الدرجة المعيارية

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

مقارنة بين طرق التقييم المختلفة في التوزيع الطبيعي ، بما في ذلك: الانحرافات المعيارية ، والنسب المئوية التراكمية، ومعادلات النسب المئوية، والدرجات المعيارية (z-scores)، والدرجات المعيارية (T-scores).

في الإحصاء ، يُعرف المقياس المعياري أو الدرجة z بأنه عدد الانحرافات المعيارية التي تزيد أو تقل بها قيمة الدرجة الخام (أي القيمة المرصودة أو نقطة البيانات) عن متوسط ​​القيمة المرصودة أو المقاسة. وتُعطى الدرجات الخام التي تزيد عن المتوسط ​​درجات معيارية موجبة، بينما تُعطى الدرجات الخام التي تقل عن المتوسط ​​درجات معيارية سالبة.

يُحسب هذا المقياس بطرح متوسط ​​المجتمع من الدرجة الخام الفردية، ثم قسمة الفرق على الانحراف المعياري للمجتمع . تُسمى هذه العملية، التي تُحوّل الدرجة الخام إلى درجة معيارية، بالتقييس أو التوحيد (مع العلم أن مصطلح "التوحيد" قد يشمل أنواعًا عديدة من النسب؛ انظر التوحيد لمزيد من المعلومات).

تُعرف الدرجات المعيارية عادةً باسم درجات z ؛ ويمكن استخدام المصطلحين بشكل متبادل، كما هو الحال في هذه المقالة. ومن المصطلحات المكافئة الأخرى المستخدمة: قيمة z ، وإحصائية z ، والدرجة الطبيعية ، والمتغير المعياري ، وتقنية السحب في فيزياء الطاقة العالية . [ 1 ] [ 2 ]

يتطلب حساب قيمة z معرفة المتوسط ​​والانحراف المعياري للمجتمع الكامل الذي تنتمي إليه نقطة البيانات؛ إذا كان لدى المرء عينة فقط من الملاحظات من المجتمع، فإن الحساب المماثل باستخدام متوسط ​​العينة والانحراف المعياري للعينة ينتج عنه إحصائية t .

حساب

إذا كان متوسط ​​المجتمع والانحراف المعياري للمجتمع معروفين، يتم تحويل الدرجة الخام x إلى درجة معيارية بواسطة [ 3 ]

z=x-μσ{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}

أين:

تمثل القيمة المطلقة لـ z المسافة بين الدرجة الخام x ومتوسط ​​المجتمع بوحدات الانحراف المعياري. تكون قيمة z سالبة عندما تكون الدرجة الخام أقل من المتوسط، وموجبة عندما تكون أعلى منه.

يتطلب حساب قيمة z باستخدام هذه الصيغة استخدام متوسط ​​المجتمع وانحرافه المعياري، وليس متوسط ​​العينة أو انحرافها المعياري. مع ذلك، فإن معرفة المتوسط ​​والانحراف المعياري الحقيقيين للمجتمع غالبًا ما يكون أمرًا غير واقعي، باستثناء حالات مثل الاختبارات المعيارية ، حيث يتم قياس جميع أفراد المجتمع.

عندما يكون متوسط ​​المجتمع وانحرافه المعياري غير معروفين، يمكن تقدير الدرجة المعيارية باستخدام متوسط ​​العينة وانحرافها المعياري كتقديرات لقيم المجتمع. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

في هذه الحالات، يتم حساب قيمة z بواسطة

z=x-x¯S{\displaystyle z={\frac {x-{\bar {x}}}{S}}}

أين:

على الرغم من ضرورة التوضيح دائمًا، إلا أن التمييز بين استخدام إحصاءات المجتمع الإحصائي وإحصاءات العينة غالبًا ما يُغفل. في كلتا الحالتين، يكون لبسط ومقام المعادلات نفس وحدات القياس، بحيث تُحذف الوحدات عند القسمة، ويبقى z كميةً بلا أبعاد .

التطبيقات

اختبار Z

يُستخدم المقياس المعياري (z-score) غالبًا في اختبار z في الاختبارات المعيارية، وهو ما يُشابه اختبار t للطالب في حالة مجتمع إحصائي معروف المعايير، وليس مُقدَّرًا. ونظرًا لندرة معرفة جميع خصائص المجتمع الإحصائي، يُستخدم اختبار t على نطاق أوسع.

