الاسترخاء (طريقة تكرارية)

في الرياضيات العددية ، تعتبر طرق الاسترخاء طرقًا تكرارية لحل أنظمة المعادلات ، بما في ذلك الأنظمة غير الخطية. ^{[ 1 ]}

طُوِّرت طرق الاسترخاء لحل الأنظمة الخطية المتفرقة الكبيرة ، والتي نشأت كتقسيمات تفاضلية باستخدام الفروق المحدودة . ^{[ 2 ] [ 3 ]} كما تُستخدم لحل المعادلات الخطية في مسائل المربعات الصغرى الخطية ^{[ 4 ]} ، وكذلك لأنظمة المتباينات الخطية، مثل تلك التي تظهر في البرمجة الخطية . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} وقد طُوِّرت أيضًا لحل أنظمة المعادلات غير الخطية. ^{[ 1 ]}

تُعدّ طرق الاسترخاء مهمةً للغاية، لا سيما في حلّ الأنظمة الخطية المستخدمة لنمذجة المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية ، مثل معادلة لابلاس وتعميمها، معادلة بواسون . تصف هذه المعادلات مسائل القيم الحدية ، حيث تُحدد قيم دالة الحل على حدود مجال معين؛ وتكمن المشكلة في حساب الحل داخل هذا المجال أيضًا. تُستخدم طرق الاسترخاء لحلّ المعادلات الخطية الناتجة عن تجزئة المعادلة التفاضلية، على سبيل المثال باستخدام الفروق المحدودة. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

يُطلق على عملية الاسترخاء التكراري للحلول عادةً اسم التنعيم ، لأنها في بعض المعادلات، مثل معادلة لابلاس ، تُشبه تطبيق مُرشِّح تنعيم محلي بشكل متكرر على متجه الحل. ويجب عدم الخلط بين هذه العملية وطرق الاسترخاء في التحسين الرياضي ، والتي تُقارب مسألةً معقدةً بمسألةٍ أبسط، حيث يُقدِّم حلها "المُرخى" معلوماتٍ حول حل المسألة الأصلية. ^{[ 7 ]}

عندما تكون φ دالة حقيقية سلسة على الأعداد الحقيقية، يمكن تقريب مشتقتها الثانية بواسطة:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi (x)}{{dx}^{2}}}={\frac {\varphi (x{-}h)-2\varphi (x)+\varphi (x{+}h)}{h^{2}}}\,+\,{\mathcal {O}}(h^{2})\,.}$

باستخدام هذا في كلا البعدين لدالة φ ذات وسيطين عند النقطة ( x , y )، وحل المعادلة لإيجاد φ( x , y )، ينتج ما يلي:

$$$ (x,y)\right)\,+\,{\mathcal {O}}(h^{4})\,.}$

لتقريب حل معادلة بواسون:

${\displaystyle {\nabla}^{2}\varphi =f\,}$

عدديًا على شبكة ثنائية الأبعاد بمسافة شبكية h ، تقوم طريقة الاسترخاء بتعيين القيم المعطاة للدالة φ لنقاط الشبكة القريبة من الحدود وقيم عشوائية لنقاط الشبكة الداخلية، ثم تقوم بشكل متكرر بتنفيذ التعيين φ  := φ* على النقاط الداخلية، حيث يتم تعريف φ* على النحو التالي:

${\displaystyle \varphi ^{*}(x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}f(x,y)\right)\,,}$

حتى التقارب. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يمكن تعميم الطريقة ^{[ 2 ] [ 3 ] بسهولة على أعداد أخرى من الأبعاد.}

على الرغم من أن هذه الطريقة تتقارب في ظل ظروف عامة، إلا أنها عادةً ما تحرز تقدمًا أبطأ من الطرق المنافسة. ومع ذلك، تظل دراسة طرق الاسترخاء جزءًا أساسيًا من الجبر الخطي ، لأن تحويلات نظرية الاسترخاء توفر مُهيئات ممتازة للطرق الجديدة. في الواقع، غالبًا ما يكون اختيار المُهيئ أكثر أهمية من اختيار الطريقة التكرارية. ^{[ 8 ]}

يمكن استخدام طرق الشبكة المتعددة لتسريع هذه الطرق. يمكن أولاً حساب قيمة تقريبية على شبكة ذات دقة أقل - عادةً ما تكون ذات تباعد مضاعف 2h - واستخدام هذا الحل مع القيم المُستكملة لبقية نقاط الشبكة كقيمة أولية. ويمكن تكرار هذه العملية بشكل متكرر لحساب القيمة الأقل دقة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• في الأنظمة الخطية، الفئتان الرئيسيتان لطرق الاسترخاء هما الطرق التكرارية الثابتة ، وطرق فضاء كريلوف الأكثر عمومية .
• طريقة جاكوبي هي طريقة استرخاء بسيطة.
• تُعد طريقة جاوس-سيدل تحسينًا لطريقة جاكوبي.
• يمكن تطبيق الاسترخاء المفرط المتتالي على أي من طريقتي جاكوبي وجاوس-سيدل لتسريع التقارب.
• أساليب الشبكة المتعددة

• أبراهام بيرمان، روبرت ج. بليمونز، المصفوفات غير السالبة في العلوم الرياضية ، 1994، SIAM. ISBN 0-89871-321-8.
• أورتيغا، ج.م.؛ راينبولدت، و.س. (2000). الحل التكراري للمعادلات غير الخطية في عدة متغيرات . كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية. المجلد  30 (إعادة طبع طبعة أكاديميك برس لعام 1970  ). فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM). الصفحات  26+572. ISBN 0-89871-461-3. MR 1744713 . 
• بريس، دبليو إتش؛ تيوكولسكي، إس إيه؛ فيترلينغ، دبليو تي؛ فلانيري، بي بي (2007). "القسم 18.3. طرق الاسترخاء" . وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-88068-8.
• يوسف سعد ، الطرق التكرارية للأنظمة الخطية المتفرقة ، الطبعة الأولى، PWS، 1996.
• ريتشارد إس. فارغا 2002 تحليل المصفوفات التكراري ، الطبعة الثانية (من طبعة برنتيس هول لعام 1962)، سبرينغر-فيرلاغ.
• ديفيد إم. يونغ الابن، الحل التكراري للأنظمة الخطية الكبيرة ، دار النشر الأكاديمية، 1971. (أعيد طبعه بواسطة دوفر، 2003)

• ساوثويل، آر في (1940) أساليب الاسترخاء في العلوم الهندسية . مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد.
• ساوثويل، آر في (1946) طرق الاسترخاء في الفيزياء النظرية . مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد.
• جون د. جاكسون (1999). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . نيوجيرسي: وايلي. ISBN 0-471-30932-X.
• إم إن أو ساديكو (1992). التقنيات العددية في الكهرومغناطيسية . بوكا راتون: مطبعة سي آر سي.
• بي.-بي. تشو (1993). التحليل العددي للمجالات الكهرومغناطيسية . نيويورك: سبرينغر.
• ب. غريفيه، ب. و. هوكس، أ. سيبتير (1972). البصريات الإلكترونية، الطبعة الثانية . دار بيرغامون للنشر. رقم ISBN 9781483137858.
• دي دبليو أو هيدل (2000). أنظمة العدسات الكهروستاتيكية، الطبعة الثانية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 9781420034394.
• إروين كاسبر (2001). التطورات في التصوير وفيزياء الإلكترون، المجلد 116، الحساب العددي للمجال البصري للجسيمات المشحونة . دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-014758-8.