دالة مفردة

في الرياضيات ، يُقال إن الدالة الحقيقية f على الفترة [ a , b ] شاذة إذا كانت لها الخصائص التالية:

• الدالة f متصلة على الفترة [ a , b ]. (**)
• يوجد مجموعة N ذات قياس 0 بحيث يكون لكل x خارج N، فإن المشتقة f ′ ( x ) موجودة وتساوي صفرًا؛ أي أن مشتقة f تتلاشى في كل مكان تقريبًا . 
• f غير ثابتة على [ a , b ].

من الأمثلة الشائعة على الدوال الشاذة دالة كانتور ، والتي تُسمى أحيانًا "سلم الشيطان" (وهو مصطلح يُستخدم أيضًا للدوال الشاذة عمومًا). مع ذلك، توجد دوال أخرى أُطلق عليها هذا الاسم، إحداها مُعرَّفة بدلالة دالة الدائرة .

إذا كانت f ( x ) = 0 لجميع x ≤ a و f ( x ) = 1 لجميع x ≥ b ، فيمكن اعتبار الدالة بمثابة دالة توزيع تراكمي لمتغير عشوائي ليس متغيرًا عشوائيًا منفصلاً (لأن الاحتمال يساوي صفرًا لكل نقطة) ولا متغيرًا عشوائيًا متصلًا بشكل مطلق (لأن كثافة الاحتمال تساوي صفرًا في كل مكان توجد فيه).

تظهر الدوال الشاذة، على سبيل المثال، كسلاسل من الأطوار أو البنى المتغيرة مكانيًا في المواد الصلبة والمغناطيسية ، والتي يصفها نموذج فرينكل-كونتوروفا ونموذج ANNNI بشكل نموذجي ، وكذلك في بعض الأنظمة الديناميكية . ولعل أشهرها على الإطلاق، أنها تقع في صميم تأثير هول الكمي الكسري .

عند مناقشة التحليل الرياضي عمومًا، أو تحديدًا التحليل الحقيقي أو التحليل المركب أو المعادلات التفاضلية ، يُشار عادةً إلى الدالة التي تحتوي على نقطة تفرد رياضية باسم "الدالة المتفردة". ويصدق هذا بشكل خاص عند الإشارة إلى الدوال التي تتباعد إلى ما لا نهاية عند نقطة ما أو على حدٍّ ما. على سبيل المثال، قد يقول قائل: " تصبح الدالة 1/x متفردة عند نقطة الأصل، لذا فهي دالة متفردة".

طُوِّرت تقنيات متقدمة للتعامل مع الدوال التي تحتوي على نقاط شاذة في مجال يُعرف بتحليل الدوال التوزيعية أو المعممة . ويُعرَّف مشتق ضعيف يسمح باستخدام الدوال الشاذة في المعادلات التفاضلية الجزئية ، وما إلى ذلك.

• استمرارية مطلقة
• التفرد الرياضي
• الدالة المعممة
• توزيع
• دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي

(**) يعتمد هذا الشرط على المراجع ^{[ 1 ]}

• ليبيغ، هـ. (1955-1961)، نظرية الدوال لمتغير حقيقي ، ف. أونغار
• هالموس، بي آر (1950)، نظرية القياس ، ضد نوستراند
• رويدن، إتش إل (1988)، التحليل الحقيقي ، برنتيس هول، إنجلوود كليفس، نيو جيرسي
• ليبيسج، هـ. (1928)، دروس حول التكامل والبحث عن الوظائف الأولية ، غوتييه فيلار