مقياس الرسم (الخريطة)

يمكن التعبير عن مقاييس الخرائط بالكلمات (مقياس معجمي)، أو كنسبة، أو ككسر. ومن الأمثلة على ذلك:

"سنتيمتر واحد لكل مائة متر" أو 1:10000 أو 1/10000        

"بوصة واحدة لكل ميل" أو 1:63,360 أو 1/63,360        

"سنتيمتر واحد لكل ألف كيلومتر" أو 1:100,000,000 أو 1/100,000,000. (عادةً ما يتم اختصار النسبة إلى 1:100 مليون)        

إضافةً إلى ما سبق، تحتوي العديد من الخرائط على مقياس واحد أو أكثر (بياني) . على سبيل المثال، تحتوي بعض الخرائط البريطانية الحديثة على ثلاثة مقاييس، واحد لكل من الكيلومترات والأميال والأميال البحرية.

قد يكون من الأسهل تصور المقياس المعجمي بلغة يعرفها المستخدم من النسبة: إذا كان المقياس بوصة واحدة لكل ميلين ويمكن لمستخدم الخريطة أن يرى قريتين تفصل بينهما حوالي بوصتين على الخريطة، فمن السهل معرفة أن القريتين تفصل بينهما حوالي أربعة أميال على الأرض.

قد يُسبب المقياس المعجمي مشاكل إذا تم التعبير عنه بلغة لا يفهمها المستخدم، أو بوحدات قديمة أو غير محددة بدقة. على سبيل المثال، سيفهم العديد من كبار السن في البلدان التي كانت تُدرّس فيها الوحدات الإمبراطورية في المدارس مقياس بوصة واحدة لكل فرسخ (1:7920). لكن مقياس البوصة الواحدة لكل فرسخ قد يكون حوالي 1:144000، وذلك بحسب اختيار رسام الخرائط من بين التعريفات العديدة الممكنة للفرسخ، ولن يكون سوى عدد قليل من المستخدمين المعاصرين على دراية بالوحدات المستخدمة.

على النقيض من المقياس المكاني .

تُغطي الخرائط ذات المقياس الصغير مناطق واسعة، مثل خرائط العالم أو القارات أو الدول الكبيرة. بعبارة أخرى، تُظهر هذه الخرائط مساحات شاسعة من الأرض على مساحة صغيرة. وتُسمى ذات مقياس صغير لأن الجزء المُمثل منها صغير نسبيًا.

تُظهر الخرائط واسعة النطاق مناطق أصغر بتفاصيل أدق، مثل خرائط المقاطعات أو مخططات المدن. تُسمى هذه الخرائط واسعة النطاق لأن نسبة المناطق المُمثلة فيها كبيرة نسبيًا. على سبيل المثال، قد يكون مقياس مخطط المدينة، وهو خريطة واسعة النطاق، 1:10,000، بينما قد يكون مقياس خريطة العالم، وهي خريطة صغيرة النطاق، 1:100,000,000.

يصف الجدول التالي النطاقات النموذجية لهذه المقاييس، ولكن لا ينبغي اعتباره مرجعاً موثوقاً به لعدم وجود معيار موحد:

تُستخدم هذه المصطلحات أحيانًا بالمعنى المطلق كما هو موضح في الجدول، وأحيانًا أخرى بالمعنى النسبي. على سبيل المثال، قد يشير قارئ الخرائط الذي يعتمد عمله فقط على الخرائط واسعة النطاق (كما هو موضح في الجدول أعلاه) إلى خريطة بمقياس 1:500,000 على أنها خريطة صغيرة النطاق.

في اللغة الإنجليزية، يُستخدم مصطلح " واسع النطاق " غالبًا بمعنى "شامل". مع ذلك، وكما ذُكر سابقًا، يستخدم رسامو الخرائط مصطلح "واسع النطاق" للإشارة إلى الخرائط الأقل شمولًا، أي تلك التي تُظهر مساحة أصغر. أما الخرائط التي تُظهر مساحة واسعة فتُسمى "خرائط صغيرة النطاق". وهذا قد يُسبب بعض الالتباس.

