طرق رونج-كوتا

في التحليل العددي ، طرق رونج - كوتا ( بالإنجليزية : / ˈrʊŋəˈkʊtɑː /​​​​^ⓘ RUUNG -ə- KUUT -tah ^{[ 1 ]} هي عائلة منالطرق التكراريةالضمنية والصريحةوالتي تشملطريقةأويلر، المستخدمة فيالتقطيع الزمنيللحلول التقريبيةللمعادلات غير الخطية المتزامنة. ^{[ 2 ]} تم تطوير هذه الطرق حوالي عام 1900 من قبل علماء الرياضيات الألمانكارل رونجوويلهلمكوتا.

يُشار إلى العضو الأكثر شهرة في عائلة رونج-كوتا عمومًا باسم "RK4"، أو "طريقة رونج-كوتا الكلاسيكية"، أو ببساطة باسم "طريقة رونج-كوتا".

لنفترض أن مسألة القيمة الابتدائية محددة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

هنا${\displaystyle y}$هي دالة غير معروفة (عددية أو متجهة) للزمن${\displaystyle t}$والتي نرغب في تقريبها؛ قيل لنا ذلك${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$، المعدل الذي${\displaystyle y}$التغييرات هي وظيفة لـ${\displaystyle t}$و من${\displaystyle y}$نفسها. في البداية${\displaystyle t_{0}}$المقابل${\displaystyle y}$القيمة هي${\displaystyle y_{0}}$الوظيفة${\displaystyle f}$والشروط الأولية${\displaystyle t_{0}}$، ${\displaystyle y_{0}}$يتم تقديمها.

والآن نختار حجم خطوة h > 0 ونحدد:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$

بالنسبة لـ n = 0، 1، 2، 3، ...، باستخدام ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{1}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+k_{2}{\frac {h}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\!\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}}$

( ملاحظة: المعادلات المذكورة أعلاه لها تعريفات مختلفة ولكنها متكافئة في نصوص مختلفة. ^{[ 4 ]} )

هنا${\displaystyle y_{n+1}}$هو تقريب RK4 لـ${\displaystyle y(t_{n+1})}$والقيمة التالية (${\displaystyle y_{n+1}}$يتم تحديدها بواسطة القيمة الحالية (${\displaystyle y_{n}}$) بالإضافة إلى المتوسط ​​المرجح لأربع زيادات، حيث تكون كل زيادة هي ناتج حجم الفترة، h ، والميل المقدر المحدد بواسطة الدالة f على الجانب الأيمن من المعادلة التفاضلية.

• ${\displaystyle k_{1}}$يمثل الميل في بداية الفترة، باستخدام${\displaystyle y}$( طريقة أويلر )؛
• ${\displaystyle k_{2}}$هو الميل عند نقطة المنتصف للفترة، باستخدام${\displaystyle y}$و${\displaystyle k_{1}}$؛
• ${\displaystyle k_{3}}$وهو مرة أخرى الميل عند نقطة المنتصف، ولكن الآن باستخدام${\displaystyle y}$و${\displaystyle k_{2}}$؛
• ${\displaystyle k_{4}}$هو الميل في نهاية الفترة، باستخدام${\displaystyle y}$و${\displaystyle k_{3}}$.

عند حساب متوسط ​​المنحدرات الأربعة، يُعطى وزن أكبر للمنحدرات عند نقطة المنتصف. إذا${\displaystyle f}$مستقل عن${\displaystyle y}$وبالتالي فإن المعادلة التفاضلية مكافئة لتكامل بسيط، فإن قاعدة RK4 هي قاعدة سيمبسون . ^{[ 5 ]}

تُعتبر طريقة RK4 طريقة من الدرجة الرابعة، مما يعني أن خطأ الاقتطاع المحلي يكون من رتبة${\displaystyle O(h^{5})}$بينما يبلغ إجمالي الخطأ المتراكم حوالي${\displaystyle O(h^{4})}$.

في العديد من التطبيقات العملية، الوظيفة${\displaystyle f}$مستقل عن${\displaystyle t}$(ما يسمى بالنظام المستقل ، أو النظام الثابت مع الزمن، خاصة في الفيزياء)، ولا يتم حساب زياداتها على الإطلاق ولا يتم تمريرها إلى الدالة${\displaystyle f}$، مع الصيغة النهائية فقط لـ${\displaystyle t_{n+1}}$مستخدم.

