متوسط ​​الخطأ المطلق

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعدّ متوسط ​​الخطأ المطلق ( MAE ) مقياسًا للأخطاء بين المشاهدات المزدوجة التي تُعبّر عن الظاهرة نفسها. تشمل أمثلة Y مقابل X مقارنات بين القيم المتوقعة والملاحظة، والوقت اللاحق مقابل الوقت الابتدائي، وتقنية قياس مقابل تقنية قياس بديلة. يُحسب MAE كمجموع الأخطاء المطلقة (أي مسافة مانهاتن ) مقسومًا على حجم العينة : [ 1 ]مأهـ=∑أنا=1ن|yأنا-xأنا|ن=∑أنا=1ن|هـأنا|ن.{\displaystyle \mathrm {MAE} ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|}{n}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left|e_{i}\right|}{n}}.}وبالتالي فهو المتوسط ​​الحسابي للأخطاء المطلقة|هـأنا|=|yأنا-xأنا|{\displaystyle |e_{i}|=|y_{i}-x_{i}|}، أينyأنا{\displaystyle y_{i}}هذا هو التوقع وxأنا{\displaystyle x_{i}}القيمة الحقيقية. قد تتضمن الصيغ البديلة التكرارات النسبية كعوامل ترجيح. يستخدم متوسط ​​الخطأ المطلق نفس مقياس البيانات المقاسة. يُعرف هذا بمقياس دقة يعتمد على المقياس، وبالتالي لا يمكن استخدامه للمقارنة بين القيم المتوقعة التي تستخدم مقاييس مختلفة. [ 2 ] يُعد متوسط ​​الخطأ المطلق مقياسًا شائعًا لخطأ التنبؤ في تحليل السلاسل الزمنية ، [ 3 ] ويُستخدم أحيانًا بالخلط مع التعريف الأكثر شيوعًا لمتوسط ​​الانحراف المطلق . يوجد هذا الخلط نفسه بشكل عام في الأدبيات التقنية.

اختلاف في الكمية واختلاف في التخصيص

نقطتان من البيانات حيث يكون اختلاف الكمية 0 واختلاف التخصيص 2 لكل من MAE و RMSE.

في الاستشعار عن بعد، يُعبّر أحيانًا عن متوسط ​​الخطأ المطلق (MAE) كمجموع عنصرين: اختلاف الكمية واختلاف التخصيص. اختلاف الكمية هو القيمة المطلقة لمتوسط ​​الخطأ: [ 4 ]|∑أنا=1نyأنا-xأنان|.{\displaystyle \left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}-x_{i}}{n}}\right|.}يُحسب عدم الاتفاق في التخصيص بطرح عدم الاتفاق في الكمية من متوسط ​​الخطأ المطلق.

من الممكن أيضاً تحديد أنواع الاختلاف من خلال النظر إلى(x،y){\displaystyle (x,y)}الرسم البياني. يوجد فرق في الكمية عندما لا يساوي متوسط ​​قيم X متوسط ​​قيم Y. يوجد فرق في التخصيص إذا وفقط إذا كانت النقاط تقع على جانبي خط التطابق (Y=X). [ 4 ] [ 5 ]

يُعدّ متوسط ​​الخطأ المطلق أحد الطرق العديدة لمقارنة التوقعات بنتائجها النهائية. ومن البدائل الراسخة متوسط ​​الخطأ المطلق المُقاس (MASE)، ومتوسط ​​الخطأ المطلق اللوغاريتمي (MALE)، ومتوسط ​​مربع الخطأ . تُوجز هذه المقاييس الأداء بطرق تتجاهل اتجاه التنبؤ الزائد أو الناقص؛ بينما يُركز مقياس متوسط ​​الفرق المُوَقَّع على هذا الاتجاه .

عندما يتم تركيب نموذج تنبؤ باستخدام مقياس أداء محدد، بمعنى أن نهج المربعات الصغرى مرتبط بمتوسط ​​مربع الخطأ ، فإن المكافئ لمتوسط ​​الخطأ المطلق هو أقل الانحرافات المطلقة .

لا يُعدّ متوسط ​​الخطأ المطلق (MAE) مطابقًا لجذر متوسط ​​مربع الخطأ (RMSE)، على الرغم من أن بعض الباحثين يُشيرون إليه ويُفسّرونه على هذا النحو. يُعتبر MAE أبسط مفهومًا وأسهل تفسيرًا من RMSE: فهو ببساطة متوسط ​​المسافة الرأسية أو الأفقية المطلقة بين كل نقطة في مخطط التشتت وخط Y=X. بعبارة أخرى، MAE هو متوسط ​​الفرق المطلق بين X وY. علاوة على ذلك، يُساهم كل خطأ في MAE بما يتناسب مع قيمته المطلقة. وهذا على عكس RMSE الذي يتضمن تربيع الفروق، بحيث تُؤدي بعض الفروق الكبيرة إلى زيادة RMSE بدرجة أكبر من MAE. [ 4 ]

خاصية الأمثلية

متوسط ​​الخطأ المطلق لمتغير حقيقي c بالنسبة للمتغير العشوائي X هو هـ(|X-ج|).{\displaystyle E(\left|Xc\right|).}بشرط أن يكون التوزيع الاحتمالي لـ X بحيث يتحقق التوقع المذكور أعلاه، فإن m يكون وسيطًا لـ X إذا وفقط إذا كان m يُقلل متوسط ​​الخطأ المطلق بالنسبة إلى X. [ 6 ] وعلى وجه الخصوص، يكون m وسيطًا للعينة إذا وفقط إذا كان m يُقلل المتوسط ​​الحسابي للانحرافات المطلقة. [ 7 ]

وبشكل أعم، يُعرَّف الوسيط بأنه الحد الأدنى لـهـ(|X-ج|-|X|)،{\displaystyle E(|Xc|-|X|),}كما نوقش في موضوع الوسيط متعدد المتغيرات (وتحديداً في موضوع الوسيط المكاني ). يُعد هذا التعريف للوسيط القائم على التحسين مفيداً في تحليل البيانات الإحصائية، على سبيل المثال، في تجميع البيانات باستخدام خوارزمية k -medians .

إثبات الأمثلية

البيان: المصنف الذي يقللهـ|y-y^|{\displaystyle \mathbb {E} |y-{\hat {y}}|}يكونو^(x)=متوسط(y|X=x){\displaystyle {\hat {f}}(x)={\text{الوسيط}}(y|X=x)}.

دليل:

دالة الخسارة للتصنيف هيل=هـ[|y-أ||X=x]=∫-∞∞|y-أ|وY|X(y)دy=∫-∞أ(أ-y)وY|X(y)دy+∫أ∞(y-أ)وY|X(y)دy.{\displaystyle {\begin{aligned}L&=\mathbb {E} [|ya||X=x]\\&=\int _{-\infty }^{\infty }|ya|f_{Y|X}(y)\,dy\\&=\int _{-\infty }^{a}(ay)f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty}(ya)f_{Y|X}(y)\,dy.\\\end{محاذاة}}}التمايز فيما يتعلق بـأ{\displaystyle a}أعطِ∂∂أل=∫-∞أوY|X(y)دy+∫أ∞-وY|X(y)دy=0.{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}L=\int _{-\infty }^{a}f_{Y|X}(y)\,dy+\int _{a}^{\infty }-f_{Y|X}(y)\,dy=0.}هذا يعنى∫-∞أو(y)دy=∫أ∞و(y)دy.{\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(y)\,dy=\int _{a}^{\infty }f(y)\,dy.}لذلك،FY|X(أ)=0.5{\displaystyle F_{Y|X}(a)=0.5.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ويلموت، كورت جيه؛ ماتسورا، كينجي (19 ديسمبر 2005). "مزايا متوسط ​​الخطأ المطلق (MAE) على جذر متوسط ​​مربع الخطأ (RMSE) في تقييم متوسط ​​أداء النموذج" . بحوث المناخ . 30 : 79-82 . doi : 10.3354/cr030079 .
  2. ↑ "2.5 تقييم دقة التنبؤ | OTexts" . www.otexts.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-05-2016 .
  3. ↑ هايندمان، ر. وكوهلر، أ. (2005). "نظرة أخرى على مقاييس دقة التنبؤ"
  4. بونتيوس الابن، روبرت جيلمور؛ ثونتيه، أولوفونميلايو؛ تشين، هاو (2008). "مكونات المعلومات للمقارنة متعددة الدقة بين الخرائط التي تشترك في متغير حقيقي" (ملف PDF) . الإحصاءات البيئية والإيكولوجية . 15 ( 2 ): 111-142 . doi : 10.1007 /s10651-007-0043-y . S2CID 21427573 . 
  5. ↑ ويلموت، سي جيه؛ ماتسورا، ك. (يناير 2006). "حول استخدام مقاييس الخطأ ذات الأبعاد لتقييم أداء المُستكمِلات المكانية". المجلة الدولية لعلوم المعلومات الجغرافية . 20 : 89-102 . doi : 10.1080/13658810500286976 . S2CID 15407960 . 
  6. ↑ ستروك ، دانيال (2011). نظرية الاحتمالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 43. ISBN  978-0-521-13250-3.
  7. ↑ ديغروت، موريس هـ. (1970). القرارات الإحصائية المثلى . شركة ماكجرو هيل للنشر، نيويورك-لندن-سيدني. ص 232. ISBN  9780471680291MR 0356303 .​