يؤدي رسم خرائط لمساحات واسعة إلى تشوهات ملحوظة، إذ يُسطّح سطح الأرض المنحني بشكل كبير. ويعتمد توزيع هذه التشوهات على إسقاط الخريطة . كما يختلف المقياس عبر الخريطة ، والمقياس المذكور فيها هو مجرد تقريب. وسنتناول هذا الموضوع بالتفصيل لاحقًا.

هناك اصطلاحان يُستخدمان في صياغة معادلات أي إسقاط مُعطى. على سبيل المثال، يمكن كتابة الإسقاط الأسطواني المتساوي المستطيلات على النحو التالي:

رسامو الخرائط:      ${\displaystyle x=a\lambda }$    ${\displaystyle y=a\varphi }$

علماء الرياضيات:    ${\displaystyle x=\lambda }$    ${\displaystyle y=\varphi }$

سنعتمد هنا أول هذه الاصطلاحات (اتباعًا للاستخدام في مسوحات سنايدر). من الواضح أن معادلات الإسقاط المذكورة أعلاه تُحدد مواقع على أسطوانة ضخمة ملفوفة حول الأرض ثم تُفرد. نقول إن هذه الإحداثيات تُحدد خريطة الإسقاط التي يجب تمييزها منطقيًا عن الخرائط المطبوعة (أو المعروضة) الفعلية. إذا كان تعريف مقياس النقطة في القسم السابق مُرتبطًا بخريطة الإسقاط، فيمكننا توقع أن تكون عوامل المقياس قريبة من الواحد. بالنسبة للإسقاطات الأسطوانية المماسية العادية، يكون المقياس على طول خط الاستواء k=1، وبشكل عام يتغير المقياس كلما ابتعدنا عن خط الاستواء. تحليل المقياس على خريطة الإسقاط هو دراسة لتغير قيمة k عن قيمتها الحقيقية وهي الواحد.

تُنتَج الخرائط المطبوعة الفعلية من خريطة الإسقاط باستخدام مقياس ثابت يُشار إليه بنسبة مثل 1:100 مليون (لخرائط العالم بأكمله) أو 1:10000 (لخرائط المدن مثلاً). ولتجنب الالتباس في استخدام كلمة "مقياس"، يُطلق على هذا الجزء الثابت من المقياس اسم الجزء التمثيلي (RF) للخريطة المطبوعة، ويُعرَّف بأنه النسبة المطبوعة على الخريطة. إحداثيات الخريطة المطبوعة الفعلية للإسقاط الأسطواني المستطيل هي

خريطة مطبوعة:      ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$    ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

يسمح هذا الاتفاق بالتمييز الواضح بين مقياس الإسقاط الجوهري ومقياس الاختزال.

من هذه النقطة نتجاهل الترددات الراديوية ونعمل مع خريطة الإسقاط.

لنفترض وجود دائرة صغيرة على سطح الأرض مركزها نقطة P عند خط عرض${\displaystyle \varphi }$وخط الطول${\displaystyle \lambda }$بما أن مقياس النقطة يتغير بتغير الموقع والاتجاه، فإن إسقاط الدائرة على الخريطة سيتشوه. وقد أثبت تيسو أنه طالما لم يكن التشوه كبيرًا جدًا، فإن الدائرة ستتحول إلى شكل بيضاوي على الخريطة. وبشكل عام، يتغير بُعد وشكل واتجاه الشكل البيضاوي على الخريطة. ويُظهر تراكب هذه الأشكال البيضاوية المشوهة على إسقاط الخريطة كيفية تغير مقياس النقطة عليها. يُعرف الشكل البيضاوي المشوه باسم مؤشر تيسو . المثال الموضح هنا هو إسقاط وينكل الثلاثي ، وهو الإسقاط القياسي لخرائط العالم الذي وضعته الجمعية الجغرافية الوطنية . يكون التشوه في أدنى مستوياته على خط الزوال المركزي عند خطي عرض 30 درجة (شمالًا وجنوبًا). (أمثلة أخرى ^{[ 5 ] [ 6 ]} ).

يكمن مفتاح الفهم الكمي للمقياس في النظر إلى عنصر متناهي الصغر على الكرة. يوضح الشكل نقطة P عند خط عرض${\displaystyle \varphi }$وخط الطول${\displaystyle \lambda }$على الكرة. تقع النقطة Q عند خط العرض${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$وخط الطول${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$الخطان PK و MQ عبارة عن أقواس من خطوط طولها${\displaystyle a\,\delta \varphi }$أين${\displaystyle a}$يمثل نصف قطر الكرة و${\displaystyle \varphi }$القياس بالراديان . الخطان PM و KQ هما قوسان من دائرتين متوازيتين طولهما${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$مع${\displaystyle \lambda }$بقياس الراديان. عند اشتقاق خاصية نقطية للإسقاط عند النقطة P، يكفي أخذ عنصر متناهي الصغر PMQK من السطح: في حالة اقتراب Q من P، يميل هذا العنصر إلى مستطيل مستوٍ متناهي الصغر.

المساقط الأسطوانية العادية للكرة لها ${\displaystyle x=a\lambda }$و${\displaystyle y}$يساوي دالة لخط العرض فقط. لذلك، فإن العنصر المتناهي الصغر PMQK على الكرة يُسقط على عنصر متناهي الصغر P'M'Q'K' وهو مستطيل دقيق ذو قاعدة${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$والارتفاع ${\displaystyle \delta y}$بمقارنة العناصر على الكرة والإسقاط، يمكننا استنتاج تعابير عوامل المقياس على خطوط العرض وخطوط الطول مباشرةً. (يمكن الاطلاع على معالجة المقياس في اتجاه عام أدناه ).

عامل المقياس المتوازي  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

عامل مقياس خط الزوال ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

لاحظ أن عامل المقياس المتوازي${\displaystyle k=\sec \varphi }$ مستقل عن تعريف${\displaystyle y(\varphi )}$لذا، ينطبق الأمر نفسه على جميع الإسقاطات الأسطوانية العادية. ومن المفيد ملاحظة أن

عند خط عرض 30 درجة، يكون المقياس الموازي${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

عند خط عرض 45 درجة، يكون المقياس الموازي${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

عند خط عرض 60 درجة، يكون المقياس الموازي${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

عند خط عرض 80 درجة، يكون المقياس الموازي${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

عند خط عرض 85 درجة، يكون المقياس الموازي${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

توضح الأمثلة التالية ثلاثة إسقاطات أسطوانية عادية، وفي كل حالة يتم توضيح اختلاف المقياس مع الموضع والاتجاه باستخدام مؤشر تيسو .

مقياس نقطة مركاتور يساوي واحدًا عند خط الاستواء، لأن الأسطوانة المساعدة المستخدمة في إنشائه تكون مماسية للأرض عند خط الاستواء. ولهذا السبب، يُطلق على الإسقاط المعتاد اسم الإسقاط المماسي . ويتغير المقياس بتغير خط العرض.${\displaystyle k=\sec \varphi }$. منذ${\displaystyle \sec \varphi }$تقترب قيمة الإسقاط من اللانهاية كلما اقتربنا من القطبين، مما يؤدي إلى تشوه كبير في خريطة مركاتور عند خطوط العرض العليا، ولهذا السبب فإن هذا الإسقاط غير مناسب تمامًا لخرائط العالم (إلا إذا كنا نتحدث عن الملاحة وخطوط الرومب ). ومع ذلك، عند خط عرض يبلغ حوالي 25 درجة، تكون قيمة${\displaystyle \sec \varphi }$تبلغ قيمة معامل ميركاتور حوالي 1.1، لذا فإن دقته تصل إلى 10% في شريط عرضه 50 درجة متمركزًا على خط الاستواء. كلما كان الشريط أضيق، كان ذلك أفضل: فشريط عرضه 16 درجة (متمركزًا على خط الاستواء) تكون دقته في حدود 1% أو جزء واحد من مئة.

من المعايير القياسية للخرائط الجيدة واسعة النطاق أن تكون دقتها في حدود 4 أجزاء من 10000، أو 0.04%، وهو ما يعادل${\displaystyle k=1.0004}$. منذ${\displaystyle \sec \varphi }$ تصل هذه القيمة عند${\displaystyle \varphi =1.62}$(انظر الشكل أدناه، الخط الأحمر). لذلك، يتميز إسقاط مركاتور المماسي بدقة عالية ضمن شريط عرضه 3.24 درجة متمركزًا حول خط الاستواء. وهذا يُعادل مسافة شمالية جنوبية تبلغ حوالي 360 كيلومترًا (220 ميلًا) . ضمن هذا الشريط، يُعدّ إسقاط مركاتور ممتازًا ودقيقًا للغاية ويحافظ على الشكل لأنه متطابق (يحافظ على الزوايا). دفعت هذه الملاحظات إلى تطوير إسقاطات مركاتور المستعرضة، حيث يُعامل خط الزوال "كخط استواء" للإسقاط، ما يُتيح لنا الحصول على خريطة دقيقة ضمن مسافة ضيقة من خط الزوال هذا. تُعدّ هذه الخرائط مناسبة للدول التي تقع تقريبًا في اتجاه شمالي جنوبي (مثل بريطانيا العظمى )، وتُستخدم مجموعة من 60 خريطة من هذا النوع في نظام الإحداثيات العالمي المستعرض لمركاتور (UTM) . تجدر الإشارة إلى أنه في كلا هذين الإسقاطين (المبنيين على أشكال بيضاوية مختلفة)، تُعدّ معادلات التحويل لـ x و y، بالإضافة إلى صيغة عامل المقياس، دوالًا معقدة لكل من خط العرض وخط الطول.  

الفكرة الأساسية للإسقاط القاطع هي إسقاط الكرة على أسطوانة تتقاطع مع الكرة عند نقطتين متوازيتين، على سبيل المثال${\displaystyle \varphi _{1}}$شمالاً وجنوباً. من الواضح أن المقياس صحيح الآن عند هذه خطوط العرض، بينما تتقلص خطوط العرض الواقعة أسفلها بفعل الإسقاط، ويجب أن يكون عامل مقياسها (الموازي) أقل من واحد. والنتيجة هي أن انحراف المقياس عن الواحد يقل على نطاق أوسع من خطوط العرض.

على سبيل المثال، يتم تعريف أحد إسقاطات ميركاتور القاطعة الممكنة بواسطة

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

لا تُغير المضاعفات العددية شكل الإسقاط، ولكنها تعني تعديل عوامل المقياس:

مقياس ميركاتور القاطع،${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

هكذا

• المقياس على خط الاستواء هو 0.9996،
• المقياس k  =  1 عند خط عرض يُعطى بواسطة ${\displaystyle \varphi _{1}}$أين ${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$لهذا السبب.${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$درجات علمية،
• k=1.0004 عند خط عرض${\displaystyle \varphi _{2}}$مقدم من${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$والتي${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$درجات. لذلك، فإن الإسقاط له${\displaystyle 1<k<1.0004}$، أي دقة تبلغ 0.04٪، على شريط أوسع يبلغ 4.58 درجة (مقارنة بـ 3.24 درجة للشكل المماسي).

ويتضح ذلك من خلال المنحنى السفلي (الأخضر) في شكل القسم السابق.

تُستخدم هذه المناطق الضيقة ذات الدقة العالية في نظام الإحداثيات العالمي المنسق (UTM) والإسقاط البريطاني OSGB، وكلاهما عبارة عن إسقاط ميركاتور قاطع مستعرض على سطح الإهليلج مع مقياس ثابت على خط الزوال المركزي عند${\displaystyle k_{0}=0.9996}$خطوط تساوي المقياس مع${\displaystyle k=1}$هي خطوط منحنية قليلاً تقع على بعد حوالي 180  كم شرقاً وغرباً من خط الزوال المركزي. تبلغ القيمة القصوى لمعامل المقياس 1.001 لنظام الإحداثيات العالمي UTM و1.0007 لنظام الإحداثيات البريطاني OSGB.

خطوط مقياس الوحدة عند خط العرض${\displaystyle \varphi _{1}}$(الشمال والجنوب)، حيث يتقاطع سطح الإسقاط الأسطواني مع الكرة، هي خطوط العرض القياسية للإسقاط القاطع.

بينما نطاق ضيق مع${\displaystyle |k-1|<0.0004}$يُعدّ هذا الأمر بالغ الأهمية لرسم خرائط عالية الدقة على نطاق واسع، أما بالنسبة لخرائط العالم، فتُستخدم خطوط عرض قياسية متباعدة بشكل أكبر للتحكم في تباين المقياس. ومن الأمثلة على ذلك:

• بيرمان مع خطوط متوازية قياسية عند 30 شمالاً، 30 جنوباً.
• مساحة متساوية مع خطوط عرض قياسية عند 45 شمالاً و45 جنوباً.

تُظهر المخططات البيانية أدناه مقارنة بين مقياس الإسقاط الأخير ومعاملات مقياس لامبرت للمساحة المتساوية. في الإسقاط الأخير، يُمثل خط الاستواء خط عرض قياسي واحد، ويزداد مقياس العرض من k=1 لتعويض النقص في مقياس خط الزوال. أما في إسقاط غال، فيُقلل مقياس العرض عند خط الاستواء (إلى k=0.707) بينما يزداد مقياس خط الزوال (إلى k=1.414). يُؤدي هذا إلى تشوه كبير في شكل إسقاط غال-بيترز. (على الكرة الأرضية، يبلغ طول أفريقيا تقريبًا عرضها). تجدر الإشارة إلى أن مقياسي خط الزوال والعرض يساويان واحدًا على خطوط العرض القياسية.

بالنسبة للإسقاطات الأسطوانية العادية، تعطي هندسة العناصر المتناهية الصغر

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

العلاقة بين الزوايا${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle \alpha }$يكون

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

بالنسبة لإسقاط مركاتور ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$أعطِ${\displaystyle \alpha =\beta }$تُحفظ الزوايا. (وهذا ليس مفاجئًا، إذ إن هذه هي العلاقة المستخدمة في اشتقاق إسقاط ميركاتور). بالنسبة للإسقاطات متساوية البعد وإسقاطات لامبرت، لدينا${\displaystyle y'(\varphi )=a}$و${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$وبالتالي العلاقة بين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$يعتمد ذلك على خط العرض ${\displaystyle \varphi }$. لنرمز إلى مقياس النقطة عند النقطة P عندما يصنع العنصر المتناهي الصغر PQ زاوية ${\displaystyle \alpha \,}$مع خط الزوال بواسطة${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$يتم تحديدها من خلال نسبة المسافات:

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

جلسة${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$واستبدال${\displaystyle \delta \varphi }$و${\displaystyle \delta y}$من المعادلتين (أ) و (ب) على التوالي تعطي

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

بالنسبة للإسقاطات الأخرى غير إسقاط مركاتور، يجب علينا أولاً حساب${\displaystyle \beta }$من${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \varphi }$باستخدام المعادلة (ج)، قبل أن نتمكن من إيجاد${\displaystyle \mu _{\alpha }}$على سبيل المثال، يحتوي الإسقاط المستطيل المتساوي على${\displaystyle y'=a}$لهذا السبب.

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

إذا اعتبرنا خطًا ذا ميل ثابت ${\displaystyle \beta }$في الإسقاط، القيمة المقابلة لـ${\displaystyle \alpha }$وعامل المقياس على طول الخط عبارة عن دوال معقدة لـ${\displaystyle \varphi }$لا توجد طريقة بسيطة لنقل فصل محدود عام إلى مقياس شريطي والحصول على نتائج ذات مغزى.