تُعدّ عائلة طرق رونج-كوتا الصريحة تعميمًا لطريقة رونج-كوتا من الرتبة الرابعة المذكورة أعلاه. وهي معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

حيث ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+(a_{21}k_{1})h),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})h),\\&\ \ \vdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+(a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1})h).\end{aligned}}}$

( ملاحظة: قد يكون للمعادلات المذكورة أعلاه تعريفات مختلفة ولكنها متكافئة في بعض النصوص. ^{[ 4 ]} )

لتحديد طريقة معينة، يلزم توفير العدد الصحيح s (عدد المراحل)، والمعاملات a _{_ij} (حيث 1 ≤ j < i ≤ s )، و b _{_i} (حيث i = 1, 2, ..., s )، و c_{_i} (حيث i = 2, 3, ..., s ). تُسمى المصفوفة [ a_{_ij} ] مصفوفة رونج-كوتا ، بينما يُعرف b _{_i} و c_{_i} بالأوزان والعُقد على التوالي . ^{[ 7 ]} عادةً ما تُرتب هذه البيانات في أداة تذكيرية تُعرف باسم جدول بوتشر (نسبةً إلى جون سي. بوتشر ).

${\displaystyle 0}$
${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
	${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$

يُظهر توسيع متسلسلة تايلور أن طريقة رونج-كوتا متسقة إذا وفقط إذا

${\displaystyle \sum _{i=1}^{s}b_{i}=1.}$

توجد أيضًا متطلبات مصاحبة إذا اقتضى الأمر أن يكون للطريقة رتبة معينة p ، أي أن يكون خطأ الاقتطاع المحلي من رتبة O( hp ^{+ 1} ). ويمكن استنتاج هذه المتطلبات من تعريف خطأ الاقتطاع نفسه. على سبيل المثال، تكون رتبة طريقة المرحلتين 2 إذا كان _b1 + b2 = 1، _و b2c2 = _{1/2 ،} و b2a21 = 1/2. _[ 8 ^] تجدر ^{الإشارة} إلى أن أحد الشروط الشائعة لتحديد المعاملات ^{هو [ 8 ]} _.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}{\text{ for }}i=2,\ldots ,s.}$

إلا أن هذا الشرط وحده ليس كافياً ولا ضرورياً لتحقيق الاتساق. ^{[ 9 ]}

بشكل عام، إذا كان صريحًا${\displaystyle s}$تتكون طريقة رونج-كوتا من عدة مراحل من رتبة${\displaystyle p}$إذاً، يمكن إثبات أن عدد المراحل يجب أن يفي بالشرط التالي:${\displaystyle s\geq p}$وإذا${\displaystyle p\geq 5}$، ثم${\displaystyle s\geq p+1}$^{[ 10 ]} مع ذلك ، ليس من المعروف ما إذا كانت هذه الحدود دقيقة في جميع الحالات. في بعض الحالات، ثبت أنه لا يمكن تحقيق الحد. على سبيل المثال، أثبت بوتشر أنه بالنسبة لـ${\displaystyle p>6}$لا توجد طريقة صريحة مع${\displaystyle s=p+1}$المراحل. ^{[ 11 ]} أثبت بوتشر أيضًا ذلك لـ${\displaystyle p>7}$لا توجد طريقة رونج-كوتا صريحة مع${\displaystyle p+2}$^{[ 12 ]} ومع ذلك، بشكل عام، لا تزال مسألة تحديد الحد الأدنى الدقيق لعدد المراحل مسألة مفتوحة .${\displaystyle s}$من أجل أن يكون لطريقة رونج-كوتا الصريحة رتبة${\displaystyle p}$بعض القيم المعروفة هي: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}}$

وبالتالي، فإن الحد القابل للإثبات أعلاه يعني أنه لا يمكننا إيجاد طرق للترتيبات${\displaystyle p=1,2,\ldots ,6}$تتطلب هذه الطرق مراحل أقل من الطرق المعروفة لدينا لهذه الرتب. كما أثبت عمل بوتشر أن طرق الرتبة السابعة والثامنة تتطلب 9 و11 مرحلة على الأقل، على التوالي. ^{[ 11 ] [ 12 ]} يمكن الاطلاع على مثال لطريقة صريحة من الرتبة السادسة بسبع مراحل في المرجع ^{[ 14 ]} . كما تُعرف طرق صريحة من الرتبة السابعة بتسع مراحل ^{[ 11 ]} وطرق صريحة من الرتبة الثامنة بإحدى عشرة مرحلة ^{[ 15 ]} . للاطلاع على ملخص ، انظر المرجعين ^{[ 16 ] [ 17 ] .}

كمثال، لنأخذ طريقة رونج-كوتا من الرتبة الثانية ذات المرحلتين مع α = 2/3، والمعروفة أيضًا باسم طريقة رالستون . وهي موضحة في الجدول.

مع المعادلات المقابلة

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},\ y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{n}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h\left({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2}\right).\end{aligned}}}$

تُستخدم هذه الطريقة لحل مسألة القيمة الابتدائية

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=\tan(y)+1,\quad y_{0}=1,\ t\in [1,1.1]}$

مع حجم الخطوة h = 0.025، لذا فإن الطريقة تحتاج إلى أربع خطوات.

تتم الطريقة على النحو التالي:

${\displaystyle t_{0}=1\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$
${\displaystyle t_{1}=1.025\colon }$
	${\displaystyle y_{0}=1}$	${\displaystyle k_{1}=2.557407725}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{0}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{0}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})=2.7138981400}$
	${\displaystyle y_{1}=y_{0}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.066869388}}}$
${\displaystyle t_{2}=1.05\colon }$
	${\displaystyle y_{1}=1.066869388}$	${\displaystyle k_{1}=2.813524695}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{1}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{1}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{2}=y_{1}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.141332181}}}$
${\displaystyle t_{3}=1.075\colon }$
	${\displaystyle y_{2}=1.141332181}$	${\displaystyle k_{1}=3.183536647}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{2}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{2}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{3}=y_{2}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.227417567}}}$
${\displaystyle t_{4}=1.1\colon }$
	${\displaystyle y_{3}=1.227417567}$	${\displaystyle k_{1}=3.796866512}$	${\displaystyle k_{2}=f(t_{3}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{3}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})}$
	${\displaystyle y_{4}=y_{3}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.335079087}}.}$

تتوافق الحلول العددية مع القيم التي تحتها خط.

تُعدّ طرق رونج-كوتا الصريحة غير مناسبة عمومًا لحل المعادلات الصلبة لأن نطاق استقرارها المطلق صغير، بل ومحدود. ^{[ 21 ]} وتكتسب هذه المسألة أهمية خاصة في حل المعادلات التفاضلية الجزئية .

إن عدم استقرار طرق رونج-كوتا الصريحة يحفز تطوير الطرق الضمنية. وتأخذ طريقة رونج-كوتا الضمنية الشكل التالي:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$

أين

${\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,\ y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}$^{[ 22 ]}

يتمثل الاختلاف مع الطريقة الصريحة في أن مجموع j في الطريقة الصريحة يقتصر على i − 1 فقط. ^{[ 23 ]} ويتضح هذا أيضًا في جدول بوتشر: مصفوفة المعاملات${\displaystyle a_{ij}}$تكون مصفوفة المعاملات في الطريقة الصريحة مثلثية سفلية. أما في الطريقة الضمنية، فيصل مجموع عناصر المصفوفة j إلى s ، ولا تكون مصفوفة المعاملات مثلثية تمامًا، مما ينتج عنه جدول بوتشر بالشكل ^{[ 18 ].}

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}$

نتيجةً لهذا الاختلاف، يجب في كل خطوة حلّ نظام من المعادلات الجبرية، مما يزيد التكلفة الحسابية بشكل ملحوظ. فإذا استُخدمت طريقة ذات s مراحل لحلّ معادلة تفاضلية ذات m مُركّب، فإن نظام المعادلات الجبرية سيحتوي على ms مُركّب. ويمكن مقارنة ذلك بطرق الخطوات المتعددة الخطية الضمنية (وهي الفئة الأخرى الكبيرة من طرق المعادلات التفاضلية العادية): إذ تحتاج طريقة الخطوات المتعددة الخطية الضمنية ذات s خطوة إلى حلّ نظام من المعادلات الجبرية ذي m مُركّب فقط، وبالتالي لا يزداد حجم النظام مع ازدياد عدد الخطوات. ^{[ 24 ]}

صُممت الطرق التكيفية لإنتاج تقدير لخطأ القطع المحلي لخطوة واحدة من خطوات رونج-كوتا. ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين، إحداهما من الرتبة${\displaystyle p}$وواحد مع النظام${\displaystyle p-1}$تتداخل هذه الطرق فيما بينها، أي أنها تشترك في خطوات وسيطة. وبفضل ذلك، فإن تقدير الخطأ يتطلب تكلفة حسابية ضئيلة أو معدومة مقارنةً بخطوة في الطريقة ذات الرتبة الأعلى.

