معادلة الفرق النسبية

WLoG، الكمية الشبيهة بالمحدد${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة من خلال ملاحظة أنه مع القسمة على كل من البسط والمقام في المعادلة ( 2 ) ، يمكنك دائمًا تعيين${\displaystyle c=1}$وفي هذه الحالة، إذا${\displaystyle ad-bc=0}$عندئذٍ، سيُحذف البسط والمقام، ولن يتبقى أي معادلة فرقية، بل ستُختزل تمامًا لتصبح ثابتة تمامًا.${\displaystyle a}$وبالتالي، فإن أحد الأساليب ^{[ 7 ]} لتطوير المتغير المحوّل${\displaystyle x_{t}}$، هو أن تكتب

${\displaystyle y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}}$

أين${\displaystyle \alpha =(a+d)/c}$ و${\displaystyle \beta =(ad-bc)/c^{2}}$وأين${\displaystyle w_{t}=y_{t}-d/c}$.

مزيد من الكتابة ${\displaystyle y_{t}=x_{t+1}/x_{t}}$يمكن إثبات أن ذلك يؤدي إلى

${\displaystyle x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.}$

إن المنهج المذكور أعلاه قابل للتطبيق بشكل عام. أما المنهج التالي ^{[ 8 ]} فيعطي معادلة فرقية من الدرجة الأولى لـ${\displaystyle x_{t}}$بدلاً من الدرجة الثانية. ليكن${\displaystyle r^{2}=(da)^{2}+4bc}$في الحالة التي${\displaystyle r^{2}\geqslant 0}$ستكون جميع الحدود ذات قيم حقيقية، وقد تكون هذه الطريقة ملائمة للاستخدام. وإلا، فستظل الطريقة فعالة، ولكن ستظهر أعداد مركبة، وقد يكون من الأنسب محاولة استخدام فرضية مثلثية بدلاً من ذلك.${\displaystyle x_{t}=1/(\eta +w_{t})}$وهذا يعني${\displaystyle w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}}$بإدخالها في المعادلة ( 2 ) ، نجد أنه من الممكن دائمًا جعل${\displaystyle x_{t}}$تتطور وفقًا لمعادلة الفرق الخطية البسيطة غير المتجانسة من الدرجة الأولى

${\displaystyle x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)\!x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.}$

باختيار${\displaystyle \eta }$بحيث${\displaystyle c\eta ^{2}-(da)\eta -b=0}$ومن الواضح أنه يمكن القيام بذلك دائمًا في أي من الخيارين${\displaystyle \eta _{\pm }={\frac {da\pm r}{2c}}}$حتى عندما${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$

المعادلة

${\displaystyle w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}}$

ويمكن حلها أيضًا بمعاملتها كحالة خاصة من معادلة المصفوفة الأكثر عمومية

${\displaystyle X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},}$

حيث أن جميع A و B و C و E و X هي مصفوفات من الرتبة n × n (في هذه الحالة n = 1)؛ حل هذه المسألة هو ^{[ 9 ]}

${\displaystyle X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}}$

أين

${\displaystyle {\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.}$