وظيفة Q

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 84 صور
الموسوعة الحرة
رسم بياني لدالة Q.

في الإحصاء ، دالة Q هي دالة توزيع الذيل للتوزيع الطبيعي القياسي . [ 1 ] [ 2 ] بعبارة أخرى،سؤال(x){\displaystyle Q(x)}هي احتمالية أن يحصل متغير عشوائي طبيعي (غاوسي) على قيمة أكبر منx{\displaystyle x}الانحرافات المعيارية. أو بعبارة أخرى،سؤال(x){\displaystyle Q(x)}هي احتمالية أن يأخذ متغير عشوائي طبيعي معياري قيمة أكبر منx{\displaystyle x}.

لوY{\displaystyle Y}هو متغير عشوائي غاوسي بمتوسطμ{\displaystyle \mu }والتباينσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}، ثمX=Y-μσ{\displaystyle X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}}هو الوضع الطبيعي القياسي و

P(Y>y)=P(X>x)=سؤال(x){\displaystyle P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)}

أينx=y-μσ{\displaystyle x={\frac {y-\mu }{\sigma }}}.

تُستخدم أحيانًا تعريفات أخرى لدالة Q ، وكلها عبارة عن تحويلات بسيطة لدالة التوزيع التراكمي الطبيعي. [ 3 ]

بسبب علاقتها بدالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي، يمكن أيضًا التعبير عن دالة Q بدلالة دالة الخطأ ، وهي دالة مهمة في الرياضيات التطبيقية والفيزياء.

التعريف والخصائص الأساسية

تُعرَّف دالة Q رسميًا على النحو التالي:

سؤال(x)=12π∫x∞خبرة⁡(-u22)دu.{\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.}

هكذا،

سؤال(x)=1-سؤال(-x)=1-Φ(x)،{\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}

أينΦ(x){\displaystyle \Phi (x)}هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي الغاوسي .

يمكن التعبير عن دالة Q بدلالة دالة الخطأ ، أو دالة الخطأ التكميلية، كما في [ 2 ]

سؤال(x)=12(2π∫x/2∞خبرة⁡(-ت2)دت)=12-12قطعة أرض⁡(x2)   -أو-=12erfc⁡(x2).\begin{aligned}Q(x)&=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x/\sqrt{2}}}^{\infty}\exp\left(-t^2\right)\,dt\right)\\&=\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}}\right)~~\text{-or-}}\\&=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}}\right).\end{aligned}}}

يتم التعبير عن شكل بديل لدالة Q المعروفة باسم صيغة كريج، نسبة إلى مكتشفها، على النحو التالي: [ 4 ]

سؤال(x)=1π∫0π2خبرة⁡(-x22الخطيئة2⁡θ)دθ.{\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .}

لقد نُسبت الصيغة التكاملية الصحيحة المذكورة أعلاه لدالة Q، خطأً، إلى كريج. وقد تم التلميح إلى هذه الصيغة لدالة Q في أعمال سابقة لويستن [ 5 ] ، وتم ذكرها صراحةً من قبل باولا ورايس وروبرتس [ 6 ] .

هذا التعبير صالح فقط للقيم الموجبة لـ x ، ولكن يمكن استخدامه مع Q ( x ) = 1 − Q ( −x ) للحصول على Q ( x ) للقيم السالبة. تتميز هذه الصيغة بأن نطاق التكامل ثابت ومحدود.