أثناء عملية التكامل، يتم تعديل حجم الخطوة بحيث يبقى الخطأ المُقدَّر أقل من عتبة يحددها المستخدم: فإذا كان الخطأ مرتفعًا جدًا، تُكرَّر الخطوة بحجم أصغر؛ وإذا كان الخطأ أصغر بكثير، يُزاد حجم الخطوة لتوفير الوقت. ينتج عن ذلك حجم خطوة مثالي (تقريبًا)، مما يوفر وقت الحساب. علاوة على ذلك، لا يضطر المستخدم إلى إضاعة الوقت في البحث عن حجم خطوة مناسب.

الخطوة ذات الرتبة الأدنى تُعطى بواسطة

${\displaystyle y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},}$

أين${\displaystyle k_{i}}$وهي نفسها بالنسبة للطريقة ذات الرتبة الأعلى. إذن، الخطأ هو

${\displaystyle e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

وهو${\displaystyle O(h^{p})}$تم توسيع جدول بوتشر لهذا النوع من الطرق لإعطاء قيم${\displaystyle b_{i}^{*}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}}$

تتضمن طريقة رونج -كوتا-فيلبرج طريقتين من الرتبتين 5 و4. وجدول بوتشر الموسع الخاص بها هو:

ومع ذلك، فإن أبسط طريقة رونج-كوتا التكيفية تتضمن الجمع بين طريقة هيون ، وهي من الرتبة 2، وطريقة أويلر ، وهي من الرتبة 1. وجدول بوتشر الموسع الخاص بها هو:

ومن طرق رونج-كوتا التكيفية الأخرى طريقة بوجاكي-شامبين (الرتب 3 و2)، وطريقة كاش-كارب، وطريقة دورماند-برينس (كلاهما بالرتب 5 و4).

يُقال إن طريقة رونج-كوتا غير متقاربة ^{[ 33 ]} إذا كانت جميع${\displaystyle c_{i},\,i=1,2,\ldots ,s}$متميزة.

تُعدّ طرق رونج-كوتا-نيستروم (RKN) عائلة من الطرق القائمة على نفس مبادئ طرق رونج-كوتا ولكن لمسائل القيمة الأولية من الدرجة الثانية، ^{[ 34 ] [ 35 ]} وبالتالي مسائل من الشكل التالي  :

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=f(t,{\frac {dy}{dt}},y),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad {\frac {dy}{dt}}(t_{0})=y'_{0}.}$

يوجد مشتقان وتقريبان، وبالتالي تستخدم طريقة رونج-كوتا-نيستروم مصفوفتين من مصفوفات رونج-كوتا.${\displaystyle a_{ij},a'_{ij}}$ومجموعتين من الأوزان${\displaystyle b_{i},b'_{i}}$لكنها لا تزال تحتاج فقط إلى مجموعة واحدة من العقد${\displaystyle c_{i}}$ينتج عن ذلك جدول جزار بالشكل التالي  :

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &a'_{11}&a'_{12}&\dots &a'_{1s}\\&a'_{21}&a'_{22}&\dots &a'_{2s}\\&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\&a'_{s1}&a'_{s2}&\dots &a'_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {A'} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

افترض أن عمليات التقريب قد تم إجراؤها حتى${\displaystyle t_{n}}$، مع${\displaystyle y_{n}}$تقريب${\displaystyle y(t_{n})}$و${\displaystyle y'_{n}}$تقريب${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}(t_{n})}$التقريبات${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$في${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$هي حلول النظام التالي  :

$${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}=y_{n}+c_{i}hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}a_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\g'_{i}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a'_{ij}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j}),&i=1,2,\ldots ,s\\\\y_{n+1}=y_{n}+hy'_{n}+h^{2}\sum _{j=1}^{s}b_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\\y'_{n+1}=y'_{n}+h\sum _{j=1}^{s}b'_{j}f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})\end{cases}}}$$

أين${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$هي التقريبات الوسيطة لـ${\displaystyle y}$و${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$. إنه مكافئ تمامًا للعمل مع القيم${\displaystyle k_{j}=f(t_{n}+c_{j}h,g'_{j},g_{j})}$حيث${\displaystyle g_{j},g'_{j}}$تم استبدالها بصيغتهم الخاصة، بدلاً من العمل مع${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$، على غرار ما فعلناه سابقًا مع طرق رونج-كوتا، ولكن النظام أسهل في الكتابة بهذه الطريقة.

يُقال إن طريقة رونج-كوتا-نيستروم صريحة إذا كان كلاهما${\displaystyle A,A'}$هي مثلثات سفلية تمامًا، وفي هذه الحالة، تكون المجاميع${\textstyle \sum _{j=1}^{s}}$في تعبيرات${\displaystyle g_{i},g'_{i}}$، يمكن استبدالها بـ${\textstyle \sum _{j=1}^{i-1}}$^{[ 36 ]} . بالإضافة إلى ذلك، يُقال إن طريقة رونج-كوتا-نيستروم من رتبة${\displaystyle p}$إذا كان خطأ الاقتطاع المحلي لكليهما${\displaystyle y_{n+1},y'_{n+1}}$يكون${\displaystyle O(h^{p+1})}$.

إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$إن مسألة القيمة الابتدائية المدروسة مستقلة عن${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$لا حاجة لتقريب القيم الوسيطة${\displaystyle g'_{i}}$لحساب التقريبات، الأوزان${\displaystyle a'_{ij}}$وبالتالي فهي عديمة الفائدة، وبدلاً من ذلك نكتب طريقة مصممة خصيصًا لهذه الحالة الخاصة باستخدام جدول من الشكل التالي  :

$${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b'_{1}&b'_{2}&\dots &b'_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &\mathbf {A} \\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\\&\mathbf {b'} ^{\top }\end{array}}}$$

تُعدّ هذه الحالة الخاصة مثيرة للاهتمام بشكل خاص لأنها تسمح برتبة أعلى مما يمكن أن تحققه خوارزمية رونج-كوتا-نيستروم بشكل عام. على سبيل المثال، يُقدّم جدول بوتشر التالي طريقتين صريحتين من الرتبة الرابعة لخوارزمية رونج-كوتا-نيستروم:

$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2-{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&0&{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5-3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3+{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1+{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{c|ccc}c_{i}&&a_{ij}&\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&0&0\\{\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}&{\frac {2+{\sqrt {3}}}{12}}&0&0\\{\frac {3-{\sqrt {3}}}{6}}&0&-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\\hline b_{i}&{\frac {3+2{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3-2{\sqrt {3}}}{12}}\\\hline b'_{i}&{\frac {5+3{\sqrt {3}}}{24}}&{\frac {3-{\sqrt {3}}}{12}}&{\frac {1-{\sqrt {3}}}{24}}\\\end{array}}}$$

يتمتع هذان المخططان أيضًا بخصائص الحفاظ على التماثل عندما تُشتق المعادلة الأصلية من نظام ميكانيكي كلاسيكي محافظ، أي عندما

$${\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

بالنسبة لدالة قياسية معينة${\displaystyle V}$[ ^{37 ]​}

يرتبط مفهوم الاستقرار من النوع A لحل المعادلات التفاضلية بالمعادلة الخطية المستقلة${\displaystyle y'=\lambda y}$اقترح دالكوست (1963) دراسة استقرار المخططات العددية عند تطبيقها على الأنظمة غير الخطية التي تحقق شرط الرتابة. عُرّفت المفاهيم المقابلة على أنها استقرار G للطرق متعددة الخطوات (والطرق أحادية الخطوة ذات الصلة) واستقرار B (بوتشر، 1975) لطرق رونج-كوتا. طريقة رونج-كوتا المطبقة على النظام غير الخطي${\displaystyle y'=f(y)}$، مما يؤكد${\displaystyle \langle f(y)-f(z),\ y-z\rangle \leq 0}$يُطلق عليه اسم B-مستقر ، إذا كان هذا الشرط يستلزم${\displaystyle \|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|}$لحلين عدديين.

