تدفق كويت

في الواقع، لا يتم الوصول إلى حل كويت بشكل فوري. تُعطى "مشكلة بدء التشغيل" التي تصف الاقتراب من حالة الاستقرار بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}$

رهناً بالشرط الأولي

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad 0<y<h,}$

وبنفس الشروط الحدية للتدفق المستقر:

${\displaystyle u(0,t)=0,\quad u(h,t)=U,\quad t>0.}$

يمكن جعل المسألة متجانسة عن طريق طرح الحل المستقر. ثم، بتطبيق فصل المتغيرات، نحصل على الحل: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle u(y,t)=U{\frac {y}{h}}-{\frac {2U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-n^{2}\pi ^{2}{\frac {\nu t}{h^{2}}}}\sin \left[n\pi \left(1-{\frac {y}{h}}\right)\right]}$.

المقياس الزمني الذي يصف الاسترخاء إلى حالة الاستقرار هو${\displaystyle t\sim h^{2}/\nu }$كما هو موضح في الشكل. يعتمد الوقت اللازم للوصول إلى حالة الاستقرار فقط على المسافة بين الصفائح.${\displaystyle h}$واللزوجة الحركية للسائل، ولكن ليس على${\displaystyle U}$.

يتضمن تدفق كويت الأكثر عمومية تدرج ضغط ثابت${\displaystyle G=-dp/dx=\mathrm {constant} }$في اتجاه موازٍ للصفائح. معادلات نافيير-ستوكس هي

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }},}$

أين${\displaystyle \mu }$تمثل اللزوجة الديناميكية . بتكامل المعادلة أعلاه مرتين وتطبيق الشروط الحدية (كما في حالة تدفق كويت بدون تدرج ضغط) نحصل على

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y\,(hy)+U{\frac {y}{h}}.}$

يمكن أن يكون تدرج الضغط موجبًا (تدرج ضغط معاكس) أو سالبًا (تدرج ضغط مواتٍ). في الحالة الحدية للصفائح الثابتة (${\displaystyle U=0}$يُشار إلى هذا التدفق باسم تدفق بويزوي المستوي ، وله شكل سرعة مكافئ متناظر (بالنسبة للمستوى المتوسط ​​الأفقي). ^{[ 7 ]}

في التدفق غير القابل للانضغاط ، يكون توزيع السرعة خطيًا لأن درجة حرارة المائع ثابتة. وعندما تُحفظ الجدران العلوية والسفلية عند درجات حرارة مختلفة، يصبح توزيع السرعة أكثر تعقيدًا. ومع ذلك، فإنه يمتلك حلًا ضمنيًا دقيقًا كما أوضح سي آر إيلينغورث في عام 1950. ^{[ 8 ]}

ضع في اعتبارك تدفق كويت المستوي مع جدار سفلي ساكن وجدار علوي متحرك بسرعة ثابتة${\displaystyle U}$. دل على خصائص المائع عند الجدار السفلي بالرمز السفلي${\displaystyle w}$والخصائص الموجودة على الجدار العلوي مع الرمز السفلي${\displaystyle \infty }$تُحدد الخصائص والضغط عند الجدار العلوي وتُعتبر كميات مرجعية.${\displaystyle l}$لتكن المسافة بين الجدارين. شروط الحدود هي

${\displaystyle u=0,\ v=0,\ h=h_{w}=c_{pw}T_{w}\ {\text{at}}\ y=0,}$

${\displaystyle u=U,\ v=0,\ h=h_{\infty }=c_{p\infty }T_{\infty },\ p=p_{\infty }\ {\text{at}}\ y=l}$

أين${\displaystyle h}$هي المحتوى الحراري النوعي و${\displaystyle c_{p}}$هي الحرارة النوعية . قانون حفظ الكتلة و${\displaystyle y}$الزخم يتطلب${\displaystyle v=0,\ p=p_{\infty }}$في كل مكان في نطاق التدفق. حفظ الطاقة و${\displaystyle x}$- انخفاض الزخم إلى

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {du}{dy}}\right)=0,\quad \Rightarrow \quad {\frac {d\tau }{dy}}=0,\quad \Rightarrow \quad \tau =\tau _{w}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {Pr} }}{\frac {d}{dy}}\left(\mu {\frac {dh}{dy}}\right)+\mu \left({\frac {du}{dy}}\right)^{2}=0.}$

أين${\displaystyle \tau =\tau _{w}={\text{constant}}}$يمثل إجهاد القص على الجدار. ولا يعتمد التدفق على رقم رينولدز.${\displaystyle \mathrm {Re} =Ul/\nu _{\infty }}$ولكن بالأحرى على رقم براندتل${\displaystyle \mathrm {Pr} =\mu _{\infty }c_{p\infty }/\kappa _{\infty }}$ورقم ماخ${\displaystyle \mathrm {M} =U/c_{\infty }=U/{\sqrt {(\gamma -1)h_{\infty }}}}$، أين${\displaystyle \kappa }$هي الموصلية الحرارية ،${\displaystyle c}$هي سرعة الصوت و${\displaystyle \gamma }$هي نسبة الحرارة النوعية . أدخل المتغيرات غير البعدية

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {y}{l}},\quad {\tilde {T}}={\frac {T}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {T}}_{w}={\frac {T_{w}}{T_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}={\frac {h}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {h}}_{w}={\frac {h_{w}}{h_{\infty }}},\quad {\tilde {u}}={\frac {u}{U}},\quad {\tilde {\mu }}={\frac {\mu }{\mu _{\infty }}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}={\frac {\tau _{w}}{\mu _{\infty }U/l}}}$

وباستخدام هذه الكميات، تكون الحلول هي

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+\left[{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} +(1-{\tilde {h}}_{w})\right]{\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2},}$

${\displaystyle {\tilde {y}}={\frac {1}{{\tilde {\tau }}_{w}}}\int _{0}^{\tilde {u}}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad {\tilde {\tau }}_{w}=\int _{0}^{1}{\tilde {\mu }}\,d{\tilde {u}},\quad q_{w}=-{\frac {1}{\mathrm {Pr} }}\tau _{w}\left({\frac {dh}{du}}\right)_{w},}$

أين${\displaystyle q_{w}}$هي كمية الحرارة المنتقلة لكل وحدة زمنية لكل وحدة مساحة من الجدار السفلي.${\displaystyle {\tilde {h}},{\tilde {T}},{\tilde {u}},{\tilde {\mu }}}$هي وظائف ضمنية لـ${\displaystyle y}$يمكن أيضًا كتابة الحل بدلالة درجة حرارة الاستعادة${\displaystyle T_{r}}$وإنثالبي الاسترداد${\displaystyle h_{r}}$تم تقييمها عند درجة حرارة جدار معزول، أي قيم${\displaystyle T_{w}}$و${\displaystyle h_{w}}$والتي${\displaystyle q_{w}=0}$إذن الحل هو

${\displaystyle {\frac {q_{w}}{\tau _{w}U}}={\frac {{\tilde {T}}_{w}-{\tilde {T}}_{r}}{(\gamma -1)\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} }},\quad {\tilde {T}}_{r}=1+{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} ,}$

${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {h}}_{w}+({\tilde {h}}_{r}-{\tilde {h}}_{w}){\tilde {u}}-{\frac {\gamma -1}{2}}\mathrm {M} ^{2}\mathrm {Pr} \,{\tilde {u}}^{2}.}$