تم توسيع صيغة كريج لاحقًا بواسطة بهناد (2020) [ 7 ] لدالة Q لمجموع متغيرين غير سالبين، على النحو التالي:

دالة Q مرسومة في المستوى المركب
دالة Q مرسومة في المستوى المركب
سؤال(x+y)=1π∫0π2خبرة⁡(-x22الخطيئة2⁡θ-y22كوس2⁡θ)دθ،x،y⩾0.{\displaystyle Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\right)d\theta ,\quad x,y\geqslant 0.}

الحدود والتقريبات

(x1+x2)ϕ(x)<سؤال(x)<ϕ(x)x،x>0،{\displaystyle \left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)\phi (x)<Q(x)<{\frac {\phi (x)}{x}},\qquad x>0,}
أينϕ(x){\displaystyle \phi (x)}هي دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي القياسي، وتصبح الحدود أكثر إحكامًا بالنسبة لقيم x الكبيرة .
باستخدام الاستبدال v = u 2 /2، يتم اشتقاق الحد الأعلى على النحو التالي:
سؤال(x)=∫x∞ϕ(u)دu<∫x∞uxϕ(u)دu=∫x22∞هـ-vx2πدv=-هـ-vx2π|x22∞=ϕ(x)x.{\displaystyle Q(x)=\int _{x}^{\infty }\phi (u)\,du<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\phi (u)\,du=\int _{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}
وبالمثل، باستخدامϕ′(u)=-uϕ(u){\displaystyle \phi '(u)=-u\phi (u)}وقاعدة القسمة ،
(1+1x2)سؤال(x)=∫x∞(1+1x2)ϕ(u)دu>∫x∞(1+1u2)ϕ(u)دu=-ϕ(u)u|x∞=ϕ(x)x.{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)Q(x)=\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\phi (u)\,du>\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)\phi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\phi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}
يؤدي حل Q ( x ) إلى توفير الحد الأدنى.
يُعطي المتوسط ​​الهندسي للحدين الأعلى والأدنى تقريبًا مناسبًا لـسؤال(x){\displaystyle Q(x)}:
سؤال(x)≈ϕ(x)1+x2،x≥0.{\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\phi (x)}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geq 0.}
  • حدود وتقريبات أكثر دقة لـسؤال(x){\displaystyle Q(x)}ويمكن الحصول عليها أيضًا عن طريق تحسين التعبير التالي [ 9 ]
سؤال~(x)=ϕ(x)(1-أ)x+أx2+ب.{\displaystyle {\tilde {Q}}(x)={\frac {\phi (x)}{(1-a)x+a{\sqrt {x^{2}+b}}}}.}
لx≥0{\displaystyle x\geq 0}، ويُعطى أفضل حد أعلى بواسطةأ=0.344{\displaystyle a=0.344}وب=5.334{\displaystyle b=5.334}مع حد أقصى للخطأ النسبي المطلق يبلغ 0.44%. وبالمثل، فإن أفضل تقريب يُعطى بواسطةأ=0.339{\displaystyle a=0.339}وب=5.510{\displaystyle b=5.510}مع أقصى خطأ نسبي مطلق قدره 0.27%. وأخيرًا، يُعطى أفضل حد أدنى بواسطة أ=1/π{\displaystyle a=1/\pi }وب=2π{\displaystyle b=2\pi }مع حد أقصى للخطأ النسبي المطلق يبلغ 1.17%.
  • حد تشيرنوف للدالة Q هو
سؤال(x)≤هـ-x22،x>0{\displaystyle Q(x)\leq e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}
  • الحدود الأسية المحسنة والتقريب الأسي البحت [ 10 ]
سؤال(x)≤14هـ-x2+14هـ-x22≤12هـ-x22،x>0{\displaystyle Q(x)\leq {\tfrac {1}{4}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}
سؤال(x)≈112هـ-x22+14هـ-23x2،x>0{\displaystyle Q(x)\approx {\frac {1}{12}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}x^{2}},\qquad x>0}
  • وقد عمم تاناش ورييهونين (2020) [ 11 ] ما سبق ، حيث أظهرا أنسؤال(x){\displaystyle Q(x)}يمكن تقريبها أو تحديد حدودها بدقة بواسطة
سؤال~(x)=∑ن=1شمالأنهـ-بنx2.{\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}
