مستخرج العشوائية

📅 آخر تحديث: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 60 صور
الموسوعة الحرة

مستخلص العشوائية ، والذي يُطلق عليه غالبًا اسم "مستخلص"، هو دالة تُطبَّق على مُخرَج مصدر عشوائي ضعيف ، مع بذرة عشوائية قصيرة ومُنتظمة التوزيع ، فتُنتج مُخرَجًا عشوائيًا للغاية يبدو مُستقلًا عن المصدر ومُوزَّعًا بانتظام . [ 1 ] تشمل أمثلة المصادر العشوائية الضعيفة التحلل الإشعاعي أو الضوضاء الحرارية ؛ والشرط الوحيد على المصادر المُحتملة هو استحالة التحكم بها أو حسابها أو التنبؤ بها بشكل كامل، وإمكانية تحديد حد أدنى لمعدل إنتروبيتها . بالنسبة لمصدر مُعين، يُمكن اعتبار مستخلص العشوائية مُولِّد أرقام عشوائية حقيقي ( TRNG )؛ ولكن لم يثبت حتى الآن أن أي مستخلص يُنتج مُخرَجًا عشوائيًا حقيقيًا من أي نوع من المصادر العشوائية الضعيفة.

يُستخدم مصطلح "التحيز" أحيانًا للدلالة على انحراف مصدر عشوائي ضعيف عن التوزيع المنتظم، وفي الأدبيات القديمة، تُسمى بعض خوارزميات الاستخلاص بخوارزميات إزالة التحيز [ 2 ] ، لأنها تستخلص العشوائية من مصدر يُسمى "متحيزًا" وتُخرج توزيعًا يبدو غير متحيز. سيكون المصدر العشوائي الضعيف دائمًا أطول من ناتج خوارزمية الاستخلاص، لكن خوارزمية الاستخلاص الفعالة هي التي تُقلل هذه النسبة بين الطولين قدر الإمكان، مع الحفاظ في الوقت نفسه على طول البذرة منخفضًا. وهذا يعني، بشكل بديهي، أنه تم "استخلاص" أكبر قدر ممكن من العشوائية من المصدر.

يتشابه المستخرج مع مولد الأرقام العشوائية الزائفة (PRG) من حيث المفهوم، لكنهما ليسا متطابقين. فكلاهما دالتان تأخذان كمدخل بذرة صغيرة عشوائية منتظمة، وتنتجان مخرجًا أطول يبدو عشوائيًا منتظمًا. في الواقع، بعض مولدات الأرقام العشوائية الزائفة هي أيضًا مستخرجات. (عندما يعتمد مولد الأرقام العشوائية الزائفة على وجود مسندات أساسية ، يمكن اعتبار المصدر العشوائي الضعيف مجموعة من جداول الحقيقة لهذه المسندات، وإثبات أن المخرج قريب إحصائيًا من التوزيع المنتظم. [ 3 ] ). مع ذلك، لا يشترط التعريف العام لمولد الأرقام العشوائية الزائفة استخدام مصدر عشوائي ضعيف، وبينما يجب أن يكون المخرج في حالة المستخرج قريبًا إحصائيًا من التوزيع المنتظم، فإنه في مولد الأرقام العشوائية الزائفة يُشترط فقط أن يكون غير قابل للتمييز حسابيًا عن التوزيع المنتظم، وهو مفهوم أقل دقة.

التعريف الرسمي للمستخلصات

الحد الأدنى للإنتروبيا للتوزيعX{\displaystyle X}(يشار إليه)ح∞(X){\displaystyle H_{\infty }(X)})، هو أكبر عدد حقيقيك{\displaystyle k}بحيثبرو[X=x]≤2-ك{\displaystyle \Pr[X=x]\leq 2^{-k}}لكلx{\displaystyle x}في نطاقX{\displaystyle X}باختصار، يقيس هذا مدى احتمالية حدوث ذلك.X{\displaystyle X}يتمثل الهدف في أخذ القيمة الأكثر احتمالاً، مما يعطي حدًا أقصى لأسوأ الحالات لمدى عشوائية القيمة.X{\displaystyle X}يظهر. التأجيريوℓ{\displaystyle U_{\ell }}يشير إلى التوزيع المنتظم على{0،1}ℓ{\displaystyle \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{\ell }}من الواضح ح∞(يوℓ)=ℓ{\displaystyle H_{\infty }(U_{\ell })=\ell }.

لتوزيع n بتX{\displaystyle X}مع الحد الأدنى للإنتروبيا k ، نقول أنX{\displaystyle X}هو(ن،ك){\displaystyle (n,k)}توزيع.

التعريف (المستخرج): مستخرج ( k ، ε ) 

يتركخارجي:{0،1}ن×{0،1}د→{0،1}م{\displaystyle {\text{Ext}}:\{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{n}\times \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{d}\to \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{m}} دالة تأخذ كمدخل عينة من(ن،ك){\displaystyle (n,k)}توزيعX{\displaystyle X}وبذرة من نوع d -bit منيود{\displaystyle U_{d}}، ويخرج سلسلة مكونة من m بت. خارجي{\displaystyle {\text{Ext}}}يكون مستخرجًا من النوع ( k , ε )  ، إذا كان لكل(ن،ك){\displaystyle (n,k)}التوزيعاتX{\displaystyle X}، توزيع الناتج لـخارجي{\displaystyle {\text{Ext}}}هل ε قريب منيوم{\displaystyle U_{m}}.

في التعريف أعلاه، يشير ε -close إلى المسافة الإحصائية .

بشكل بديهي، يأخذ المستخرج مدخلاً عشوائياً ضعيفاً مكوناً من n بت وبذرة قصيرة عشوائية بشكل منتظم، وينتج مخرجاً مكوناً من m بت يبدو عشوائياً بشكل منتظم. والهدف هو الحصول على قيمة منخفضةد{\displaystyle d}(أي استخدام أقل قدر ممكن من العشوائية المنتظمة) وبأعلى قدر ممكن منم{\displaystyle m}قدر الإمكان (أي الحصول على أكبر عدد ممكن من البتات العشوائية تقريبًا من المخرجات).

مستخلصات قوية

تكون أداة الاستخراج قوية إذا أدى دمج البذرة مع مخرجات أداة الاستخراج إلى توزيع لا يزال قريبًا من التوزيع المنتظم.

التعريف (مستخلص قوي): أ(ك،ϵ){\displaystyle (k,\epsilon )}-strong extractor هي دالة

خارجي:{0،1}ن×{0،1}د→{0،1}م{\displaystyle {\text{Ext}}:\{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{n}\times \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{d}\rightarrow \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{m}\,}

بحيث يكون لكل(ن،ك){\displaystyle (n,k)}توزيعX{\displaystyle X}التوزيعيود∘خارجي(X،يود){\displaystyle U_{d}\circ {\text{Ext}}(X,U_{d})}(النسختان منيود{\displaystyle U_{d}}(يشير إلى نفس المتغير العشوائي ) هوϵ{\displaystyle \epsilon }- قريب من التوزيع المنتظم علىيوم+د{\displaystyle U_{m+d}}.

مستخلصات صريحة

باستخدام الطريقة الاحتمالية ، يمكن إثبات وجود مستخرج ( k , ε )، أي أن البناء ممكن. مع ذلك، لا يكفي عادةً مجرد إثبات وجود مستخرج، بل يلزم بناء صريح، وهو موضح أدناه: 

التعريف (المستخرج الصريح): بالنسبة للدوال k ( n ) و ε ( n ) و d ( n ) و m ( n )، توجد عائلة Ext  =  {Ext n } من الدوال

خارجين:{0،1}ن×{0،1}د(ن)→{0،1}م(ن){\displaystyle {\text{Ext}}_{n}:\{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{n}\times \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{d(n)}\rightarrow \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{m(n)}}

هو مستخرج صريح ( k ، ε )، إذا كان من الممكن حساب Ext( x ، y ) في وقت متعدد الحدود (في طول الإدخال الخاص به) ولكل n ، فإن Ext n هو مستخرج ( k ( n )، ε ( n )).   

