معادلة ريتشاردز

تمثل معادلة ريتشاردز حركة الماء في التربة غير المشبعة ، وتنسب إلى لورينزو أ. ريتشاردز الذي نشر المعادلة في عام 1931. ^[1] إنها معادلة تفاضلية جزئية شبه خطية ؛ غالبًا ما يقتصر حلها التحليلي على ظروف أولية وحدودية محددة. ^[2] تم تقديم دليل على وجود الحل وفرادته في عام 1983 فقط من قبل ألت ولوكهاوس . [ ^3] تستند المعادلة إلى قانون دارسي-باكنغهام [ ^1] الذي يمثل التدفق في الوسائط المسامية في ظل ظروف مشبعة متغيرة، والتي تنص على

${\displaystyle {\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),}$

أين

${\displaystyle {\vec {q}}}$هو التدفق الحجمي ؛

${\displaystyle \theta }$هو محتوى الماء الحجمي ؛

${\displaystyle h}$هو رأس ضغط السائل ، وهو سلبي بالنسبة للوسائط المسامية غير المشبعة؛

${\displaystyle \mathbf {K} (h)}$هي الموصلية الهيدروليكية غير المشبعة؛

${\displaystyle \nabla z}$هو تدرج الرأس الجيوديسي، والذي يُفترض بالنسبة للمشكلات ثلاثية الأبعاد.${\displaystyle \nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$

مع الأخذ بعين الاعتبار قانون حفظ الكتلة لوسط مسامي غير قابل للضغط وكثافة سائل ثابتة، معبرًا عنه بـ

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0}$,

أين

${\displaystyle S}$هو مصطلح الحوض [T ]، وعادة ما يكون امتصاص الماء من الجذور. ^[4]${\displaystyle ^{-1}}$

وبعد ذلك، عند استبدال التدفقات بقانون دارسي-باكنغهام، نحصل على معادلة ريتشاردز ذات الشكل المختلط التالية:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S}$.

بالنسبة لنمذجة التسلل أحادي البعد، يتم تقليص شكل التباعد هذا إلى

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S}$.

على الرغم من أن هذه المعادلة تُنسب إلى إل إيه ريتشاردز، إلا أن لويس فراي ريتشاردسون قدمها في الأصل قبل 9 سنوات في عام 1922. ^{[5] [6]}

تظهر معادلة ريتشاردز في العديد من المقالات في الأدبيات البيئية لأنها تصف التدفق في منطقة الفادوز بين الغلاف الجوي والطبقة الجوفية. كما تظهر في المجلات الرياضية البحتة لأنها تحتوي على حلول غير تافهة. تتضمن الصيغة المختلطة المذكورة أعلاه متغيرين غير معروفين: و . ويمكن حل ذلك بسهولة من خلال النظر في العلاقة التأسيسية ، والتي تُعرف باسم منحنى احتباس الماء . وبتطبيق قاعدة السلسلة ، يمكن إعادة صياغة معادلة ريتشاردز إما على هيئة معادلة ريتشاردز (تعتمد على الرأس) أو على هيئة معادلة ريتشاردز (تعتمد على التشبع). ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta(h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \theta }$

من خلال تطبيق قاعدة السلسلة على المشتق الزمني يؤدي إلى

${\displaystyle {\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}}$,

حيث يُعرف بسعة الاحتفاظ بالماء . ثم تُصاغ المعادلة على النحو التالي ${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}}$${\displaystyle C(h)}$

${\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S}$.

معادلة ريتشاردز المعتمدة على الرأس معرضة للمشكلة الحسابية التالية: المشتق الزمني المنفصل باستخدام طريقة روثي الضمنية يعطي التقريب التالي:

${\displaystyle {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .}$

يؤدي هذا التقريب إلى حدوث خطأ يؤثر على الحفاظ على كتلة الحل العددي، وبالتالي فإن الاستراتيجيات الخاصة لمعالجة المشتقات الزمنية ضرورية. ^[7]${\displaystyle \varepsilon }$

من خلال تطبيق قاعدة السلسلة على المشتقة المكانية يؤدي إلى

${\displaystyle \mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,}$

حيث ، والتي يمكن صياغتها بشكل أكبر على أنها ، تُعرف باسم انتشار مياه التربة . ثم تُصاغ المعادلة على النحو التالي ${\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}}$${\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}}$${\displaystyle \mathbf {D} (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.}$

معادلة ريتشاردز القائمة على التشبع عرضة للمشكلات الحسابية التالية. نظرًا لأن الحدود و ، حيث هو محتوى الماء المشبع (الحد الأقصى) و هو محتوى الماء المتبقي (الحد الأدنى) فإن الحل العددي الناجح يقتصر فقط على نطاقات محتوى الماء المرضية أسفل التشبع الكامل (يجب أن يكون التشبع أقل من قيمة دخول الهواء ) وكذلك المرضية فوق محتوى الماء المتبقي. ^[8]${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$${\displaystyle \theta _{s}}$${\displaystyle \theta _{r}}$

تتضمن معادلة ريتشاردز في أي من أشكالها خصائص هيدروليكية للتربة، وهي مجموعة من خمسة معلمات تمثل نوع التربة. تتكون خصائص التربة الهيدروليكية عادةً من معلمات منحنى احتباس الماء بواسطة فان جينوشتن: ^[9] ( )، حيث هو معكوس قيمة دخول الهواء [L ⁻¹ ]، هو معلمة توزيع حجم المسام [-]، وعادةً ما يُفترض أنه . علاوة على ذلك، يجب أيضًا توفير الموصلية الهيدروليكية المشبعة (والتي تكون بالنسبة للبيئة غير المتساوية موترًا من الدرجة الثانية). غالبًا ما يكون تحديد هذه المعلمات غير تافه وكان موضوعًا للعديد من المنشورات على مدى عدة عقود. ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15]}${\displaystyle \alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=1-{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \mathbf {K} _{s}}$

الحل العددي لمعادلة ريتشاردز هو أحد أكثر المشاكل تحديًا في علوم الأرض. ^[16] تعرضت معادلة ريتشاردز لانتقادات لكونها مكلفة حسابيًا وغير متوقعة ^{[17] [18]} لأنه لا يوجد ما يضمن أن يتقارب الحل لمجموعة معينة من العلاقات المكونة للتربة. هناك حاجة إلى حلول حسابية وبرمجية متقدمة هنا للتغلب على هذه العقبة. كما تعرضت الطريقة لانتقادات بسبب التأكيد المفرط على دور الشعيرات الدموية، ^[19] ولأنها في بعض النواحي "مبسطة بشكل مفرط" ^[20] في عمليات المحاكاة أحادية البعد لتسرب مياه الأمطار إلى التربة الجافة، يلزم وجود تقدير مكاني دقيق أقل من سم واحد بالقرب من سطح الأرض، ^[21] وهو ما يرجع إلى الحجم الصغير للحجم الأولي التمثيلي للتدفق متعدد المراحل في الوسائط المسامية. في التطبيقات ثلاثية الأبعاد، يخضع الحل العددي لمعادلة ريتشاردز لقيود نسبة العرض إلى الارتفاع حيث يجب أن تكون نسبة الدقة الأفقية إلى الرأسية في مجال الحل أقل من حوالي 7. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

• التسلل (علم المياه)
• منحنى احتباس الماء
• طريقة تدفق منطقة الفادوز ذات المحتوى المائي المحدود
• معادلة سرعة رطوبة التربة