وعلى وجه الخصوص، قدموا منهجية منهجية لحل المعاملات العددية{(أن،بن)}ن=1شمال{\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}والتي تُنتج تقريبًا أو حدًا أدنى :سؤال(x)≈سؤال~(x){\displaystyle Q(x)\approx {\tilde {Q}}(x)}،سؤال(x)≤سؤال~(x){\displaystyle Q(x)\leq {\tilde {Q}}(x)}، أوسؤال(x)≥سؤال~(x){\displaystyle Q(x)\geq {\tilde {Q}}(x)}لx≥0{\displaystyle x\geq 0}باستخدام معاملات المثال المجدولة في الورقة البحثية لـشمال=20{\displaystyle N=20}تكون أخطاء التقريب النسبية والمطلقة أقل من2.831⋅10-6{\displaystyle 2.831\cdot 10^{-6}}و1.416⋅10-6{\displaystyle 1.416\cdot 10^{-6}}، على التوالي. المعاملات{(أن،بن)}ن=1شمال{\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}بالنسبة للعديد من الاختلافات في التقريبات الأسية والحدود حتىشمال=25{\displaystyle N=25}تم نشرها للوصول المفتوح كمجموعة بيانات شاملة. [ 12 ]
  • تقريب آخر لـسؤال(x){\displaystyle Q(x)}لx∈[0،∞){\displaystyle x\in [0,\infty )}وقد قدم كاراغيانديس وليومباس (2007) [ 13 ] هذا الأمر ، حيث أوضحا الاختيار المناسب للمعاملات.{أ،ب}{\displaystyle \{A,B\}}الذي - التي
و(x؛أ،ب)=(1-هـ-أx)هـ-x2بπx≈erfc⁡(x).{\displaystyle f(x;A,B)={\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}\approx \operatorname {erfc} \left(x\right).}
الخطأ المطلق بينو(x؛أ،ب){\displaystyle f(x;A,B)}وerfc⁡(x){\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}على مدى[0،R]{\displaystyle [0,R]}يتم تقليلها عن طريق التقييم
{أ،ب}=arg⁡مين{أ،ب}1R∫0R|و(x؛أ،ب)-erfc⁡(x)|دx.{\displaystyle \{A,B\}={\underset {\{A,B\}}{\arg \min }}{\frac {1}{R}}\int _{0}^{R}|f(x;A,B)-\operatorname {erfc} (x)|dx.}
استخدامR=20{\displaystyle R=20}وبعد إجراء التكامل العددي، وجدوا أن أقل خطأ يحدث عندما{أ،ب}={1.98،1.135}،{\displaystyle \{A,B\}=\{1.98,1.135\},}مما أعطى تقريبًا جيدًا لـ∀x≥0.{\displaystyle \forall x\geq 0.}
باستبدال هذه القيم واستخدام العلاقة بينسؤال(x){\displaystyle Q(x)}وerfc⁡(x){\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}من الأعلى يعطي
سؤال(x)≈(1-هـ-1.98x2)هـ-x221.1352πx،x≥0.{\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\left(1-e^{\frac {-1.98x}{\sqrt {2}}}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{1.135{\sqrt {2\pi }}x}},x\geq 0.}
تتوفر أيضًا معاملات بديلة لتقريب "كاراغيانديس-ليومباس" المذكور أعلاه لتخصيص الدقة لتطبيق معين أو لتحويلها إلى حد دقيق. [ 14 ]
  • تقريب أكثر دقة وسهولة في التعامل معسؤال(x){\displaystyle Q(x)}للحجج الإيجابيةx∈[0،∞){\displaystyle x\in [0,\infty )}تم تقديمه بواسطة López-Benítez & Casadevall (2011) [ 15 ] بناءً على دالة أسية من الدرجة الثانية:
سؤال(x)≈هـ-أx2-بx-ج،x≥0.{\displaystyle Q(x)\approx e^{-ax^{2}-bx-c},\qquad x\geq 0.}
معاملات المطابقة(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}يمكن تحسينها على أي نطاق مرغوب من الوسائط لتقليل مجموع مربعات الأخطاء (أ=0.3842{\displaystyle a=0.3842}،ب=0.7640{\displaystyle b=0.7640}،ج=0.6964{\displaystyle c=0.6964}لx∈[0،20]{\displaystyle x\in [0,20]}) أو تقليل الحد الأقصى للخطأ المطلق (أ=0.4920{\displaystyle a=0.4920}،ب=0.2887{\displaystyle b=0.2887}،ج=1.1893{\displaystyle c=1.1893}لx∈[0،20]{\displaystyle x\in [0,20]}). يوفر هذا التقريب بعض المزايا، مثل التوازن الجيد بين الدقة وسهولة التحليل (على سبيل المثال، إمكانية التمديد إلى أي قوة عشوائية لـسؤال(x){\displaystyle Q(x)}(وهو أمر تافه ولا يغير الشكل الجبري للتقريب).
  • زوج من الحدود الدنيا والعليا الدقيقة لدالة Q الغاوسية للقيم الموجبةx∈[0،∞){\displaystyle x\in [0,\infty )}تم تقديمها بواسطة Abreu (2012) [ 16 ] بناءً على تعبير جبري بسيط يحتوي على حدين أسيين فقط:
سؤال(x)≥112هـ-x2+12π(x+1)هـ-x2/2،x≥0،{\displaystyle Q(x)\geq {\frac {1}{12}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(x+1)}}e^{-x^{2}/2},\qquad x\geq 0,}
سؤال(x)≤150هـ-x2+12(x+1)هـ-x2/2،x≥0.{\displaystyle Q(x)\leq {\frac {1}{50}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2(x+1)}}e^{-x^{2}/2},\qquad x\geq 0.}

