الغمر (الرياضيات)

في الرياضيات ، الغمر هو تطبيق قابل للتفاضل بين مشعبات قابلة للتفاضل، ويكون دفعه التفاضلي شاملاً في كل مكان . وهو مفهوم أساسي في الطوبولوجيا التفاضلية ، ومماثل لمفهوم الغمر .

ليكن M و N متعددات شعب قابلة للتفاضل ، وليكن${\displaystyle f\colon M\to N}$لتكن دالة قابلة للتفاضل بينهما. الدالة f هي غمر عند نقطة${\displaystyle p\in M}$إذا كان تفاضليًا

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

هي دالة خطية شاملة . ^{[ 1 ]} في هذه الحالة، تُسمى النقطة p نقطة منتظمة للدالة f ؛ وإلا، تُسمى p نقطة حرجة .${\displaystyle q\in N}$تكون قيمة منتظمة لـ f إذا كانت جميع النقاط p في الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}(q)}$هي نقاط منتظمة. دالة قابلة للتفاضل f تكون غمرًا عند كل نقطة${\displaystyle p\in M}$يُطلق عليه اسم الغمر . وبالمثل، تكون الدالة f غمرًا إذا كان تفاضلها${\displaystyle Df_{p}}$لها رتبة ثابتة تساوي بُعد N.

يستخدم بعض المؤلفين مصطلح " النقطة الحرجة" لوصف النقطة التي لا تكون فيها رتبة مصفوفة جاكوبي للدالة f عند النقطة p قصوى. ^{[ 2 ]} في الواقع، يُعد هذا المفهوم أكثر فائدة في نظرية التفرد . إذا كان بُعد M أكبر من أو يساوي بُعد N ، فإن هذين المفهومين للنقطة الحرجة يتطابقان. أما إذا كان بُعد M أصغر من بُعد N ، فإن جميع النقاط تكون حرجة وفقًا للتعريف أعلاه (لا يمكن أن يكون التفاضل شاملًا)، ولكن قد تظل رتبة مصفوفة جاكوبي قصوى (إذا كانت تساوي بُعد M ). يُعد التعريف المذكور أعلاه هو الأكثر شيوعًا، كما هو الحال في صياغة نظرية سارد .

عند الغمر${\displaystyle f\colon M\to N}$بين مشعبات ناعمة ذات أبعاد${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$لكل${\displaystyle x\in M}$توجد مخططات شاملة${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$ل${\displaystyle M}$حول${\displaystyle x}$، و${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$ل${\displaystyle N}$حول${\displaystyle f(x)}$بحيث${\displaystyle f}$يقتصر على الغمر${\displaystyle f\colon U\to V}$والتي، عند التعبير عنها بالإحداثيات،${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$، يصبح إسقاطًا متعامدًا عاديًا . كتطبيق، لكل${\displaystyle p\in N}$الألياف المقابلة لـ${\displaystyle f}$، المشار إليه${\displaystyle M_{p}=f^{-1}({p})}$يمكن تجهيزها بهيكل مشعب فرعي أملس من${\displaystyle M}$الذي يساوي بُعده الفرق بين أبعاد${\displaystyle N}$و${\displaystyle M}$.

هذه النظرية هي نتيجة لنظرية الدالة العكسية (انظر نظرية الدالة العكسية# إعطاء بنية متعددة الشعب ).

على سبيل المثال، انظر${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$مقدم من${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$مصفوفة جاكوبي هي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

يتمتع هذا بأعلى رتبة في كل نقطة باستثناء${\displaystyle (0,0,0)}$وكذلك الألياف

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

فارغة لـ​${\displaystyle t<0}$، وتساوي نقطة عندما${\displaystyle t=0}$وبالتالي، لا نحصل إلا على غمر سلس.${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus {(0,0,0)}\to \mathbb {R} _{>0},}$والمجموعات الفرعية${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$هي مشعبات ثنائية الأبعاد ملساء لـ${\displaystyle t>0}$.

• أي إسقاط${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• التحولات الموضعية
• الغمر الريماني
• الإسقاط في حزمة متجهات ملساء أو في تليف أملس أكثر عمومية . إن شمولية التفاضل شرط ضروري لوجود تافهة محلية .

إذا كانت الدالة f : M → N غمرًا عند النقطة p، وكانت f ( p ) = q ∈ N ، _فإنه يوجد جوار مفتوح U للنقطة p في M ، وجوار مفتوح V للنقطة q في N ، وإحداثيات محلية ( x1 _, …, xm ) عند p و ( x1 , …, xn ) _عند q بحيث تكون f ( U ) = V ، وتكون الدالة f في هذه الإحداثيات المحلية هي الإسقاط القياسي _.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

يستنتج من ذلك أن الصورة العكسية الكاملة f⁻¹ ( q ) في M لقيمة منتظمة q في ^N تحت تطبيق قابل للتفاضل f : M → N إما أن تكون فارغة أو متعددة شعب قابلة للتفاضل ذات بُعد dim M − dim N ، وربما تكون منفصلة . هذا هو مضمون نظرية القيمة المنتظمة (المعروفة أيضًا بنظرية الغمر ). على وجه الخصوص، تتحقق هذه النتيجة لجميع قيم q في N إذا كان التطبيق f تطبيق غمر.

تُعرَّف عمليات الغمر جيدًا أيضًا للمشعبات الطوبولوجية العامة . ^{[ 3 ]} إن غمر المشعب الطوبولوجي هو إسقاط مستمر f  : M → N بحيث أنه لكل p في M ، ولبعض المخططات المستمرة ψ عند p و φ عند f(p) ، فإن الخريطة ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ تساوي خريطة الإسقاط من R ^m إلى R ⁿ ، حيث m = dim( M ) ≥ n = dim( N ) .

• نظرية إهرسمان للتليف

• أرنولد، فلاديمير الأول . جوسين زاده، صابر م . فارشينكو، ألكسندر ن. (1985). تفردات الخرائط القابلة للتمييز: المجلد الأول . بيركهوسر. رقم ISBN 0-8176-3187-9.
• بروس، جيمس دبليو؛ جيبيلين، بيتر جيه (1984). المنحنيات والنقاط الشاذة . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-42999-4MR 0774048 .​ 
• كرامبين، مايكل؛ بيراني، فيليكس أرنولد إدوارد (1994). الهندسة التفاضلية التطبيقية . كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-23190-9.
• دو كارمو، مانفريدو بيرديجاو (1994). الهندسة الريمانية . رقم ISBN 978-0-8176-3490-2.
• فرانكل، ثيودور (1997). هندسة الفيزياء . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-38753-1MR 1481707 .​ 
• جالوت، سيلفستر. هولين, دومينيك ; لافونتين، جاك (2004). الهندسة الريمانية (الطبعة الثالثة  ). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-20493-0.
• كوسينسكي، أنطوني ألبرت (2007) [1993]. المشعبات التفاضلية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-46244-8.
• لانغ، سيرج (1999). أساسيات الهندسة التفاضلية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-98593-0.
• ستيرنبرغ، شلومو تسفي (2012). الانحناء في الرياضيات والفيزياء . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-47855-5.

• https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1