معادلة النسخ

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعدّ معادلة التكرار نوعًا من الأنظمة الديناميكية المستخدمة في نظرية الألعاب التطورية لنمذجة كيفية تغير تواتر الاستراتيجيات في مجتمع ما بمرور الوقت. وهي ديناميكية حتمية ، رتيبة ، غير خطية ، وغير مبتكرة، تُجسّد مبدأ الانتقاء الطبيعي في التفاعلات الاستراتيجية. [ 1 ]

تصف معادلة التكاثر كيف تزداد وتيرة الاستراتيجيات ذات اللياقة الأعلى من المتوسط ، بينما تتراجع الاستراتيجيات الأقل نجاحًا. وخلافًا لنماذج التكاثر الأخرى، مثل نموذج الأنواع شبهية الأنواع ، تسمح معادلة التكاثر بأن تعتمد لياقة كل نوع ديناميكيًا على توزيع أنواع التجمعات السكانية، مما يجعل دالة اللياقة عنصرًا داخليًا في النظام. وهذا يسمح لها بنمذجة الانتقاء المعتمد على التردد ، حيث يعتمد نجاح الاستراتيجية على مدى انتشارها مقارنةً بالآخرين.

يتمثل أحد الاختلافات الرئيسية الأخرى عن نموذج الأنواع الشبيهة في أن معادلة التكرار لا تتضمن آليات الطفرة أو إدخال استراتيجيات جديدة، وبالتالي تُعتبر غير مبتكرة . فهي تفترض وجود جميع الاستراتيجيات منذ البداية، ولا تُنمذج سوى النمو النسبي أو الانخفاض في نسبها بمرور الوقت.

لقد تم تطبيق ديناميكيات النسخ على نطاق واسع في مجالات مثل علم الأحياء (لدراسة التطور وديناميكيات السكان)، والاقتصاد (لتحليل العقلانية المحدودة وتطور الاستراتيجية)، والتعلم الآلي (خاصة في أنظمة الوكلاء المتعددين والتعلم المعزز ).

معادلة

يُعطى الشكل العام والمستمر لمعادلة النسخ بواسطة المعادلة التفاضلية التالية :

xأنا˙=xأنا[وأنا(x)-ϕ(x)]،ϕ(x)=∑ج=1نxجوج(x){\displaystyle {\dot {x_{i}}}=x_{i}[f_{i}(x)-\phi (x)],\quad \phi (x)=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)}}

أينxأنا{\displaystyle x_{i}}نسبة النوعأنا{\displaystyle i}في السكان،x=(x1،...،xن){\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}يمثل متجه توزيع الأنواع في المجتمع،وأنا(x){\displaystyle f_{i}(x)}هي لياقة النوعأنا{\displaystyle i}(وهو ما يعتمد على عدد السكان)، وϕ(x){\displaystyle \phi (x)}هو متوسط ​​لياقة السكان (يُعطى بالمتوسط ​​المرجح للياقة السكانية)ن{\displaystyle n}أنواع في السكان). بما أن عناصر متجه السكانx{\displaystyle x}بما أن المجموع يساوي واحدًا بحكم التعريف، فإن المعادلة معرفة على المجسم البسيط ذي الأبعاد n .

تفترض معادلة التكاثر توزيعًا سكانيًا منتظمًا؛ أي أنها لا تُدخل بنية السكان في حساب اللياقة. أما نموذج اللياقة فيُدخل توزيع الأنواع السكانية، على عكس المعادلات المشابهة الأخرى، مثل معادلة الأنواع شبهية.

في التطبيقات العملية، تكون أعداد السكان محدودة عمومًا، مما يجعل الصيغة المنفصلة أكثر واقعية. يُعد التحليل أكثر صعوبة ويتطلب موارد حاسوبية مكثفة في الصيغة المنفصلة، ​​لذا غالبًا ما تُستخدم الصيغة المتصلة، على الرغم من فقدان بعض الخصائص المهمة نتيجةً لهذا التنعيم. تجدر الإشارة إلى أنه يمكن الحصول على الصيغة المتصلة من الصيغة المنفصلة من خلال عملية تقريبية .

لتبسيط التحليل، يُفترض غالبًا أن اللياقة تعتمد خطيًا على توزيع السكان، مما يسمح بكتابة معادلة التكرار بالشكل التالي:

xأنا˙=xأنا((أx)أنا-xتيأx){\displaystyle {\dot {x_{i}}}=x_{i}\left(\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right)}

حيث مصفوفة العوائدأ{\displaystyle A}تحتوي على جميع معلومات اللياقة البدنية للسكان: يمكن كتابة العائد المتوقع على النحو التالي(أx)أنا{\displaystyle \left(Ax\right)_{i}}ويمكن كتابة متوسط ​​لياقة السكان ككل على النحو التالي:xتيأx{\displaystyle x^{T}Ax}يمكن إثبات أن التغير في نسبة نسبتينxأنا/xج{\displaystyle x_{i}/x_{j}}فيما يتعلق بالوقت هو:ددت(xأناxج)=xأناxج[وأنا(x)-وج(x)]{\displaystyle {d \over {dt}}\left({x_{i} \over {x_{j}}}\right)={x_{i} \over {x_{j}}}\left[f_{i}(x)-f_{j}(x)\right]}بمعنى آخر، فإن التغيير في النسبة مدفوع بالكامل بالاختلاف في اللياقة بين الأنواع.

اشتقاق ديناميكيات النسخ الحتمية والعشوائية

لنفترض أن عدد الأفراد من النوعأنا{\displaystyle i}يكونشمالأنا{\displaystyle N_{i}}وأن العدد الإجمالي للأفراد هوشمال{\displaystyle N}حدد نسبة كل نوع لتكونxأنا=شمالأنا/شمال{\displaystyle x_{i}=N_{i}/N}افترض أن التغير في كل نوع يخضع لحركة براونية هندسية :دشمالأنا=وأناشمالأنادت+σأناشمالأناددبليوأنا{\displaystyle dN_{i}=f_{i}N_{i}dt+\sigma _{i}N_{i}dW_{i}}أينوأنا{\displaystyle f_{i}}اللياقة المرتبطة بالنوعأنا{\displaystyle i}متوسط ​​لياقة الأنواعϕ=xتيو{\displaystyle \phi =x^{T}f}يُفترض أن عمليات وينر غير مترابطة .xأنا(شمال1،...،شمالم){\displaystyle x_{i}(N_{1},...,N_{m})}ومن ثمّ تُعطينا ليمّة إيتو ما يلي :دxأنا(شمال1،...،شمالم)=∂xأنا∂شمالجدشمالج+12∂2xأنا∂شمالج∂شمالكدشمالجدشمالك=∂xأنا∂شمالجدشمالج+12∂2xأنا∂شمالج2(دشمالج)2{\displaystyle {\begin{aligned}dx_{i}(N_{1},...,N_{m})&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}\partial N_{k}}}dN_{j}dN_{k}\\&={\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}dN_{j}+{1 \over {2}}{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}(dN_{j})^{2}\end{aligned}}}وتكون المشتقات الجزئية كالتالي:∂xأنا∂شمالج=1شمالدلتاأناج-xأناشمال∂2xأنا∂شمالج2=-2شمال2دلتاأناج+2xأناشمال2{\displaystyle {\begin{aligned}{\partial x_{i} \over {\partial N_{j}}}&={1 \over {N}}\delta _{ij}-{x_{i} \over {N}}\\{\partial ^{2}x_{i} \over {\partial N_{j}^{2}}}&=-{2 \over {N^{2}}}\delta _{ij}+{2x_{i} \over {N^{2}}}\end{aligned}}}أيندلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}هي دالة دلتا كرونكر . تشير هذه العلاقات إلى ما يلي:دxأنا=دشمالأناشمال-xأنا∑جدشمالجشمال-(دشمالأنا)2شمال2+xأنا∑ج(دشمالج)2شمال2{\displaystyle dx_{i}={dN_{i} \over {N}}-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}+x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}}يمكن حساب كل مكون من مكونات هذه المعادلة على النحو التالي:دشمالأناشمال=وأناxأنادت+σأناxأناددبليوأنا-xأنا∑جدشمالجشمال=-xأنا(ϕدت+∑جσجxجددبليوج)-(دشمالأنا)2شمال2=-σأنا2xأنا2دتxأنا∑ج(دشمالج)2شمال2=xأنا(∑جσج2xج2)دت{\displaystyle {\begin{aligned}{dN_{i} \over {N}}&=f_{i}x_{i}dt+\sigma _{i}x_{i}dW_{i}\\-x_{i}\sum _{j}{dN_{j} \over {N}}&=-x_{i}\left(\phi dt+\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)\\-{(dN_{i})^{2} \over {N^{2}}}&=-\sigma _{i}^{2}x_{i}^{2}dt\\x_{i}\sum _{j}{(dN_{j})^{2} \over {N^{2}}}&=x_{i}\left(\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt\end{aligned}}}ثم تُعطى معادلة ديناميكيات النسخ العشوائي لكل نوع على النحو التالي:دxأنا=xأنا(وأنا-ϕ-σأنا2xأنا+∑جσج2xج2)دت+xأنا(σأناددبليوأنا-∑جσجxجددبليوج){\displaystyle dx_{i}=x_{i}\left(f_{i}-\phi -\sigma _{i}^{2}x_{i}+\sum _{j}\sigma _{j}^{2}x_{j}^{2}\right)dt+x_{i}\left(\sigma _{i}dW_{i}-\sum _{j}\sigma _{j}x_{j}dW_{j}\right)}بافتراض أنσأنا{\displaystyle \sigma _{i}}عندما تكون الحدود تساوي صفرًا تمامًا، يتم استعادة معادلة ديناميكيات النسخ الحتمية.

تحليل

يختلف التحليل بين الحالتين المستمرة والمتقطعة: ففي الحالة الأولى، تُستخدم طرق من المعادلات التفاضلية، بينما في الحالة الثانية تميل الطرق إلى أن تكون عشوائية. ولأن معادلة التكرار غير خطية، يصعب الحصول على حل دقيق (حتى في أبسط صورها المستمرة)، لذا تُحلل المعادلة عادةً من حيث الاستقرار. تُحقق معادلة التكرار (بصيغتيها المستمرة والمتقطعة) نظرية فولك في نظرية الألعاب التطورية، والتي تُحدد استقرار نقاط التوازن في المعادلة. وغالبًا ما يُعطى حل المعادلة بمجموعة الحالات المستقرة تطوريًا للسكان.

في الحالات غير المنحلة عمومًا، لا يمكن أن يوجد أكثر من حالة استقرار تطوري داخلية واحدة، على الرغم من إمكانية وجود العديد من حالات التوازن على حدود المعقد. جميع أوجه المعقد ثابتة أمامية، وهو ما يتوافق مع غياب الابتكار في معادلة التكرار: فبمجرد انقراض استراتيجية ما، لا سبيل لإحيائها.

تم تصنيف حلول مخططات الطور لمعادلة التكرار الخطي المستمر في حالتي البعدين والثلاثة أبعاد. ويزداد التصنيف صعوبةً في الأبعاد الأعلى نظرًا للزيادة السريعة في عدد المخططات المختلفة.

العلاقات مع المعادلات الأخرى

معادلة النسخ المستمر علىن{\displaystyle n}تُعادل الأنواع معادلة لوتكا-فولتيرا المعممة فين-1{\displaystyle n-1}الأبعاد. [ 2 ] [ 3 ] يتم التحويل عن طريق تغيير المتغيرات:

xأنا=yأنا1+∑ج=1ن-1yجأنا=1،...،ن-1{\displaystyle x_{i}={\frac {y_{i}}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}}\quad i=1,\ldots ,n-1}
xن=11+∑ج=1ن-1yج،{\displaystyle x_{n}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{n-1}{y_{j}}}},}

أينyأنا{\displaystyle y_{i}}يمثل متغير لوتكا - فولتيرا. كما أن ديناميكية النسخ المستمر مكافئة لمعادلة برايس . [ 4 ]

معادلة النسخ المنفصلة

عند دراسة مجتمع لانهائي غير منظم ذي أجيال غير متداخلة، ينبغي التعامل مع الصيغ المنفصلة لمعادلة التكرار. رياضياً، هناك صيغتان ظاهريتان بسيطتان:

xأنا′=xأنا+xأنا[(أx)أنا-xتيأx](تyصهـ أنا)،{\displaystyle x'_{i}=x_{i}+x_{i}\left[\left(Ax\right)_{i}-x^{T}Ax\right]\,({\rm {type~I),}}}
xأنا′=xأنا[(أx)أناxتيأx](تyصهـ أناأنا)،{\displaystyle x'_{i}=x_{i}\left[{\frac {\left(Ax\right)_{i}}{x^{T}Ax}}\right]\,({\rm {type~II),}}}

تتوافق هذه النتائج مع مبدأ داروين في الانتقاء الطبيعي أو أي ظاهرة تطورية مماثلة. هنا، يشير الرمز (') إلى الخطوة الزمنية التالية. مع ذلك، فإن الطبيعة المتقطعة للمعادلات تفرض قيودًا على عناصر مصفوفة العوائد. [ 5 ] ومن المثير للاهتمام، أنه في الحالة البسيطة لألعاب اللاعبين ذوي الاستراتيجيتين، فإن خريطة التكرار من النوع الأول قادرة على إظهار تشعب مضاعفة الفترة المؤدي إلى الفوضى ، كما أنها تُعطي تلميحًا حول كيفية تعميم [ 6 ] مفهوم الحالة المستقرة التطورية لاستيعاب الحلول الدورية للخريطة.

التعميمات

يتم تقديم تعميم لمعادلة النسخ التي تتضمن الطفرة بواسطة معادلة النسخ والطفرة، والتي تأخذ الشكل التالي في النسخة المستمرة: [ 7 ]

xأنا˙=∑ج=1نxجوج(x)سؤالجأنا-ϕ(x)xأنا،{\displaystyle {\dot {x_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}

حيث المصفوفةسؤال{\displaystyle Q}يُعطي احتمالات الانتقال للطفرة من النوعج{\displaystyle j}للكتابةأنا{\displaystyle i}،وأنا{\displaystyle f_{i}}هل هي لياقةأناتح{\displaystyle i^{th}}وϕ{\displaystyle \phi }يمثل متوسط ​​لياقة المجموعة السكانية. هذه المعادلة هي تعميم متزامن لمعادلة التكاثر ومعادلة الأنواع الشبيهة ، وتُستخدم في التحليل الرياضي للغة.

قد يكون للنسخة المنفصلة من معادلة المُضاعِف-المُطَفِّر نوعان بسيطان يتماشيان مع خريطتي المُضاعِف المذكورتين أعلاه:

xأنا′=xأنا+∑ج=1نxجوج(x)سؤالجأنا-ϕ(x)xأنا،{\displaystyle x'_{i}=x_{i}+\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}-\phi (x)x_{i},}

و

xأنا′=∑ج=1نxجوج(x)سؤالجأناϕ(x)،{\displaystyle x'_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}{x_{j}f_{j}(x)Q_{ji}}}{\phi (x)}},}

على التوالى.