هذه الحدود مستمدة من شكل موحدسؤالب(x؛أ،ب)=خبرة⁡(-x2)أ+خبرة⁡(-x2/2)ب(x+1){\displaystyle Q_{\mathrm {B} }(x;a,b)={\frac {\exp(-x^{2})}{a}}+{\frac {\exp(-x^{2}/2)}{b(x+1)}}}، حيث المعلماتأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يتم اختيارها لتلبية شروط محددة تضمن انخفاض (أل=12{\displaystyle a_{\mathrm {L} }=12}،بل=2π{\displaystyle b_{\mathrm {L} }={\sqrt {2\pi }}}) والعلوي (أيو=50{\displaystyle a_{\mathrm {U} }=50}،بيو=2{\displaystyle b_{\mathrm {U} }=2}تُحدد هذه الحدود خصائص معينة. وتتميز الصيغ الناتجة ببساطتها ودقتها، مما يوفر توازناً مثالياً بين الدقة وسهولة المعالجة الرياضية. وتُعد هذه الحدود مفيدة بشكل خاص في التحليل النظري، كما هو الحال في نظرية الاتصالات عبر قنوات التلاشي. بالإضافة إلى ذلك، يمكن توسيع نطاقها ليشمل تحديد حدود أخرى.سؤالن(x){\displaystyle Q^{n}(x)}للأعداد الصحيحة الموجبةن{\displaystyle n}باستخدام نظرية ذات الحدين ، مع الحفاظ على بساطتها وفعاليتها.

Q المعكوس

يمكن ربط دالة Q العكسية بدوال الخطأ العكسية :

سؤال-1(y)=2 هـرو-1(1-2y)=2 هـروج-1(2y){\displaystyle Q^{-1}(y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erf} ^{-1}(1-2y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erfc} ^{-1}(2y)}

الوظيفةسؤال-1(y){\displaystyle Q^{-1}(y)}يُستخدم في الاتصالات الرقمية. ويُعبّر عنه عادةً بوحدة ديسيبل ويُطلق عليه عموماً عامل الجودة (Q-factor ).