فترات التنبؤ

يمكن استخدام الدرجة المعيارية في حساب فترات التنبؤ . فترة التنبؤ [ L , U ] ، التي تتكون من حد أدنى يُرمز له بـ L وحد أعلى يُرمز له بـ U ، هي فترة يكون فيها احتمال وقوع قيمة مستقبلية X ضمن هذه الفترة مرتفعًا.γ{\displaystyle \gamma }، أي

برو(ل<X<يو)=γ،{\displaystyle \Pr(L<X<U)=\gamma ,}

بالنسبة للدرجة المعيارية Z لـ X، فإنها تعطي: [ 8 ]برو(ل-μσ<Z<يو-μσ)=γ.{\displaystyle \Pr {\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}<Z<{\frac {U-\mu }{\sigma }}\right)}=\gamma .} بتحديد الكمية z بحيث برو(-z<Z<z)=γ{\displaystyle \Pr \left(-z<Z<z\right)=\gamma } ويتبع ذلك: ل=μ-zσ، يو=μ+zσ{\displaystyle L=\mu -z\sigma ,\ U=\mu +z\sigma }

التحكم في العمليات

في تطبيقات التحكم في العمليات، توفر قيمة Z تقييمًا لمدى انحراف العملية عن الهدف.

مقارنة الدرجات المقاسة على مقاييس مختلفة: ACT و SAT

كانت قيمة z للطالب (أ) تساوي 1، مما يعني أن الطالب (أ) كان أعلى من المتوسط ​​بانحراف معياري واحد. وبالتالي، حقق الطالب (أ) أداءً في المئين 84.13 في اختبار SAT.

عند قياس الدرجات بمقاييس مختلفة، يمكن تحويلها إلى درجات معيارية (z-scores) لتسهيل المقارنة. يقدم ديتز وآخرون [ 9 ] المثال التالي، الذي يقارن درجات الطلاب في اختبارات SAT و ACT (القديمة) للمرحلة الثانوية. يوضح الجدول المتوسط ​​والانحراف المعياري للدرجات الإجمالية في اختبارَي SAT وACT. لنفترض أن الطالب (أ) حصل على 1800 في اختبار SAT، والطالب (ب) حصل على 24 في اختبار ACT. أي طالب كان أداؤه أفضل مقارنةً ببقية الطلاب؟

قعديمثل
يقصد150021
الانحراف المعياري3005
كانت قيمة z للطالب (ب) 0.6، أي أن الطالب (ب) كان أعلى من المتوسط ​​بمقدار 0.6 انحراف معياري. وبذلك، حقق الطالب (ب) أداءً في المئين 72.57 في اختبار SAT.

الدرجة المعيارية (z-score) للطالب أ هيz=x-μσ=1800-1500300=1{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {1800-1500}{300}}=1}

الدرجة المعيارية (z-score) للطالب ب هيz=x-μσ=24-215=0.6{\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}={\frac {24-21}{5}}=0.6}

لأن الطالب (أ) لديه درجة z أعلى من الطالب (ب)، فقد كان أداء الطالب (أ) أفضل مقارنةً بأداء الطالب (ب) مقارنةً بأداء الطلاب الآخرين الذين خضعوا للاختبار.

نسبة المشاهدات التي تقل عن قيمة z

استكمالاً لمثال درجات اختبار ACT و SAT، إذا كان من الممكن افتراض أن درجات كل من اختبار ACT و SAT موزعة توزيعًا طبيعيًا (وهو أمر صحيح تقريبًا)، فيمكن استخدام الدرجات المعيارية (z-scores) لحساب النسبة المئوية للممتحنين الذين حصلوا على درجات أقل من الطالبين أ و ب.

تحليل التجميع والقياس متعدد الأبعاد

"بالنسبة لبعض التقنيات متعددة المتغيرات مثل التحجيم متعدد الأبعاد وتحليل التجميع، فإن مفهوم المسافة بين الوحدات في البيانات غالبًا ما يكون ذا أهمية كبيرة... عندما تكون المتغيرات في مجموعة بيانات متعددة المتغيرات على مقاييس مختلفة، يكون من المنطقي أكثر حساب المسافات بعد شكل من أشكال التوحيد القياسي." [ 10 ]

تحليل المكونات الرئيسية

في تحليل المكونات الرئيسية ، "غالبًا ما يتم توحيد المتغيرات المقاسة على مقاييس مختلفة أو على مقياس مشترك بنطاقات متباينة على نطاق واسع." [ 11 ]

الأهمية النسبية للمتغيرات في الانحدار المتعدد: معاملات الانحدار المعيارية

يُستخدم توحيد المتغيرات قبل تحليل الانحدار المتعدد أحيانًا كوسيلة مساعدة في التفسير. [ 12 ] (الصفحة 95) تنص على ما يلي.

"ميل الانحدار المعياري هو الميل في معادلة الانحدار إذا تم توحيد X و Y ... يتم توحيد X و Y عن طريق طرح المتوسطات الخاصة بكل مجموعة من الملاحظات والقسمة على الانحرافات المعيارية الخاصة بها ... في الانحدار المتعدد، حيث يتم استخدام عدة متغيرات X، فإن معاملات الانحدار المعيارية تحدد المساهمة النسبية لكل متغير X."

مع ذلك، يُقدّم كوتنر وآخرون [ 13 ] (ص 278) التحذير التالي: "... يجب توخي الحذر عند تفسير أي معاملات انحدار، سواء كانت مُعيّرة أم لا. والسبب هو أنه عندما تكون المتغيرات التنبؤية مُرتبطة فيما بينها، ... تتأثر معاملات الانحدار بالمتغيرات التنبؤية الأخرى في النموذج ... لا تتأثر قيم معاملات الانحدار المُعيّرة بوجود الارتباطات بين المتغيرات التنبؤية فحسب، بل تتأثر أيضًا بتباعد المشاهدات على كل من هذه المتغيرات. في بعض الأحيان، قد يكون هذا التباعد عشوائيًا تمامًا. لذا، ليس من الحكمة عادةً تفسير قيم معاملات الانحدار المُعيّرة على أنها تعكس الأهمية النسبية للمتغيرات التنبؤية."

التقييس في الإحصاء الرياضي

في الإحصاء الرياضي ، يتم توحيد المتغير العشوائي X عن طريق طرح قيمته المتوقعةهـ⁡[X]{\displaystyle \operatorname {E} [X]}وقسمة الفرق على انحرافه المعياريσ(X)=متغير⁡(X){\textstyle \sigma (X)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}:

Z=X-هـ⁡[X]σ(X){\displaystyle Z={\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma (X)}}}

إذا كان المتغير العشوائي قيد الدراسة هو متوسط ​​العينة لعينة عشوائية X1،...،Xن{\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}}من X :

X¯=1ن∑أنا=1نXأنا{\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

ثم النسخة الموحدة هي

Z=X¯-هـ⁡[X¯]σ(X)/ن{\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\operatorname {E} [{\bar {X}}]}{\sigma (X)/{\sqrt {n}}}}}

حيث تم حساب تباين متوسط ​​العينة المعياري على النحو التالي:

متغير⁡(∑أناxأنا)=∑أنامتغير⁡(xأنا)=نمتغير⁡(xأنا)=نσ2متغير⁡(X¯)=متغير⁡(∑أناxأنان)=1ن2متغير⁡(∑أناxأنا)=نσ2ن2=σ2ن{\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}\operatorname {Var} (x_{i})=n\operatorname {Var} (x_{i})=n\sigma ^{2}\\[1ex]\textstyle \operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} \left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}\right)={\dfrac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} \left(\sum _{i}x_{i}\right)={\dfrac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\dfrac {\sigma ^{2}}{n}}\end{aligned}}}

درجة T

في التقييم التربوي، تُعدّ الدرجة المعيارية (T-score) درجة معيارية مُعدّلة (Z) بحيث يكون متوسطها 50 وانحرافها المعياري 10. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] وتُعرف أيضاً باسم "هينساتشي" في اللغة اليابانية، حيث يُستخدم هذا المفهوم على نطاق أوسع في سياق القبول في المدارس الثانوية والجامعات. [ 17 ]

