تحويل القيمة المفردة الكمومية

يُعدّ تحويل القيم المفردة الكمومي إطارًا لتصميم الخوارزميات الكمومية . وهو يشمل مجموعة متنوعة من الخوارزميات الكمومية للمسائل التي يمكن حلها باستخدام الجبر الخطي ، بما في ذلك محاكاة هاميلتون ، ومسائل البحث ، وحل الأنظمة الخطية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} وقد طُوّر هذا الإطار في عام 2018 من قِبل أندراس جيليين، ويوان سو، وغوانغ هاو لو، وناثان ويبي، حيث عمّموا خوارزميات محاكاة هاميلتون التي وضعها غوانغ هاو لو وإسحاق تشوانغ، والمستوحاة من معالجة الإشارات. ^{[ 4 ]}

تُعدّ عملية التشفير الكتلي العنصر الأساسي في تحويل القيم المفردة الكمومية. وتُعتبر الدائرة الكمومية تشفيرًا كتليًا للمصفوفة A إذا كانت تُنفّذ مصفوفة وحدوية U بحيث تحتوي U على A في مصفوفة فرعية مُحددة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle (\langle 0|\otimes I)U(|0\rangle \otimes |\phi \rangle )=A|\phi \rangle }$، إذن U عبارة عن ترميز كتلي لـ A.

تتمثل الخوارزمية الأساسية لـ QSVT في تحويل ترميز الكتلة A إلى ترميز كتلة${\displaystyle p(A,A^{\dagger })}$حيث p هي متعددة حدود من الدرجة d و${\displaystyle A^{\dagger }}$يشير إلى المنقول المرافق ، مع تطبيق الدائرة على d تطبيق فقط وكيوبت مساعد واحد. يمكن القيام بذلك لفئة كبيرة من كثيرات الحدود p التي تتوافق مع تطبيق كثيرة حدود على القيم المفردة لـ A ، مما يعطي "تحويل القيمة المفردة".

يمكن أيضًا تنفيذ صيغة معدلة من هذه الخوارزمية عندما تكون المصفوفة A هيرميتية ، وهو ما يتوافق مع "تحويل القيم الذاتية". أي، بالنظر إلى ترميز كتلي للمصفوفة A مع تحليل القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle A=\sum \lambda _{i}u_{i}u_{i}^{\dagger }}$يمكن الحصول على ترميز الكتلة لـ${\displaystyle \sum p(\lambda _{i})u_{i}u_{i}^{\dagger }}$بشرط أن تكون قيمة p محدودة. ^{[ 4 ]}

المدخلات : مصفوفة${\displaystyle A}$تحليل القيم المفردة الخاص به هو${\displaystyle A=W\Sigma V^{\dagger }}$أين${\displaystyle \Sigma }$هي القيم المفردة لـ A

المدخلات : متعددة الحدود${\displaystyle P}$

الناتج : وحدة حيث${\displaystyle P}$تم تطبيقها على القيم المفردة لـ${\displaystyle A}$:${\displaystyle {\begin{bmatrix}WP(\Sigma )V^{\dagger }&.\\.&.\end{bmatrix}}}$

1. قم بإعداد نظام موحد${\displaystyle U}$التي تشفر${\displaystyle A}$في أعلى الجانب الأيسر من${\displaystyle U}$، إنه${\displaystyle U={\begin{bmatrix}A&.\\.&.\end{bmatrix}}}$
2. تهيئة${\displaystyle n}$حالة الكيوبت${\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}$
3. إذا كانت كثيرة الحدود فردية، فقم بتطبيق${\displaystyle {\tilde {\Pi }}_{\phi _{1}}U\prod _{k=1}^{\frac {d-1}{2}}\Pi _{\phi _{2k}}U^{\dagger }{\tilde {\Pi }}_ {\phi _{2k+1}}U}$ل${\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}$
4. إذا كانت متعددة الحدود قابلة للتطبيق${\displaystyle \prod _{k=1}^{\frac {d}{2}}\Pi _{\phi _{2k}-1}U^{\dagger }{\tilde {\Pi }}_{\phi _{2k}}U}$ل${\displaystyle |0\rangle ^{\otimes n}}$

^{[ 2 ]}

• الخوارزمية الكمومية
• خوارزمية HHL
• التعلم الآلي الكمي
• معالجة الإشارات الرقمية

• تطبيق خوارزمية QSVT لعكس المصفوفة باستخدام Classiq