سؤال-وأجتoر=20سجل10(سؤال-1(y)) دب{\displaystyle \mathrm {Q{\text{-}}factor} =20\log _{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm {dB} }

حيث يمثل y معدل خطأ البت (BER) للإشارة المعدلة رقميًا قيد التحليل. على سبيل المثال، بالنسبة لتعديل إزاحة الطور التربيعي (QPSK) في ضوضاء غاوسية بيضاء مضافة ، يتطابق عامل الجودة (Q) المحدد أعلاه مع قيمة نسبة الإشارة إلى الضوضاء بالديسيبل التي تُنتج معدل خطأ بت يساوي y .

عامل الجودة مقابل معدل خطأ البت (BER).

قيم

دالة Q مُجدولة بشكل جيد ويمكن حسابها مباشرةً في معظم حزم البرامج الرياضية مثل R والبرامج المتوفرة في Python و MATLAB و Mathematica . بعض قيم دالة Q مُدرجة أدناه للاسترشاد بها.

التعميم إلى الأبعاد العالية

يمكن تعميم دالة Q إلى أبعاد أعلى : [ 17 ]

سؤال(x)=P(X≥x)،{\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \geq \mathbf {x} ),}

أينX∼شمال(0،Σ){\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\,\Sigma )}يتبع التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات مع التباين المشتركΣ{\displaystyle \Sigma }ويكون الحد الأدنى على الشكل التالي x=γΣل*{\displaystyle \mathbf {x} =\gamma \Sigma \mathbf {l} ^{*}}لبعض المتجهات الموجبةل*>0{\displaystyle \mathbf {l} ^{*}>\mathbf {0} }ثابت موجبγ>0{\displaystyle \gamma >0}كما هو الحال في الحالة أحادية البعد، لا توجد صيغة تحليلية بسيطة لدالة Q. ومع ذلك، يمكن تقريب دالة Q بدقة عالية جدًا .γ{\displaystyle \gamma }يصبح أكبر فأكبر. [ 18 ] [ 19 ]