يمكن توسيع معادلة المُكرِّر أو معادلة المُكرِّر-المُطَفِّر [ 8 ] لتشمل تأثير التأخير الذي يتوافق إما مع المعلومات المتأخرة حول حالة المجموعة أو مع إدراك تأثير التفاعل بين اللاعبين. كما يمكن تعميم معادلة المُكرِّر بسهولة لتشمل الألعاب غير المتناظرة . ويُستخدم تعميم حديث يتضمن بنية المجموعة في نظرية الرسم البياني التطورية . [ 9 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هوفباور، جوزيف؛ سيغموند، كارل (2003). "ديناميكيات الألعاب التطورية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 40 (4): 479-519 . doi : 10.1090/S0273-0979-03-00988-1 . ISSN 0273-0979 . 
  2. ↑ بومزي، إيمانويل م. (1983-10-01). "معادلة لوتكا-فولتيرا وديناميكيات النسخ: تصنيف ثنائي الأبعاد". علم التحكم الحيوي . 48 (3): 201-211 . doi : 10.1007/BF00318088 . ISSN 1432-0770 . S2CID 206774680 .  
  3. ↑ بومزي، إيمانويل م. (1995-04-01). "معادلة لوتكا-فولتيرا وديناميكيات النسخ: قضايا جديدة في التصنيف". علم التحكم الآلي البيولوجي . 72 (5): 447-453 . doi : 10.1007/BF00201420 . ISSN 1432-0770 . S2CID 18754189 .  
  4. ↑ بيج، كارين م.؛ نواك، مارتن أ. (2002-11-07). "توحيد الديناميكيات التطورية" . مجلة البيولوجيا النظرية . 219 (1): 93-98 . Bibcode : 2002JThBi.219...93P . doi : 10.1006/jtbi.2002.3112 . ISSN 0022-5193 . PMID 12392978 .  
  5. ↑ بانديت، فارون؛ موخوبادياي، أرتشان؛ تشاكرابورتي، ساجار (2018). "وزن انحراف اللياقة يحكم الفوضى الفيزيائية الصارمة في ديناميكيات النسخ". الفوضى . 28 ( 3): 033104. arXiv : 1703.10767 . Bibcode : 2018Chaos..28c3104P . doi : 10.1063/1.5011955 . PMID 29604653. S2CID 4559066 .  
  6. ↑ موخوبادياي، أرتشان؛ تشاكرابورتي، ساجار (2020). "المدار الدوري يمكن أن يكون مستقرًا تطوريًا: دراسة حالة لديناميكيات النسخ المنفصلة" . مجلة البيولوجيا النظرية . 497 110288. arXiv : 2102.11034 . Bibcode : 2020JThBi.49710288M . doi : 10.1016/j.jtbi.2020.110288 . PMID 32315673. S2CID 216073761 .  
  7. ↑ نواك، مارتن أ. (2006). الديناميات التطورية: استكشاف معادلات الحياة . دار بيلكناب للنشر. الصفحات 272-273 . ISBN  978-0-674-02338-3.
  8. ↑ ألبوزتا، يان؛ ميكيش، جاك (2004). "استقرار الاستراتيجيات المستقرة تطوريًا في ديناميكيات النسخ المنفصلة مع تأخير زمني" . مجلة البيولوجيا النظرية . 231 (2): 175-179 . arXiv : q-bio/0409024 . Bibcode : 2004JThBi.231..175A . doi : 10.1016/ j.jtbi.2004.06.012 . PMID 15380382. S2CID 15308310 .  
  9. ↑ ليبرمان، إيريز؛ هاورت، كريستوف؛ نواك، مارتن أ. (2005). "الديناميكيات التطورية على الرسوم البيانية" . مجلة نيتشر . 433 (7023): 312-316 . Bibcode : 2005Natur.433..312L . doi : 10.1038 / nature03204 . ISSN 1476-4687 . PMID 15662424. S2CID 4386820 .   

للمزيد من القراءة

  • كريسمان، ر. (2003). الديناميكيات التطورية وألعاب الشكل الموسع. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
  • تايلور، بي دي؛ جونكر، إل. (1978). "الاستراتيجيات المستقرة التطورية وديناميكيات اللعبة". العلوم البيولوجية الرياضية ، 40 : 145-156.
  • ساندولم، ويليام هـ. (2010). ألعاب السكان والديناميات التطورية . التعلم الاقتصادي والتطور الاجتماعي، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.