يترك${\displaystyle B}$،${\displaystyle M}$و${\displaystyle Q}$كن ثلاثة${\displaystyle s\times s}$المصفوفات المحددة بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}B&=\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}),\\[4pt]M&=BA+A^{T}B-bb^{T},\\[4pt]Q&=BA^{-1}+A^{-T}B-A^{-T}bb^{T}A^{-1}.\end{aligned}}}$$ يُقال إن طريقة رونج-كوتا مستقرة جبريًا ^{[ 38 ]} إذا كانت المصفوفات${\displaystyle B}$و${\displaystyle M}$كلاهما غير سالب تمامًا. الشرط الكافي لاستقرار B ^{[ 39 ]} هو:${\displaystyle B}$و${\displaystyle Q}$هي غير سالبة محددة.

بشكل عام، طريقة رونج-كوتا للترتيب${\displaystyle s}$يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle y_{t+h}=y_{t}+h\cdot \sum _{i=1}^{s}a_{i}k_{i}+{\mathcal {O}}(h^{s+1}),}$

أين:

${\displaystyle k_{i}=\sum _{j=1}^{s}\beta _{ij}f(k_{j},\ t_{n}+\alpha _{i}h)}$

هي زيادات يتم الحصول عليها من خلال تقييم مشتقات${\displaystyle y_{t}}$في${\displaystyle i}$الرتبة -th.

نقوم بتطوير الاشتقاق ^{[ 40 ]} لطريقة رونج-كوتا من الرتبة الرابعة باستخدام الصيغة العامة مع${\displaystyle s=4}$يتم تقييمها، كما هو موضح أعلاه، عند نقطة البداية ونقطة المنتصف ونقطة النهاية لأي فترة زمنية${\displaystyle (t,\ t+h)}$لذا، نختار:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha _{i}&&\beta _{ij}\\\alpha _{1}&=0&\beta _{21}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{2}&={\frac {1}{2}}&\beta _{32}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{3}&={\frac {1}{2}}&\beta _{43}&=1\\\alpha _{4}&=1&&\\\end{aligned}}}$

و${\displaystyle \beta _{ij}=0}$وإلا، نبدأ بتعريف الكميات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}^{1}&=y_{t}+hf\left(y_{t},\ t\right)\\y_{t+h}^{2}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\y_{t+h}^{3}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle y_{t+h/2}^{1}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{1}}{2}}}$و${\displaystyle y_{t+h/2}^{2}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{2}}{2}}.}$ إذا عرّفنا:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f(y_{t},\ t)\\k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hk_{3},\ t+h\right)\end{aligned}}}$

وبالنسبة للعلاقات السابقة، يمكننا أن نبين أن المتساويات التالية صحيحة حتى${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t},\ t\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\right]\end{aligned}}}$$ أين:$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)={\frac {\partial }{\partial y}}f(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}f(y_{t},\ t)=f_{y}(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+f_{t}(y_{t},\ t):={\ddot {y}}_{t}}$$ هي المشتقة الكلية لـ${\displaystyle f}$فيما يتعلق بالوقت.

إذا قمنا الآن بالتعبير عن الصيغة العامة باستخدام ما استنتجناه للتو، فسنحصل على:$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}={}&y_{t}+h\left\lbrace a\cdot f(y_{t},\ t)+b\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right.+\\&{}+c\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]+\\&{}+d\cdot \left[f(y_{t},\ t)+h{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+\left.{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]\right]\right\rbrace +{\mathcal {O}}(h^{5})\\={}&y_{t}+a\cdot hf_{t}+b\cdot hf_{t}+b\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+c\cdot hf_{t}+c\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+\\&{}+c\cdot {\frac {h^{3}}{4}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot hf_{t}+d\cdot h^{2}{\frac {df_{t}}{dt}}+d\cdot {\frac {h^{3}}{2}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot {\frac {h^{4}}{4}}{\frac {d^{3}f_{t}}{dt^{3}}}+{\mathcal {O}}(h^{5})\end{aligned}}}$$

ومقارنة ذلك بسلسلة تايلور لـ${\displaystyle y_{t+h}}$حول${\displaystyle t}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h{\dot {y}}_{t}+{\frac {h^{2}}{2}}{\ddot {y}}_{t}+{\frac {h^{3}}{6}}y_{t}^{(3)}+{\frac {h^{4}}{24}}y_{t}^{(4)}+{\mathcal {O}}(h^{5})=\\&=y_{t}+hf(y_{t},\ t)+{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{3}}{6}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{4}}{24}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}f(y_{t},\ t)\end{aligned}}}$$