مشكلة ستوكس

المصادر: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

لا حاجة للشروط الابتدائية بسبب الدورية. وبما أن كلاً من المعادلة والشروط الحدية خطية، يمكن كتابة السرعة كجزء حقيقي من دالة مركبة.

${\displaystyle u=U\Re \left[e^{i\omega t}f(y)\right]}$

لأن${\displaystyle \cos \omega t=\Re \left[e^{i\omega t}\right]}$.

بإدخال هذا في المعادلة التفاضلية الجزئية، تتحول إلى معادلة تفاضلية عادية

${\displaystyle f''-{\frac {i\omega }{\nu }}f=0}$

مع الشروط الحدية

${\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0}$

الحل للمشكلة المذكورة أعلاه هو

${\displaystyle f(y)=\exp \left[-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\omega }{\nu }}}y\right]}$

${\displaystyle u(y,t)=Ue^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)}$

ينتقل الاضطراب الناتج عن الصفيحة المتذبذبة كموجة مستعرضة عبر السائل، ولكنه يتلاشى بشدة بفعل العامل الأسي. عمق الاختراق${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$يتناقص هذا الموجة مع تردد التذبذب، ولكنه يزداد مع اللزوجة الحركية للسائل.

القوة لكل وحدة مساحة التي يؤثر بها السائل على الصفيحة هي

${\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}={\sqrt {\rho \omega \mu }}U\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

يوجد فرق في الطور بين تذبذب الصفيحة والقوة المتولدة.

من الملاحظات المهمة المستخلصة من حل ستوكس للجريان فوق الجدار المتذبذب وجود طبقتين من السائل على مسافة معينة.${\displaystyle 2\pi {\sqrt {2\nu /\أوميغا }}}$تتذبذب هذه الطبقات في طور واحد. يحدد هذا الطول نوعًا من الطول الموجي لحركة المائع العمودية على الصفيحة. وبما أن تذبذبات السرعة تتلاشى أُسّيًا كلما ابتعدنا عن الجدار، فإن اللزوجة تُهيمن على قصور المائع في طبقات المائع المجاورة للجدار. ويُعطى مقياس طول هذه الطبقة الحدية بالعلاقة التالية:${\displaystyle \delta _{St}\approx {\sqrt {\nu /\omega }}}$وتسمى طبقة ستوكس الحدية . ^{[ 7 ]}

وبالتالي، تقتصر تذبذبات الدوامة على طبقة حدية رقيقة وتتلاشى أُسّيًا عند الابتعاد عن الجدار. ^{[ 8 ]} تنطبق هذه الملاحظة أيضًا على حالة الطبقة الحدية المضطربة. خارج طبقة ستوكس الحدية - التي غالبًا ما تشكل الجزء الأكبر من حجم المائع - يمكن إهمال تذبذبات الدوامة. وبتقريب جيد، تكون تذبذبات سرعة التدفق غير دورانية خارج الطبقة الحدية، ويمكن تطبيق نظرية التدفق الكامن على الجزء التذبذبي من الحركة. يُبسط هذا بشكل كبير حل مسائل التدفق هذه، ويُستخدم غالبًا في مناطق التدفق غير الدوراني لموجات الصوت وموجات الماء .

إذا كان نطاق المائع محصورًا بجدار علوي ثابت، يقع على ارتفاع${\displaystyle y=h}$، تُعطى سرعة التدفق بواسطة

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2(\cosh 2\lambda h-\cos 2\lambda h)}}[e^{-\lambda (y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y)+e^{\lambda (y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y)-e^{-\lambda y}\cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h)-e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]}$

أين${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\أوميغا /(2\nu )}}}$.