إذا كانت الحرارة النوعية ثابتة، فإن${\displaystyle {\tilde {h}}={\tilde {T}}}$. متى${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$و${\displaystyle T_{w}=T_{\infty },\Rightarrow q_{w}=0}$، ثم${\displaystyle T}$و${\displaystyle \mu }$تكون هذه القيم ثابتة في كل مكان، مما يؤدي إلى استعادة حل تدفق كويت غير القابل للانضغاط. وإلا، فيجب معرفة اعتماد درجة الحرارة الكامل لـ${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$. على الرغم من عدم وجود تعبير بسيط لـ${\displaystyle {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})}$على الرغم من أن هذه الطريقة دقيقة وعامة، إلا أن هناك العديد من التقريبات لبعض المواد - انظر، على سبيل المثال، اعتماد اللزوجة على درجة الحرارة . عندما${\displaystyle \mathrm {M} \rightarrow 0}$و${\displaystyle q_{w}\neq 0}$تصبح كميات الاسترداد وحدة واحدة${\displaystyle {\tilde {T}}_{r}=1}$بالنسبة للهواء، القيم${\displaystyle \gamma =1.4,\ {\tilde {\mu }}({\tilde {T}})={\tilde {T}}^{2/3}}$تُستخدم بشكل شائع، وتظهر نتائج هذه الحالة في الشكل.

تأثيرات التفكك والتأين (أي ،${\displaystyle c_{p}}$(ليست ثابتة) كما تمت دراستها أيضًا؛ في هذه الحالة، تنخفض درجة حرارة الاستعادة بسبب تفكك الجزيئات. ^{[ 9 ]}

التدفق أحادي البعد${\displaystyle u(y)}$تكون هذه المعادلة صحيحة عندما تكون كلتا الصفيحتين طويلتين إلى ما لا نهاية في اتجاه التدفق (${\displaystyle x}$) وامتدادياً (${\displaystyle z}$) الاتجاهات. عندما يكون الطول العرضي محدودًا، يصبح التدفق ثنائي الأبعاد و${\displaystyle u}$هي دالة لكليهما${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$ومع ذلك، يجب الحفاظ على الطول اللانهائي في اتجاه التدفق لضمان الطبيعة أحادية الاتجاه للتدفق.

على سبيل المثال، لنفترض قناة مستطيلة لا نهائية الطول ذات ارتفاع عرضي${\displaystyle h}$والعرض العرضي${\displaystyle l}$، بشرط أن يتحرك الجدار العلوي بسرعة ثابتة${\displaystyle U}$بدون وجود تدرج ضغط مفروض، تُختزل معادلات نافيير-ستوكس إلى

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

مع الشروط الحدية

${\displaystyle u(0,z)=0,\quad u(h,z)=U,}$

${\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(y,l)=0.}$

باستخدام فصل المتغيرات ، يُعطى الحل بواسطة

${\displaystyle u(y,z)={\frac {4U}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {\sinh(\beta _{n}y)}{\sinh(\beta _{n}h)}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}}.}$

متى${\displaystyle h/l\ll 1}$، يتم استعادة تدفق كويت المستوي، كما هو موضح في الشكل.

تفترض مسألة تدفق تايلور-كويت الكلاسيكية أسطوانات طويلة بلا حدود؛ إذا كانت الأسطوانات ذات طول محدود غير مهمل${\displaystyle l}$إذاً، يجب تعديل التحليل (على الرغم من أن التدفق لا يزال أحادي الاتجاه).${\displaystyle \Omega _{2}=0}$، يمكن حل مشكلة الطول المحدود باستخدام فصل المتغيرات أو التحويلات التكاملية ، مما يعطي: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle v_{\theta }(r,z)={\frac {4R_{1}\Omega _{1}}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}r)-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}r)}{I_{1}(\beta _{n}R_{2})K_{1}(\beta _{n}R_{1})-K_{1}(\beta _{n}R_{2})I_{1}(\beta _{n}R_{1})}}\sin(\beta _{n}z),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{l}},}$

أين${\displaystyle I(\beta _{n}r),\ K(\beta _{n}r)}$هي دوال بيسل المعدلة من النوع الأول والثاني.