مسألة مجموع أربعة مكعبات

في عام 1959، أثبت كل من دبليو. سيربينسكي وإيه. شينزل أن جميع الأعداد الصحيحة في الفئات التالية يمكن التعبير عنها كمجموع 4 مكعبات من الأعداد الصحيحة: ^{[ 2 ]}

• الأعداد الصحيحة المتطابقة مع 0 بتردد 6
• الأعداد الصحيحة التي تطابق 3 بتردد 6
• الأعداد الصحيحة المتطابقة مع 1 بتردد 18
• الأعداد الصحيحة التي تطابق 7 بتردد 18
• الأعداد الصحيحة التي تطابق 8 بتردد 18

كما يقدم سيربينسكي وشينزل شرحًا لكيفية استخدام الهويات المستخدمة في براهين هذه الفئات لاستنتاج هوية تكميلية عن طريق الاستبدال${\displaystyle x}$مع${\displaystyle -x}$في جميع أنحاء الهوية، مما يثبت أن الفئة المقابلة هي الهوية الأصلية. ^{[ 2 ]}

وبناءً على ذلك، فقد أثبت هذا أن جميع الأعداد الصحيحة باستثناء تلك التي تتطابق مع ±2 و ±4 و ±5 بتردد 18 يمكن التعبير عنها كمجموع 4 مكعبات. ^{[ 2 ]}

بالإضافة إلى ذلك، قدم سيربينسكي وشينزل جداول توضح حلولاً للعديد من الأعداد الصحيحة المحددة في النطاق من 2 إلى 300، مشيرين إلى أن هذه الجداول (بالإضافة إلى المتطابقات والأساليب المذكورة سابقًا في الورقة) تثبت معًا أن جميع الأعداد الصحيحة التي قيمتها المطلقة أقل من أو تساوي 300، باستثناء ±148 و±257 و±284، يمكن تحليلها إلى مجموع 4 مكعبات. ^{[ 2 ]}

في عام 2004، قدم هنري كوهين ملخصًا أبسط لهذه النتائج، من خلال الهويات التالية (بعضها مطابق تقريبًا لتلك التي استخدمها سيربينسكي وشينزل): ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}6x&=(x+1)^{3}+(x-1)^{3}-x^{3}-x^{3}\\6x+3&=x^{3}+(-x+4)^{3}+(2x-5)^{3}+(-2x+4)^{3}\\18x+1&=(2x+14)^{3}+(-2x-23)^{3}+ (-3x-26)^{3}+(3x+30)^{3}\\18x+7&=(x+2)^{3}+(6x-1)^{3}+(8x-2)^{3}+(-9x+2)^{3}\\18x+8&=(x-5)^{3}+(-x+14)^{3}+(-3x+29)^{3}+(3x-30)^{3}\ .\end{aligned}}}$$

في عام 1966، قدم ف. أ. ديميانينكو الهويات التالية: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}54x+2&=(29484x^{2}+2211x+43)^{3}+(-29484x^{2}-2157x-41)^{3}+(9828x^{2}+485x+4)^{3}+(-9828x^{2}-971x-22)^{3}\\54x+20&=(3x-11)^{3}+(-3x+10)^{3}+(x+2)^{3}+(-x+7)^{3}\\21 6x-16&=(14742x^{2}-2157x+82)^{3}+(-14742x^{2}+2211x-86)^{3}+(4914x^{2}-971x+44)^{3}+(-4914x^{2}+485x-8)^{3}\\216x+92&=(3x-164)^{3}+(-3x+160)^{3}+(x-35)^{3}+(-x+71)^{3}\end{aligned}}}$$

إلى جانب متطابقاتها المكملة، تُثبت هذه النتائج حالة 18x±2 باستثناء الأعداد الصحيحة المطابقة لـ 108x±38. كما يُثبت ديميانينكو حالة 108x±38 في بحثه باستخدام أساليب أكثر تطورًا، وبذلك يُثبت حالة 18x±2 بشكل كامل. ^{[ 5 ]}

وبأخذ هذه النتيجة في الاعتبار إلى جانب النتائج السابقة من Sierpiński و Schinzel، فإن الحالتين 18x±4 و 18x±5 فقط هما اللتان لم تثبتا، ويمكن التعبير عنهما ببساطة أكبر على أنهما 9x±4.

كما يقدم ديميانينكو جدولاً لتحليل العديد من الأعداد المحددة في حالة 9 × ± 4، والذي يذكر أنه يوسع نطاق عمل سيربينسكي وشينزل لإثبات أن جميع الأعداد الصحيحة التي تقل قيمتها المطلقة عن 1000 أو تساويها يمكن تحليلها إلى مجموع 4 مكعبات. ^{[ 5 ]}