باستخدام الطريقة الاحتمالية، يمكن إثبات وجود مستخرج ( k ، ε ) بطول بذرة 

د=سجل⁡(ن-ك)+2سجل⁡(1ε)+يا(1){\displaystyle d=\log {(nk)}+2\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+O(1)}

وطول الإخراج

م=ك+د-2سجل⁡(1ε)-يا(1){\displaystyle m=k+d-2\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)-O(1)}[ 4 ]​

المشتتات

يُعد المُشتِّت أحد أنواع مُستخلص العشوائية ذي الخصائص الأضعف .

مستخلصات العشوائية في علم التشفير

يُعدّ توليد المفاتيح العشوائية أحد أهم جوانب علم التشفير . [ 5 ] غالبًا ما يكون من الضروري توليد مفاتيح سرية وعشوائية من مصادر شبه سرية أو قد تكون مُعرّضة للاختراق إلى حد ما. باستخدام مفتاح عشوائي واحد قصير (وسرّي) كمصدر، يُمكن استخدام مُستخلص لتوليد مفتاح شبه عشوائي أطول، والذي يُمكن استخدامه بعد ذلك لتشفير المفتاح العام. وبشكل أكثر تحديدًا، عند استخدام مُستخلص قوي، سيبدو ناتجه عشوائيًا بشكل منتظم، حتى لمن يرى جزءًا من المصدر (وليس كله). على سبيل المثال، إذا كان المصدر معروفًا ولكن البذرة غير معروفة (أو العكس). تُعدّ هذه الخاصية للمُستخلصات مفيدة بشكل خاص فيما يُعرف عادةً باسم التشفير المقاوم للاختراق، حيث يُستخدم المُستخلص المطلوب كدالة مقاومة للاختراق (ERF). تأخذ تقنية التشفير المقاومة للتعرض في الاعتبار حقيقة أنه من الصعب الحفاظ على سرية التبادل الأولي للبيانات الذي يحدث غالبًا أثناء تهيئة تطبيق التشفير، على سبيل المثال، يجب على مرسل المعلومات المشفرة تزويد المستلمين بالمعلومات المطلوبة لفك التشفير.

تحدد الفقرات التالية وتؤسس علاقة مهمة بين نوعين من ERF - k -ERF و k -APRF - والتي تعتبر مفيدة في التشفير المقاوم للتعرض.

تعريف ( k -ERF): دالة k-ERF التكيفية هي دالةو{\displaystyle f}حيث، بالنسبة لمدخل عشوائير{\displaystyle r}عندما يكون الخصم غير محدود حسابيًاأ{\displaystyle A}يمكنه قراءة كل شيء بشكل تكيفير{\displaystyle r}باستثناءك{\displaystyle k}أجزاء،|برو{أر(و(ر))=1}-برو{أر(R)=1}|≤ϵ(ن){\displaystyle |\Pr\{A^{r}(f(r))=1\}-\Pr\{A^{r}(R)=1\}|\leq \epsilon (n)}لبعض الوظائف المهملةϵ(ن){\displaystyle \epsilon (n)}(المحدد أدناه).

الهدف هو بناء دالة استجابة عشوائية تكيفية (ERF) يكون خرجها عشوائيًا للغاية وموزعًا بانتظام. ولكن غالبًا ما يكون هناك حاجة إلى شرط أقوى يتمثل في حدوث كل خرج باحتمالية شبه منتظمة. ولتحقيق هذا الغرض، تُستخدم دوال المرونة شبه المثالية (APRF). تعريف دالة المرونة شبه المثالية هو كما يلي:

التعريف (k-APRF): أك=ك(ن){\displaystyle k=k(n)}APRF هي دالةو{\displaystyle f}حيث، لأي إعداد منن-ك{\displaystyle nk}بتات المدخلاتر{\displaystyle r}لأي قيم ثابتة، متجه الاحتماليةص{\displaystyle p}من الناتجو(ر){\displaystyle f(r)}على الاختيارات العشوائية لـك{\displaystyle k}الأجزاء المتبقية تُرضي|صأنا-2-م|<2-مϵ(ن){\displaystyle |p_{i}-2^{-m}|<2^{-m}\epsilon (n)}للجميعأنا{\displaystyle i}ولبعض الوظائف التي لا تُذكرϵ(ن){\displaystyle \epsilon (n)}.

أثبت كامب وزوكرمان [ 6 ] نظرية تنص على أنه إذا كانت الدالةو{\displaystyle f}إذا كان k -APRF، فإنو{\displaystyle f}وهو أيضًا دالة استخلاص من النوع k -ERF. وبشكل أكثر تحديدًا، فإن أي مستخرج ذي خطأ صغير بما فيه الكفاية ويأخذ كمدخل مصدرًا غير واعٍ ومُصحِّح للبتات هو أيضًا دالة استخلاص من النوع APRF، وبالتالي فهو أيضًا دالة استخلاص من النوع k -ERF. ويُعبَّر عن مستخرج أكثر تحديدًا في هذه اللمة:

اللمة: أي2-مϵ(ن){\displaystyle 2^{-m}\epsilon (n)}-مستخرجو:{0،1}ن→{0،1}م{\displaystyle f:\{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{n}\rightarrow \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{m}}لمجموعة(ن،ك){\displaystyle (n,k)}مصادر إصلاح البتات غير الواعية، حيثϵ(ن){\displaystyle \epsilon (n)}مهملة، وهي أيضًا عامل تضخيم فيزيائي من نوع k-APRF.

تم إثبات هذه اللمة بواسطة كامب وزوكرمان. [ 6 ] ويتم إثبات اللمة من خلال فحص المسافة من التوزيع المنتظم للمخرج، والتي في2-مϵ(ن){\displaystyle 2^{-m}\epsilon (n)}- من الواضح أن المستخرج هو على الأكثر2-مϵ(ن){\displaystyle 2^{-m}\epsilon (n)}، وهو ما يفي بشرط APRF.

تؤدي هذه اللمة إلى النظرية التالية، التي تنص على أنه يوجد بالفعل دالة k -APRF كما هو موضح:

نظرية (الوجود): لأي ثابت موجبγ≤12{\displaystyle \gamma \leq {\frac {1}{2}}}يوجد k-APRF صريحو:{0،1}ن→{0،1}م{\displaystyle f:\{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{n}\rightarrow \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{m}}، قابلة للحساب في عدد خطي من العمليات الحسابية علىم{\displaystyle m}سلاسل بتية، معم=Ω(ن2γ){\displaystyle m=\Omega (n^{2\gamma })}وك=ن12+γ{\displaystyle k=n^{{\frac {1}{2}}+\gamma }}.

التعريف (الدالة المهملة): في برهان هذه النظرية، نحتاج إلى تعريف للدالة المهملة .ϵ(ن){\displaystyle \epsilon (n)}يُعرَّف بأنه ضئيل إذا ϵ(ن)=يا(1نج){\displaystyle \epsilon (n)=O\left({\frac {1}{n^{c}}}\right)}لجميع الثوابتج{\displaystyle c}.

البرهان: انظر إلى ما يليϵ{\displaystyle \epsilon }-المستخرج: الدالةو{\displaystyle f}هو مستخرج لمجموعة من(ن،دلتان){\displaystyle (n,\delta n)}مصدر إصلاح البتات غير الواعي:و:{0،1}ن→{0،1}م{\displaystyle f:\{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{n}\rightarrow \{{\texttt {0}},{\texttt {1}}\}^{m}}.و{\displaystyle f}لديهم=Ω(دلتا2ن){\displaystyle m=\Omega (\delta ^{2}n)}،ϵ=2-جم{\displaystyle \epsilon =2^{-cm}}وج>1{\displaystyle c>1}.

دليل وجود هذا المستخلص معدلتا≤1{\displaystyle \delta \leq 1}بالإضافة إلى حقيقة أنه يمكن حسابه في وقت حسابي خطي على طولم{\displaystyle m}يمكن العثور على ذلك في الورقة البحثية لجيسي كامب وديفيد زوكرمان (ص  1240).

من البديهي أن هذا المستخرج يفي بمعايير اللمة كما يلي:ϵ=2-جم{\displaystyle \epsilon =2^{-cm}}هي دالة مهملة.

حجمم{\displaystyle m}يكون:

م=Ω(دلتا2ن)=Ω(ن)≥Ω(ن2γ){\displaystyle m=\Omega (\delta ^{2}n)=\Omega (n)\geq \Omega (n^{2\gamma })}

بما أننا نعلمدلتا≤1{\displaystyle \delta \leq 1}ثم الحد الأدنى لـم{\displaystyle m}يهيمن عليهان{\displaystyle n}في الخطوة الأخيرة، نستخدم حقيقة أنγ≤12{\displaystyle \gamma \leq {\frac {1}{2}}}وهذا يعني أن قوةن{\displaystyle n}هو على الأكثر1{\displaystyle 1}وبما أنن{\displaystyle n}نعلم أن العدد الصحيح الموجب هون2γ{\displaystyle n^{2\gamma }}هو على الأكثرن{\displaystyle n}.

قيمةك{\displaystyle k}يتم حسابها باستخدام تعريف المستخرج، حيث نعلم ما يلي:

(ن،ك)=(ن،دلتان)⇒ك=دلتان{\displaystyle (n,k)=(n,\delta n)\Rightarrow k=\delta n}

وباستخدام قيمةم{\displaystyle m}لدينا:

م=دلتا2ن=ن2γ{\displaystyle m=\delta ^{2}n=n^{2\gamma }}

باستخدام هذه القيمة منم{\displaystyle m}نأخذ في الاعتبار أسوأ الحالات، حيثك{\displaystyle k}يقع عند حده الأدنى. الآن، من خلال الحسابات الجبرية نحصل على:

دلتا2ن=ن2γ{\displaystyle \delta ^{2}n=n^{2\gamma }}
⇒دلتا2=ن2γ-1{\displaystyle \Rightarrow \delta ^{2}=n^{2\gamma -1}}
⇒دلتا=نγ-12{\displaystyle \Rightarrow \delta =n^{\gamma -{\frac {1}{2}}}}

والتي أُدرجت في قيمةك{\displaystyle k}أعطِ

ك=دلتان=نγ-12ن=نγ+12{\displaystyle k=\delta n=n^{\gamma -{\frac {1}{2}}}n=n^{\gamma +{\frac {1}{2}}}}،

مما يثبت وجود مستخرج k-APRF صريح بالخصائص المعطاة.◻{\displaystyle \Box }

أمثلة

مستخلص فون نيومان

لعلّ أقدم مثال على ذلك يعود إلى جون فون نيومان . فمن خلال دفق الإدخال، كان مستخلصه يأخذ بتّين في كل مرة (الأول والثاني، ثم الثالث والرابع، وهكذا). إذا تطابق البتّان، لا يُنتج أي مخرج. أما إذا اختلفا، فتُخرج قيمة البت الأول. ويمكن إثبات أن مستخلص فون نيومان يُنتج مخرجًا منتظمًا حتى لو لم يكن توزيع بتّات الإدخال منتظمًا، طالما أن لكل بتّ نفس احتمالية أن يكون واحدًا، ولا توجد علاقة بين البتّات المتتالية. [ 7 ]

وبالتالي، فإنه يأخذ كمدخل متتالية برنولي حيث لا تساوي قيمة p بالضرورة 1/2، ويخرج متتالية برنولي معص=1/2.{\displaystyle p=1/2.} وبشكل أعم، ينطبق هذا على أي تسلسل قابل للتبادل - فهو يعتمد فقط على حقيقة أنه بالنسبة لأي زوج، فإن احتمالية حدوث 01 و 10 متساوية : بالنسبة للتجارب المستقلة، فإن لهذه الاحتمالاتص⋅(1-ص)=(1-ص)⋅ص{\displaystyle p\cdot (1-p)=(1-p)\cdot p}بينما قد يكون الاحتمال أكثر تعقيدًا بالنسبة لتسلسل قابل للتبديل، إلا أن كلا الاحتمالين متساويان. ببساطة، نظرًا لأن البتات مستقلة إحصائيًا وبسبب خاصية التبديل في الضرب، فإنه يترتب على ذلك أنP(أ∩ب)=P(أ)P(ب)=P(ب)P(أ)=P(ب∩أ){\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)=P(B)P(A)=P(B\cap A)}وبالتالي، إذا تم تعيين أزواج 01 و 10 على البتات 0 و 1 وتم تجاهل الأزواج 00 و 11، فسيكون الناتج عبارة عن توزيع منتظم.

تتضمن التكرارات على مستخرج فون نيومان مستخرج إلياس ومستخرج بيريز، حيث يعيد الأخير استخدام البتات من أجل إنتاج تدفقات إخراج أكبر من مستخرج فون نيومان عند إعطاء نفس حجم تدفق الإدخال. [ 8 ]

آلة الفوضى

ثمة نهج آخر يتمثل في استخدام مخرجات آلة الفوضى المطبقة على تدفق المدخلات. يعتمد هذا النهج عمومًا على خصائص الأنظمة الفوضوية . تُدفع بتات المدخلات إلى الآلة، فتتطور مداراتها ومساراتها ضمن أنظمة ديناميكية متعددة. وبالتالي، تُنتج اختلافات طفيفة في المدخلات مخرجات مختلفة تمامًا. تتميز هذه الآلة بمخرجات موحدة حتى لو لم يكن توزيع بتات المدخلات منتظمًا أو كان به عيوب جسيمة، ولذلك يمكنها استخدام مصادر إنتروبيا ضعيفة . إضافةً إلى ذلك، يسمح هذا المخطط بزيادة تعقيد وجودة وأمان تدفق المخرجات، وذلك من خلال تحديد ثلاثة معايير: التكلفة الزمنية ، والذاكرة المطلوبة ، والمفتاح السري .

تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن الأنظمة الفوضوية الحقيقية سليمة رياضيًا لـ"تضخيم" الإنتروبيا، إلا أن هذا يعتمد على توفر أعداد حقيقية بدقة لا نهائية. عند تطبيقها في الحواسيب الرقمية ذات تمثيل الأعداد بدقة محدودة، كما هو الحال في آلات الفوضى التي تستخدم معيار IEEE 754 للفاصلة العائمة ، فقد تبين أن الدورية لا تغطي كامل المساحة لطول بت معين. [ 9 ]

دالة التجزئة المشفرة

من الممكن أيضاً استخدام دالة تجزئة تشفيرية كمستخرج للعشوائية. مع ذلك، لا تُناسب جميع خوارزميات التجزئة هذا الغرض.

التطبيقات

تُستخدم مستخلصات العشوائية على نطاق واسع في التطبيقات التشفيرية، حيث يتم تطبيق دالة تجزئة تشفيرية على مصدر عالي الإنتروبيا ولكنه غير منتظم، مثل معلومات توقيت محرك الأقراص أو تأخيرات لوحة المفاتيح، للحصول على نتيجة عشوائية بشكل منتظم.

لعبت مستخلصات العشوائية دورًا رئيسيًا في التطورات الحديثة في مجال التشفير الكمي ، على سبيل المثال، تقطير الناتج الخام من مولدات الأرقام العشوائية الكمية إلى ناتج أقصر وأكثر أمانًا وعشوائية بشكل منتظم. [ 10 ]

أثبتت مستخلصات الأرقام القوية جدواها في توليد أرقام عشوائية قابلة للتحقق في الأنظمة التجارية. ومؤخرًا، أتاحت هذه المستخلصات استخدامَ مُخرَجات العشوائية (شبه المثالية) من الحاسوب الكمومي لتحسين جودة العشوائية في الأنظمة البعيدة التي لا تملك حاسوبًا كموميًا. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] إن القدرة على توفير عشوائية مُثبتة باستخدام الفيزياء الكمومية بالكامل في البرمجيات لم تكن لتتحقق لولا استخدام مستخلصات الأرقام القوية. [ 12 ]

كما يتم استخدام استخراج العشوائية في بعض فروع نظرية التعقيد الحسابي وفي بناء رموز تصحيح الأخطاء القابلة للفك باستخدام القوائم .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ استخلاص العشوائية من التوزيعات القابلة للمعاينة . Portal.acm.org. ١٢ نوفمبر ٢٠٠٠. ص  ٣٢. ISBN 9780769508504تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-06-2012 .
  2. ↑ ديفيد ك. جيفورد، الأرقام العشوائية الطبيعية، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا /LCS/TM-371، أغسطس 1988.
  3. ↑ لوكا تريفيسان. "المستخرجات ومولدات الأرقام العشوائية الزائفة" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-10-2013 .
  4. ↑ رونين شالتيل. التطورات الحديثة في البناء الصريح للمستخلصات. ص 5.
  5. ↑ جيسي كامب وديفيد زوكرمان. مستخلصات حتمية لمصادر إصلاح البتات والتشفير المقاوم للتعرض، مجلة SIAM للحوسبة، المجلد 36، العدد 5، الصفحات 1231-1247.
  6. 1 2 جيسي كامب وديفيد زوكرمان. مستخلصات حتمية لمصادر إصلاح البتات والتشفير المقاوم للتعرض. ص 1242.
  7. ↑ جون فون نيومان. تقنيات متنوعة مستخدمة فيما يتعلق بالأرقام العشوائية. سلسلة الرياضيات التطبيقية، 12:36-38، 1951.
  8. ↑ براسيتسوباروت، أمونرات؛ كونو، نوريو؛ شيكاتا، جونجي (أكتوبر 2018). "التحليل العددي وغير التقاربي لمستخلصات إلياس وبيريس مع متواليات إدخال محدودة" . إنتروبي . 20 ( 10): 729. Bibcode : 2018Entrp..20..729P . doi : 10.3390/e20100729 . ISSN 1099-4300 . PMC 7512292. PMID 33265818 .   
  9. ↑ بيرسون، كايل؛ بوفينيللي، ريتشارد. "تحليل مولدات الأرقام العشوائية الزائفة للخريطة اللوجستية للدورية الناتجة عن تمثيل الفاصلة العائمة ذي الدقة المحدودة" . جامعة ماركيت . تم الاسترجاع في 3 يناير 2024 .
  10. ↑ ما، شيونغفنغ؛ شو، فيهو؛ شو، هي؛ تان، شياو تشينغ؛ تشي، بينغ؛ لو، هوي كوونغ (يونيو 2013). "المعالجة اللاحقة لمولدات الأرقام العشوائية الكمومية: تقييم الإنتروبيا واستخراج العشوائية". مجلة Physical Review A. 87 ( 6) 062327. arXiv : 1207.1473 . Bibcode : 2013PhRvA..87f2327M . doi : 10.1103/PhysRevA.87.062327 .
  11. ↑ جونستون، هاميش (16 مايو 2014). "كيفية صنع مولد أرقام عشوائية كمومي من هاتف محمول" . عالم الفيزياء . تم الاسترجاع في 24 نوفمبر 2025 .
  12. 1 2 فورمان، كاميرون؛ رايت، شيريلين؛ إيدجنجتون، أليك؛ بيرتا، ماريو؛ كورتشود، فلوريان ج. (30-03-2023). "تضخيم العشوائية العملي والتخصيص مع تطبيقات على الحواسيب الكمومية". الكم . 7 : 969. arXiv : 2009.06551 . doi : 10.22331/q-2023-03-30-969 .
  13. ↑ "أسواق مولدات الأرقام العشوائية الكمومية 2024: تقييم تكنولوجي ودراسة سوقية لعشر سنوات" . ريسيرش آند ماركتس . إنسايد كوانتوم تكنولوجي. سبتمبر 2024. تاريخ الاسترجاع: 24 نوفمبر 2024 .