مراجع

  1. ↑ "دالة Q" . cnx.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 29-02-2012.
  2. 1 2 "الخصائص الأساسية لدالة Q" (ملف PDF) . 2009-03-05. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2009-03-25.
  3. ↑ دالة التوزيع الطبيعي – من Wolfram MathWorld
  4. ↑ كريج، جيه دبليو (1991). "نتيجة جديدة وبسيطة ودقيقة لحساب احتمال الخطأ في تشكيلات الإشارات ثنائية الأبعاد" (ملف PDF) . وقائع مؤتمر MILCOM 91. الصفحات 571-575 . doi : 10.1109/MILCOM.1991.258319 . ISBN  0-87942-691-8S2CID 16034807. مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 2012-04-03 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2011-11-16 . 
  5. ↑ وينشتاين، ف. "علاقات مبسطة لتوزيع احتمالية طور موجة جيبية في ضوضاء طبيعية ضيقة النطاق (مراسلات)" . معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 20 (5): 658-661 . doi : 10.1109/TIT.1974.1055272 . ISSN 1557-9654 . 
  6. ↑ باولا، ر.؛ رايس، س.؛ روبرتس، ج. "توزيع زاوية الطور بين متجهين مُشوَّهين بضوضاء غاوسية" . معاملات IEEE في الاتصالات . 30 (8): 1828-1841 . doi : 10.1109/TCOM.1982.1095662 . ISSN 1558-0857 . 
  7. ↑ بهناد، أيدين (2020). "امتداد جديد لصيغة دالة كريج Q وتطبيقها في تحليل أداء EGC ثنائي الفروع". معاملات IEEE في الاتصالات . 68 (7): 4117-4125 . doi : 10.1109/TCOMM.2020.2986209 . S2CID 216500014 . 
  8. ↑ غوردون، آر دي (1941). "قيم نسبة ميلز للمساحة إلى الإحداثي المحيط وتكامل الاحتمال الطبيعي للقيم الكبيرة للوسيط". حوليات الإحصاء الرياضي 12 (3): 364-366 . doi : 10.1214/aoms/1177731721 .
  9. 1 2 بورجيسون، ب.؛ سوندبيرج، سي.-إي. (1979). "تقريبات بسيطة لدالة الخطأ Q(x) لتطبيقات الاتصالات". معاملات IEEE في الاتصالات . 27 (3): 639-643 . doi : 10.1109/TCOM.1979.1094433 .
  10. ↑ شياني، م.؛ دارداري، د.؛ سيمون، م.ك. (2003). "حدود وتقريبات أسية جديدة لحساب احتمالية الخطأ في قنوات التلاشي" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الاتصالات اللاسلكية . 24 (5): 840-845 . doi : 10.1109/TWC.2003.814350 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 20-10-2014 . تم الاسترجاع بتاريخ 20-10-2014 .
  11. ↑ تاناش، آي إم؛ ريهونين، تي. (2020). "تقريبات وحدود المينيماكس العالمية لدالة Q الغاوسية بواسطة مجاميع الدوال الأسية". معاملات IEEE في الاتصالات . 68 (10): 6514-6524 . arXiv : 2007.06939 . doi : 10.1109/TCOMM.2020.3006902 . S2CID 220514754 . 
  12. ↑ تاناش، آي إم؛ ريهونين، تي. (2020). "معاملات التقريبات الدنيا القصوى العالمية وحدود دالة Q الغاوسية بواسطة مجاميع الدوال الأسية [ مجموعة بيانات ] " . زينودو . doi : 10.5281/zenodo.4112978 .
  13. ↑ كاراغيانديس، جورج؛ ليومباس، أثاناسيوس (2007). "تقريب مُحسَّن لدالة Q الغاوسية" (ملف PDF) . رسائل اتصالات IEEE . 11 (8): 644-646 . doi : 10.1109/LCOMM.2007.070470 . S2CID 4043576 . 
  14. ↑ تاناش، آي إم؛ ريهونين، تي. (2021). "معاملات محسّنة لتقريبات كاراغيانديس-ليومباس وحدود دالة Q الغاوسية". رسائل اتصالات IEEE . 25 (5): 1468-1471 . arXiv : 2101.07631 . doi : 10.1109 /LCOMM.2021.3052257 . S2CID 231639206 . 
  15. ↑ لوبيز-بينيتيز، ميغيل؛ كاساديفال، فرناندو (2011). "تقريب متعدد الاستخدامات ودقيق وقابل للمعالجة التحليلية لدالة Q الغاوسية" (ملف PDF) . معاملات IEEE في الاتصالات . 59 (4): 917-922 . doi : 10.1109/TCOMM.2011.012711.100105 . S2CID 1145101 . 
  16. ↑ أبريو، جوزيبي (2012). "حدود دقيقة وبسيطة للغاية على دالة Q". معاملات IEEE في الاتصالات . 60 (9): 2415-2420 . doi : 10.1109/TCOMM.2012.080612.110075 .
  17. ↑ سافاج، آي آر (1962). "نسبة ميلز للتوزيعات الطبيعية متعددة المتغيرات" . مجلة البحوث التابعة للمكتب الوطني للمعايير، القسم ب . 66 (3): 93-96 . doi : 10.6028/jres.066B.011 . Zbl 0105.12601 . 
  18. ↑ بوتيف، ز. إ. (2016). "القانون الطبيعي في ظل القيود الخطية: المحاكاة والتقدير عبر الميلان المينيماكس". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب . 79 : 125-148 . arXiv : 1603.04166 . Bibcode : 2016arXiv160304166B . doi : 10.1111/rssb.12162 . S2CID 88515228 . 
  19. ↑ بوتيف، زي؛ ماكينلاي، د؛ تشين، واي-إل. (2017). "تقدير فعال لوغاريتميًا لذيل التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات". مؤتمر محاكاة الشتاء 2017 (WSC) . معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. ص 1903-191 . doi : 10.1109/WSC.2017.8247926 . ISBN  978-1-5386-3428-8. S2CID 4626481 .