حجم مختلط

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة المحدبة ، يُعد الحجم المختلط طريقة لربط عدد غير سالب بمجموعة من الأجسام المحدبة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يعتمد هذا الرقم على حجم وشكل الأجسام، واتجاهها النسبي بالنسبة لبعضها البعض.

يترك${\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$لتكن أجسامًا محدبة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وانظر إلى الوظيفة

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i}\geq 0,}$

أين${\displaystyle {\text{Vol}}_{n}}$يرمز إلى${\displaystyle n}$حجم ذو أبعاد n، ووسيطه هو مجموع مينكوفسكي للأجسام المحدبة المُقاسة${\displaystyle K_{i}}$يمكن للمرء أن يثبت ذلك${\displaystyle f}$هي متعددة حدود متجانسة من الدرجة${\displaystyle n}$لذا يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

حيث الوظائف${\displaystyle V}$متناظرة. بالنسبة لدالة فهرس معينة${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$، المعامل${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$يُطلق عليه الحجم المختلط لـ${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$.

• يتم تحديد الحجم المختلط بشكل فريد من خلال الخصائص الثلاث التالية:

1. ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)}$؛
2. ${\displaystyle V}$متناظر في وسائطه؛
3. ${\displaystyle V}$متعدد الخطوط:${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$ل${\displaystyle \lambda ,\lambda '\geq 0}$.

• يكون الحجم المختلط غير سالب ويتزايد بشكل رتيب في كل متغير:${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$ل${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$.
• متباينة ألكساندروف – فينشيل، التي اكتشفها ألكسندر دانيلوفيتش ألكساندروف وفيرنر فينتشل :

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

العديد من المتباينات الهندسية، مثل متباينة برون-مينكوفسكي للأجسام المحدبة ومتباينة مينكوفسكي الأولى ، هي حالات خاصة من متباينة ألكسندروف - فينشل.

يترك${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ليكن جسمًا محدبًا وليكن${\displaystyle B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$لتكن الكرة الإقليدية ذات نصف القطر الواحد. الحجم المختلط

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset {nj{\text{ times}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ times}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})}$

يُطلق عليه اسم التكامل الكمي j لـ${\displaystyle K}$[ ^{1 ]​}

يؤدي تعريف الحجم المختلط إلى صيغة شتاينر (التي سميت على اسم جاكوب شتاينر ):

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}.}$

الأحجام الجوهرية لـ${\displaystyle B^{n}}$، كرة الوحدة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، مُرضٍ$${\displaystyle {\begin{aligned}&V_{j}\left(B^{n}\right)={\frac {\kappa _{n}}{\kappa _{n-j}}}{\binom {n}{j}},\quad j=0,\ldots ,n.\\&\kappa _{m}=\operatorname {Vol} _{m}\left(B^{m}\right)={\frac {\pi ^{m/2}}{\Gamma \left({\frac {m}{2}}+1\right)}}\end{aligned}}}$$بفرض وجود جسم محدب ذي أبعاد n${\textstyle K}$، ال${\textstyle j}$الحجم الجوهري لـ${\textstyle K}$يفي بصيغة كوشي-كوبوتا ^{[ 3 ]}$${\displaystyle V_{j}(K):={\frac {\kappa _{n}}{\kappa _{j}\kappa _{n-j}}}{\binom {n}{j}}\int _{\mathrm {G} (n,j)}V_{j}\left(\operatorname {proj} _{E}K\right)\mathrm {d} E}$$هنا،${\textstyle \kappa _{j}}$يشير إلى${\textstyle j}$حجم الأبعاد${\textstyle j}$كرة الوحدة ذات الأبعاد n، ويتم التكامل بالنسبة لمقياس احتمالية هار على${\textstyle \mathrm {G} (n,j)}$، غراسمانيان​${\textstyle j}$الفضاءات الفرعية ذات الأبعاد n في${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$، و${\textstyle \operatorname {proj} _{E}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow E}$يشير إلى الإسقاط المتعامد على${\textstyle E\in \mathrm {G} (n,j)}$.

بوراجو، يو. دي. (2001) [1994]، "نظرية الحجم المختلط" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS