السابق على النحو التالي:

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int e^{-i(k(\omega )x-\omega t)}{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

من أجل التبسيط، نفترض أن الترددات المعنية كلها تقع في نطاق التشتت الطبيعي للوسط، ونترك علاقة التشتت تأخذ الشكل

${\displaystyle k(\omega )={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _ {0}^{2}-\أوميغا ^{2}}}}}}$

حيث أن ، هو عدد المذبذبات الذرية في الوسط، وشحنة وكتلة كل منها، والتردد الطبيعي للمذبذبات، ونفاذية الفراغ . وهذا يعطي التكامل ${\displaystyle a^{2}={\frac {Nq^{2}}{m\epsilon _{0}\omega _{0}^{2}}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle q}$${\displaystyle م}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left(x{\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}-\omega t\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

لحل هذا التكامل، نعبر أولاً عن الوقت من حيث الوقت المتأخر ، وهو أمر ضروري لضمان عدم انتهاك الحل للسببية من خلال الانتشار بسرعة أكبر من . نعامل أيضًا على أنه كبير ونتجاهل المصطلح احترامًا للمصطلح من الدرجة الثانية . أخيرًا، نستبدل ، لنحصل على ${\displaystyle t'=t-{\frac {x}{c}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \أوميغا |}$${\displaystyle {\frac {2\pi }{\tau }}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \xi ={\frac {a^{2}\أوميغا _{0}^{2}}{2c}}x}$

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left({\frac {\xi }{\omega }}+\omega t'\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

إعادة كتابة هذا على النحو التالي

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i{\sqrt {\xi t'}}\left({\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {\xi }{t'}}}+\omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

وإجراء التبديلات

${\displaystyle \omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}=e^{ik},\qquad {\frac {d\omega }{\omega }}=idk,\qquad {\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}=i{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}e^{-ik}dk}$

يسمح بتحويل التكامل إلى

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {i}{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\int \exp \left[-2i{\sqrt {\xi t'}}\cos k\right]e^{-ik}dk,}$

حيث هو مجرد متغير وهمي، وأخيرًا ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(\xi ,t')={\frac {2\pi }{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}J_{1}\left(2{\sqrt {\xi t'}}\right),}$

حيث هي دالة بيسل من النوع الأول. هذا الحل، الذي هو دالة تذبذبية ذات سعة وفترة تزدادان مع زيادة الوقت، هو سمة مميزة لنوع معين من السلف المعروف باسم سلف سومرفيلد . ^[7]${\displaystyle J_{1}}$

يمكن استخدام تقريب الطور الثابت لتحليل شكل الموجات السلفية دون حل التكامل العام الموضح في قسم النظرية الأساسية أعلاه. ينص تقريب الطور الثابت على أنه لأي سرعة انتشار موجة يتم تحديدها من أي مسافة وزمن ، فإن التردد السائد للموجة السلفية هو التردد الذي تساوي سرعة مجموعته : ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \omega _{D}}$${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$

${\displaystyle v_{g}(\omega _{D})=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{\omega _{D}}={\frac {x}{t}}.}$

لذلك، يمكن للمرء تحديد الفترة التقريبية لشكل موجة السلف عند مسافة ووقت معينين عن طريق حساب فترة مكون التردد الذي سيصل إلى تلك المسافة والوقت بناءً على سرعة مجموعته. في منطقة التشتت الطبيعي، يكون للمكونات عالية التردد سرعة مجموعة أسرع من المكونات منخفضة التردد، لذلك يجب أن يكون للجزء الأمامي من السلف فترة تتوافق مع فترة المكون الأعلى ترددًا للنبضة الأصلية؛ مع زيادة الوقت، تصل المكونات ذات الترددات المنخفضة والمنخفضة، وبالتالي تصبح فترة السلف أطول وأطول حتى يصل المكون الأقل ترددًا. ومع وصول المزيد والمزيد من المكونات، تزداد أيضًا سعة السلف. يُعرف النوع الخاص من السلف الذي يتميز بزيادة الفترة والسعة باسم سلف سومرفيلد عالي التردد .

في منطقة التشتت الشاذ، حيث تكون سرعات المجموعة للمكونات منخفضة التردد أسرع من سرعات المجموعة للمكونات عالية التردد، يحدث عكس الموقف المذكور أعلاه: يتميز ظهور الموجة الأولية بفترة طويلة، وتقل فترة الإشارة بمرور الوقت. يُطلق على هذا النوع من الموجات الأولية موجة أولية منخفضة التردد من نوع سومرفيلد .

في حالات معينة من انتشار الموجة (على سبيل المثال، موجات سطح السائل)، قد يكون لمكونين أو أكثر من مكونات التردد نفس سرعة المجموعة لنطاقات معينة من التردد؛ وعادةً ما يكون هذا مصحوبًا بتطرف محلي في منحنى سرعة المجموعة. وهذا يعني أنه بالنسبة لقيم معينة من الوقت والمسافة، سيتكون شكل الموجة السلف من تراكب لكل من أسلاف سومرفيلد منخفضة وعالية التردد. أي تطرفات محلية تتوافق فقط مع الترددات الفردية، لذلك في هذه النقاط سيكون هناك مساهمة من إشارة سلف بفترة ثابتة؛ وهذا ما يُعرف باسم سلف بريلوين .