التسارع الزاوي

في بُعدين، يُعرَّف التسارع الزاوي المداري بأنه معدل تغير السرعة الزاوية المدارية ثنائية الأبعاد للجسيم حول نقطة الأصل. وتُعطى السرعة الزاوية اللحظية ω عند أي لحظة زمنية بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},}$

أين${\displaystyle r}$هي المسافة من نقطة الأصل و${\displaystyle v_{\perp }}$هو المكون القطري العرضي للسرعة اللحظية (أي المكون العمودي على متجه الموضع)، والذي يكون موجبًا حسب الاصطلاح للحركة عكس اتجاه عقارب الساعة وسالبًا للحركة في اتجاه عقارب الساعة.

لذلك، فإن التسارع الزاوي اللحظي α للجسيم يُعطى بواسطة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).}$

وبتوسيع الطرف الأيمن باستخدام قاعدة الضرب من حساب التفاضل والتكامل، يصبح هذا

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.}$

في الحالة الخاصة التي يتحرك فيها الجسيم حركة دائرية حول نقطة الأصل،${\displaystyle \textstyle {\frac {dv_{\perp }}{dt}}}$يصبح مجرد تسارع مماس${\displaystyle a_{\perp }}$، و${\displaystyle \textstyle {\frac {dr}{dt}}}$تتلاشى (لأن المسافة من نقطة الأصل تظل ثابتة)، لذا تُبسط المعادلة أعلاه إلى

${\displaystyle \alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.}$

في بُعدين، يُعرَّف التسارع الزاوي بأنه عددٌ ذو إشارة موجبة أو سالبة تُشير إلى الاتجاه، دون أن تُحدد اتجاه الحركة. تُعتبر الإشارة موجبةً إذا زادت السرعة الزاوية عكس اتجاه عقارب الساعة أو انخفضت مع اتجاه عقارب الساعة، وسالبةً إذا زادت السرعة الزاوية مع اتجاه عقارب الساعة أو انخفضت عكس اتجاه عقارب الساعة. يُمكن اعتبار التسارع الزاوي كميةً شبه قياسية ، أي كميةً عدديةً يتغير إشارتها عند عكس التكافؤ ، كعكس أحد المحاور أو تبديل المحورين.

في ثلاثة أبعاد، يُعرف التسارع الزاوي المداري بأنه معدل تغير متجه السرعة الزاوية المدارية ثلاثية الأبعاد مع الزمن. متجه السرعة الزاوية اللحظية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$في أي لحظة زمنية يتم تحديدها بواسطة

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},}$

أين${\displaystyle \mathbf {r} }$هو متجه موضع الجسيم،${\displaystyle r}$المسافة بينها وبين نقطة الأصل، و${\displaystyle \mathbf {v} }$متجه سرعته. ^{[ 2 ]}

لذلك، فإن التسارع الزاوي المداري هو متجه${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$محدد بواسطة

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).}$

بتوسيع هذه المشتقة باستخدام قاعدة الضرب للضربات المتقاطعة وقاعدة القسمة العادية، نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {v} }$هو مجرد${\displaystyle r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$، ويمكن إعادة كتابة الحد الثاني على النحو التالي${\displaystyle \textstyle -{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$في حالة المسافة${\displaystyle r}$إذا لم يتغير بُعد الجسيم عن نقطة الأصل مع الزمن (بما في ذلك الحركة الدائرية كحالة فرعية)، فإن الحد الثاني يختفي، وتتبسط الصيغة أعلاه إلى

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.}$

من المعادلة أعلاه، يمكن استنتاج التسارع القطري العرضي في هذه الحالة الخاصة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .}$

على عكس ما يحدث في بعدين، فإن التسارع الزاوي في ثلاثة أبعاد لا يرتبط بالضرورة بتغير في السرعة الزاوية.${\displaystyle \omega =|{\boldsymbol {\omega }}|}$إذا "انحرف" متجه موضع الجسيم في الفضاء، مما أدى إلى تغيير مستوى إزاحته الزاوية اللحظية، فإن التغير في اتجاه السرعة الزاوية${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$سيظل ينتج تسارعًا زاويًا غير صفري. لا يمكن أن يحدث هذا إذا كان متجه الموضع محصورًا في مستوى ثابت، وفي هذه الحالة${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$له اتجاه ثابت عمودي على المستوى.

يُطلق على متجه التسارع الزاوي بشكل أدق اسم متجه زائف : فهو يحتوي على ثلاثة مكونات تتحول تحت الدوران بنفس طريقة تحول الإحداثيات الديكارتية لنقطة ما، ولكنها لا تتحول مثل الإحداثيات الديكارتية تحت الانعكاسات.

يُعرَّف عزم الدوران الكلي المؤثر على جسيم نقطي بأنه متجه زائف

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {F} }$هي القوة المحصلة المؤثرة على الجسيم. ^{[ 3 ]}

العزم هو النظير الدوراني للقوة: فهو يُحدث تغييرًا في الحالة الدورانية للنظام، تمامًا كما تُحدث القوة تغييرًا في الحالة الانتقالية للنظام. وبما أن القوة المؤثرة على جسيم ترتبط بتسارعه من خلال المعادلة${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, one may write a similar equation connecting torque on a particle to angular acceleration, though this relation is necessarily more complicated.^[4]

First, substituting ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ into the above equation for torque, one gets

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=m\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)=mr^{2}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}\right).}$

From the previous section:

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }},}$

where ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ is orbital angular acceleration and ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ is orbital angular velocity. Therefore:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}\left({\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}+2mr{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}.}$

In the special case of constant distance ${\displaystyle r}$ of the particle from the origin (${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt}}=0}$), the second term in the above equation vanishes and the above equation simplifies to

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }},}$

which can be interpreted as a "rotational analogue" to ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, where the quantity ${\displaystyle mr^{2}}$ (known as the moment of inertia of the particle) plays the role of the mass ${\displaystyle m}$. However, unlike ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$, this equation does not apply to an arbitrary trajectory, only to a trajectory contained within a spherical shell about the origin.