لنفترض أن مدى نطاق المائع هو${\displaystyle 0<y<h}$مع${\displaystyle y=h}$يمثل سطحًا حرًا. ثم يُعطى الحل كما أوضحه تشيا-شون ييه في عام 1968 ^{[ 9 ] بالصيغة التالية:}

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U\cos h/\delta \,\mathrm {cosh} \,h/\delta }{2(\cos ^{2}h/\delta +\mathrm {sinh} ^{2}h/\delta )}}\Re \left\{W+W^{*}-i\mathrm {tanh} \,h/\delta \,\tan h/\delta \,(WW^{*})\right\},\qquad W=\mathrm {cosh} [(1+i)(hy)/\delta ]e^{i\omega t}}$

أين${\displaystyle \delta ={\sqrt {2\nu /\omega }}}$و${\displaystyle W^{*}}$هو المرافق المعقد لـ${\displaystyle W.}$

يمكن بسهولة بناء حالة التدفق المتذبذب في المجال البعيد ، مع تثبيت الصفيحة في حالة سكون، من الحل السابق للصفيحة المتذبذبة باستخدام التراكب الخطي للحلول. لنفترض تذبذبًا بسرعة منتظمة${\displaystyle u(\infty ,t)=U_{\infty }\cos \omega t}$بعيدًا عن الصفيحة، وسرعة تتلاشى عند الصفيحة${\displaystyle u(0,t)=0}$بخلاف المائع الساكن في المسألة الأصلية، يجب أن يكون تدرج الضغط هنا عند اللانهاية دالة توافقية للزمن. ويُعطى الحل حينها بالصيغة التالية:

${\displaystyle u(y,t)=U_{\infty }\left[\,\cos \omega t-{\text{e}}^{-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y}\,\cos \left(\omega t-{\sqrt {\frac {\omega }{2\nu }}}y\right)\right],}$

وهي تساوي صفرًا عند الجدار y  =  0 ، وهو ما يتوافق مع شرط عدم الانزلاق لجدار ساكن. غالبًا ما تُصادف هذه الحالة في الموجات الصوتية بالقرب من جدار صلب، أو في حركة الموائع بالقرب من قاع البحر في أمواج الماء . تكون الدوامية، بالنسبة للتدفق المتذبذب بالقرب من جدار ساكن، مساوية للدوامية في حالة الصفيحة المتذبذبة، ولكن بإشارة معاكسة.

لنفترض أسطوانة لا نهائية الطول نصف قطرها${\displaystyle a}$يُظهر تذبذبًا التوائيًا بسرعة زاوية${\displaystyle \Omega \cos \omega t}$أين${\displaystyle \omega }$هو التردد. ثم تقترب السرعة بعد المرحلة الانتقالية الأولية إلى ^{[ 10 ]}

${\displaystyle v_{\theta }=a\Omega \ \Re \left[{\frac {K_{1}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

أين${\displaystyle K_{1}}$هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني. ويمكن التعبير عن هذا الحل باستخدام وسيط حقيقي ^{[ 11 ]} كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\left(r,t\right)&=\Psi \left\lbrace \left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)+{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\cos \left(t\right)\right.\\&+\left.\left[{\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)-{\textrm {ker}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right){\textrm {kei}}_{1}\left({\sqrt {R_{\omega }}}r\right)\right]\sin \left(t\right)\right\rbrace \\\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle \Psi =\left[{\textrm {kei}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)+{\textrm {ker}}_{1}^{2}\left({\sqrt {R_{\omega }}}\right)\right]^{-1},}$

${\displaystyle \mathrm {kei} }$و${\displaystyle \mathrm {ker} }$هي دوال كلفن و${\displaystyle R_{\omega }}$يُعرَّف رقم رينولدز التذبذبي عديم الأبعاد على النحو التالي:${\displaystyle R_{\omega }=\omega a^{2}/\nu }$، كون${\displaystyle \nu }$اللزوجة الحركية.

إذا تذبذبت الأسطوانة في الاتجاه المحوري بسرعة${\displaystyle U\cos \omega t}$إذن، يكون حقل السرعة هو

${\displaystyle u=U\ \Re \left[{\frac {K_{0}(r{\sqrt {i\omega /\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {i\omega /\nu }})}}e^{i\omega t}\right]}$

أين${\displaystyle K_{0}}$هي دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني.