تقريب الموجة الدوارة

يُعد تقريب الموجة الدوارة تقريبًا يُستخدم في بصريات الذرات والرنين المغناطيسي . في هذا التقريب، تُهمل الحدود في الهاميلتوني التي تتذبذب بسرعة. يُعد هذا التقريب صالحًا عندما يكون الإشعاع الكهرومغناطيسي المُطبق قريبًا من الرنين مع انتقال ذري، وتكون شدته منخفضة. ^{[ 1 ]} وبالتحديد، الحدود في الهاميلتوني التي تتذبذب بترددات${\displaystyle \omega _{L}+\omega _{0}}$يتم إهمال المصطلحات التي تتذبذب بترددات معينة، بينما يتم تجاهل المصطلحات التي تتذبذب بترددات معينة.${\displaystyle \omega _{L}-\omega _{0}}$يتم الاحتفاظ بها، حيث${\displaystyle \omega _{L}}$هو تردد الضوء، و${\displaystyle \omega _{0}}$هو تردد انتقالي.

يستمد اسم هذا التقريب من شكل الهاميلتوني في صورة التفاعل ، كما هو موضح أدناه. عند الانتقال إلى هذه الصورة، يُدمج تطور الذرة الناتج عن الهاميلتوني الذري المقابل في حالة النظام ، ولا يتبقى سوى التطور الناتج عن تفاعل الذرة مع المجال الضوئي. في هذه الصورة، يمكن إهمال الحدود المتذبذبة بسرعة المذكورة سابقًا. ولأن صورة التفاعل يمكن اعتبارها، بمعنى ما، دورانًا مع حالة النظام، فإن الجزء من الموجة الكهرومغناطيسية الذي يدور تقريبًا معها يُحتفظ به، بينما يُهمل المكون المعاكس للدوران.

يرتبط تقريب الموجة الدوارة ارتباطًا وثيقًا بالتقريب العلماني ، ولكنه يختلف عنه . ^{[ 2 ]}

لتبسيط الأمر، لنفترض نظامًا ذريًا ثنائي المستوى بحالات أرضية ومثارة${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$و${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$على التوالي (باستخدام ترميز أقواس ديراك ). ليكن فرق الطاقة بين الحالتين هو${\displaystyle \hbar \أوميغا _{0}}$لهذا السبب.${\displaystyle \omega _{0}}$يمثل تردد الانتقال للنظام. عندئذٍ، يمكن كتابة هاميلتوني الذرة غير المضطرب على النحو التالي:

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|}$.

لنفترض أن الذرة تتعرض لمجال كهربائي كلاسيكي خارجي بتردد${\displaystyle \omega _{L}}$، مقدمة من ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$على سبيل المثال، موجة مستوية تنتشر في الفضاء. عندئذٍ، في ظل تقريب ثنائي القطب، يمكن التعبير عن هاميلتوني التفاعل بين الذرة والمجال الكهربائي على النحو التالي:

${\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$،

أين${\displaystyle {\vec {d}}}$يمثل مؤثر عزم ثنائي القطب للذرة. وبالتالي، فإن الهاميلتوني الكلي لنظام الذرة-الضوء هو${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$ لا تمتلك الذرة عزم ثنائي القطب عندما تكون في حالة طاقة ذاتية ، لذلك${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.}$ وهذا يعني أن تعريف${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }$يسمح بكتابة عامل ثنائي القطب على النحو التالي

${\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}} _ {\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

(مع${\displaystyle ^{*}}$(يرمز إلى المرافق المركب ). ويمكن بعد ذلك إثبات أن هاميلتونيان التفاعل هو

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega) }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

أين${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$هو تردد رابي و${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$هو التردد المعاكس للدوران. لمعرفة السبب${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$تُسمى الحدود بالحدود المتعاكسة الدوران. لنفترض تحويلًا وحدويًا إلى صورة التفاعل أو صورة ديراك حيث يكون الهاميلتوني المُحوَّل${\displaystyle H_{1,I}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega) }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,}$

أين${\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$هو عدم التوافق بين مجال الضوء والذرة.

إجراء التقريب

هذه هي النقطة التي يتم عندها تطبيق تقريب الموجة الدوارة. وقد تم افتراض تقريب ثنائي القطب، ولكي يظل هذا التقريب صالحًا، يجب أن يكون المجال الكهربائي قريبًا من الرنين مع الانتقال الذري. وهذا يعني أن${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$والدوال الأسية المركبة تتضاعف${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$و${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$يمكن اعتبارها متذبذبة بسرعة. وبالتالي، على أي نطاق زمني ملحوظ، ستؤول التذبذبات بسرعة إلى الصفر. ومن ثم، فإن تقريب الموجة الدوارة يعني إمكانية إهمال هذه الحدود، وبالتالي يمكن كتابة الهاميلتوني في صورة التفاعل على النحو التالي:

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

وأخيرًا، بالتحول مرة أخرى إلى صورة شرودنغر ، يُعطى الهاميلتوني بواسطة

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

ومن المعايير الأخرى لتقريب الموجة الدوارة شرط الاقتران الضعيف، أي أن تردد رابي يجب أن يكون أقل بكثير من تردد الانتقال. ^{[ 1 ]}

عند هذه النقطة، يكتمل تقريب الموجة الدوارة. وتتمثل الخطوة الأولى الشائعة بعد ذلك في إزالة الاعتماد الزمني المتبقي في الهاميلتوني عبر تحويل وحدوي آخر.

بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه، فإن هاميلتونيان التفاعل هو

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|\\&-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}}$

كما ذُكر. الخطوة التالية هي إيجاد الهاميلتوني في صورة التفاعل .${\displaystyle H_{1,I}}$التحويل الوحدوي المطلوب هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin \left({\frac {\omega _{0}t}{2}}\right)\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}$

حيث يمكن إثبات الخطوة الثالثة باستخدام متسلسلة تايلور ، وباستخدام تعامد الحالات${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$و${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$لاحظ أن الضرب في طور إجمالي من${\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}}$لا يؤثر استخدام عامل وحدوي على الفيزياء الأساسية، لذا في الاستخدامات اللاحقة لـ${\displaystyle U}$سنتجاهله. تطبيق${\displaystyle U}$أعطِ:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}}$

والآن نطبق نموذج RWA عن طريق حذف الحدود ذات الدوران المعاكس كما هو موضح في القسم السابق:

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

وأخيرًا، نقوم بتحويل الهاميلتوني التقريبي${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}$بالعودة إلى صورة شرودنغر:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

لم يتأثر الهاميلتوني الذري بالتقريب، لذا فإن الهاميلتوني الكلي في صورة شرودنغر في ظل تقريب الموجة الدوارة هو

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$