في قياس كثافة العظام ، تعتبر درجة T هي الدرجة المعيارية للقياس مقارنة بمجموعة السكان الأصحاء البالغين في سن 30 عامًا، ويبلغ متوسطها المعتاد 0 وانحرافها المعياري 1. [ 18 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ مولدرز، مارتين؛ زاندريغي، جوليا، محرران. (2017). المدرسة الأوروبية لفيزياء الطاقة العالية 2015: بانسكو، بلغاريا، 2-15 سبتمبر 2015. تقارير سيرن الصفراء: وقائع المدرسة. جنيف: سيرن. ISBN 978-92-9083-472-4.
  2. ↑ غروس، إيلام (2017-11-06). "الإحصاءات العملية لفيزياء الطاقة العالية" . تقارير سيرن الصفراء: وقائع المدرسة . 4/2017: 165-186 . doi : 10.23730/CYRSP-2017-004.165 .
  3. ↑ إي. كريزيج (1979). الرياضيات الهندسية المتقدمة ( الطبعة الرابعة). وايلي. ص 880، معادلة 5. ISBN   0-471-02140-7.
  4. ↑ سبيجل، موراي ر.؛ ستيفنز، لاري ج. (2008)، ملخصات شوم في الإحصاء ( الطبعة الرابعة)، ماكجرو هيل، ISBN  978-0-07-148584-5
  5. ↑ ميندنهال، ويليام؛ سينسيتش، تيري (2007)، الإحصاء للهندسة والعلوم ( الطبعة الخامسة)، بيرسون / برنتيس هول، رقم ISBN  978-0131877061
  6. ↑ غلانتز، ستانتون أ.؛ سلينكر، برايان ك.؛ نيلاندز، تورستن ب. (2016)، مدخل إلى الانحدار التطبيقي وتحليل التباين ( الطبعة الثالثة)، ماكجرو هيل، ISBN  978-0071824118
  7. ↑ أهو، كين أ. (2014)، الإحصاء التأسيسي والتطبيقي لعلماء الأحياء ( الطبعة الأولى)، تشابمان آند هول / سي آر سي برس، رقم ISBN  978-1439873380
  8. ↑ إي. كريزيج (1979). الرياضيات الهندسية المتقدمة ( الطبعة الرابعة). وايلي. ص 880، معادلة 6. ISBN   0-471-02140-7.
  9. ↑ دييز، ديفيد؛ بار، كريستوفر؛ جيتينكايا-روندل، مين (2012)، إحصاءات أوبن إنترو (الطبعة الثانية )، openintro.org 
  10. ↑ إيفريت، برايان؛ هوثورن، تورستن جيه (2011)، مقدمة في التحليل متعدد المتغيرات التطبيقي باستخدام لغة البرمجة R ، سبرينغر، الصفحات 14-15 ، رقم ISBN  978-1441996497
  11. ↑ جونسون، ريتشارد؛ ويشرن، ويشرن (2007)، التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات التطبيقي ، بيرسون / برنتيس هول
  12. ↑ عفيفي، عبد المنعم؛ ماي، سوزان ك.؛ كلارك، فيرجينيا أ. (2012)، التحليل العملي متعدد المتغيرات ( الطبعة الخامسة)، تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN  978-1439816806
  13. ↑ كوتنر، مايكل؛ ناختشيم، كريستوفر؛ نيتر، جون (204)، نماذج الانحدار الخطي التطبيقي ( الطبعة الرابعة)، ماكجرو هيل، ISBN  978-0073014661{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  14. ↑ جون سالفيا؛ جيمس يسيلديك؛ سارة ويتمر (29 يناير 2009). التقييم: في التربية الخاصة والشاملة . سينجايج ليرنينج. ص 43 وما يليها. ISBN  978-0-547-13437-6.
  15. ↑ إدوارد س. نيوكروغ؛ ر. تشارلز فاوست (1 يناير 2014). أساسيات الاختبار والتقييم: دليل عملي للمستشارين والأخصائيين الاجتماعيين وعلماء النفس . سينجايج ليرنينج. ص 133 وما بعدها. ISBN  978-1-305-16183-2.
  16. ↑ كامفوس، راندي و. (16 أغسطس 2005). التقييم السريري لذكاء الأطفال والمراهقين ( الطبعة الثانية). سبرينغر. ص 123. doi : 10.1007/978-0-387-29149-9 . ISBN   978-0-387-26299-4.
  17. ↑ غودمان، روجر؛ أوكا، تشينامي (2018-09-03). "اختراع نظام هينساتشي ('الدرجة المعيارية')، والتلاعب به، واستمراريته في التعليم الياباني" . مجلة أكسفورد لمراجعة التعليم . 44 (5): 581-598 . doi : 10.1080/03054985.2018.1492375 . ISSN 0305-4985 . JSTOR 26836035 .  
  18. ↑ "قياس كتلة العظام: ماذا تعني الأرقام؟" . المركز الوطني لموارد هشاشة العظام والأمراض العظمية ذات الصلة التابع للمعاهد الوطنية للصحة. المعاهد الوطنية للصحة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أغسطس 2017 .

للمزيد من القراءة

  • كارول، سوزان روفيتزي؛ كارول، ديفيد ج. (2002). الإحصاءات المبسطة لقادة المدارس (  طبعة مصورة). روومان وليتلفيلد. ISBN 978-0-8108-4322-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 يونيو 2009 .
  • لارسن، ريتشارد جيه؛ ماركس، موريس إل. (2000). مقدمة في الإحصاء الرياضي وتطبيقاته (  الطبعة الثالثة). برنتيس هول. ص  282. ISBN 0-13-922303-7.