تسلسل الدمى

في الرياضيات ، تُعدّ متتالية بوب بناءً من نظرية التماثل ، وقد سُمّيت نسبةً إلى ديتر بوب . تأتي هذه المتتالية في صورتين: متتالية تامة طويلة ، تُبنى من ألياف التطبيق (وهي تليف )، ومتتالية تامة مشتركة طويلة، تُبنى من مخروط التطبيق (وهو تليف مشترك ). ^{[ 1 ]} وبشكلٍ بديهي، تُمكّننا متتالية بوب من التفكير في نظرية التماثل كدالة تأخذ الفضاءات إلى متتاليات تامة طويلة من الزمر. كما أنها مفيدة كأداة لبناء متتاليات تامة طويلة من زمر التماثل النسبي .

سلسلة من المساحات المنقطة والخرائط المنقطة$${\displaystyle \dots \to X_{n+1}\to X_{n}\to X_{n-1}\to \dots }$$يُطلق عليه اسم دقيق إذا كان التسلسل المستحث$${\displaystyle \dots \to [Z,X_{n+1}]\to [Z,X_{n}]\to [Z,X_{n-1}]\to \dots }$$تكون دقيقة كسلسلة من المجموعات المشار إليها (مع اعتبار نواة الخريطة هي تلك العناصر التي تم تعيينها إلى نقطة الأساس) لكل فضاء مشار إليه${\displaystyle Z}$.

يترك${\displaystyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$لتكن خريطة متصلة بين فضاءات محددة ، ولتكن${\displaystyle Mf}$لنرمز إلى ألياف التحويل ( التليف الثنائي لمخروط التحويل ). عندئذٍ نحصل على تسلسل دقيق:

${\displaystyle Mf\to X\to Y}$

حيث يتم تعريف ألياف التخطيط على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Mf=\{(x,\omega )\in X\times Y^{I}:\omega (0)=y_{0}{\mbox{ and }}\omega (1)=f(x)\}}$

لاحظ أن مساحة الحلقة$أوميغا واي$يحقن في ألياف التخطيط:${\displaystyle \Omega Y\to Mf}$لأنها تتكون من تلك الخرائط التي تبدأ وتنتهي عند نقطة الأساس${\displaystyle y_{0}}$يمكن للمرء بعد ذلك أن يثبت أن المتتالية المذكورة أعلاه تمتد إلى المتتالية الأطول

${\displaystyle \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

يمكن بعد ذلك تكرار عملية البناء للحصول على تسلسل الدمى الدقيق

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}(Mf)\to \Omega ^{2}X\to \Omega ^{2}Y\to \Omega (Mf)\to \Omega X\to \Omega Y\to Mf\to X\to Y}$

غالباً ما يكون التسلسل الدقيق أكثر ملاءمة من التسلسل المتطابق في التطبيقات العملية، كما يوضح جوزيف ج. روتمان : ^{[ 1 ]}

تتضمن الإنشاءات المختلفة (للمتتالية المتطابقة) فضاءات القسمة بدلاً من الفضاءات الجزئية، وبالتالي تتطلب جميع الخرائط والتماثلات مزيدًا من التدقيق لضمان أنها محددة جيدًا ومستمرة.

يترك${\displaystyle f\colon A\to B}$لتكن دالة متصلة بين مجمعات CW ولتكن${\displaystyle C(f)}$لنرمز إلى مخروط التطبيق لـ f ، (أي، الألياف المشتركة للتطبيق f )، بحيث يكون لدينا متتالية (ألياف مشتركة):

${\displaystyle A\to B\to C(f)}$.

الآن يمكننا تشكيل${\displaystyle \Sigma A}$و${\displaystyle \Sigma B,}$معلقات من A و B على التوالي، وكذلك${\displaystyle \Sigma f\colon \Sigma A\to \Sigma B}$(وذلك لأن التعليق يمكن اعتباره دالة ) ، مما يؤدي إلى الحصول على تسلسل:

${\displaystyle \Sigma A\to \Sigma B\to C(\Sigma f)}$.

لاحظ أن التعليق يحافظ على تسلسل الألياف المشتركة.

وبسبب هذه الحقيقة القوية، نعلم أن${\displaystyle C(\Sigma f)}$مكافئ تماثليًا لـ${\displaystyle \Sigma C(f).}$عن طريق الانهيار${\displaystyle B\subset C(f)}$إلى حد ما، يمتلك المرء خريطة طبيعية${\displaystyle C(f)\to \Sigma A.}$وبالتالي لدينا متتالية:

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f).}$

بتكرار هذا البناء، نحصل على متتالية Puppe المرتبطة بـ${\displaystyle A\to B}$:

${\displaystyle A\to B\to C(f)\to \Sigma A\to \Sigma B\to \Sigma C(f)\to \Sigma ^{2}A\to \Sigma ^{2}B\to \Sigma ^{2}C(f)\to \Sigma ^{3}A\to \Sigma ^{3}B\to \Sigma ^{3}C(f)\to \cdots }$

من السهل في علم الطوبولوجيا أن نرى أن كل ثلاثة عناصر من متتالية بوبي تكون، حتى التماثل، على الشكل التالي:

${\displaystyle X\to Y\to C(f)}$.

ونعني بـ "حتى التماثل" هنا أن كل 3 عناصر في متتالية Puppe تكون من الشكل المذكور أعلاه إذا اعتبرت كائنات ومورفيزمات في فئة التماثل .

إذا أُعطينا الآن دالة طوبولوجية نصف تامة ، فإن الخاصية المذكورة أعلاه تعني أنه بعد تطبيق الدالة المعنية على متتالية بوبي المرتبطة بـ${\displaystyle A\to B}$، يحصل المرء على متتالية طويلة ودقيقة .

إحدى النتائج، التي تعود إلى جون ميلنور ، ^{[ 2 ]} هي أنه إذا أخذنا بديهيات إيلنبرغ-ستينرود لنظرية التماثل ، واستبدلنا الاستئصال بالتسلسل الدقيق لتليف ضعيف من الأزواج، فسنحصل على نظير التماثل لنظرية إيلنبرغ-ستينرود : يوجد تسلسل فريد من الدوال.${\displaystyle \pi _{n}\colon P\to {\bf {Sets}}}$مع P فئة جميع الأزواج المدببة من الفضاءات الطوبولوجية.

بما أن هناك نوعين من التعليق ، غير المختزل والمختزل ، يمكن للمرء أيضًا أن ينظر في متواليات Puppe غير المختزلة والمختزلة (على الأقل عند التعامل مع المساحات المدببة ، عندما يكون من الممكن تشكيل تعليق مختزل).

• إدوين سبانير ، الطوبولوجيا الجبرية ، سبرينغر-فيرلاغ (1982) طبعة معاد طباعتها، ماكجرو هيل (1966)