مجموع ثلاثة مكعبات

في رياضيات جمع القوى ، تُعدّ مسألة تحديد الأعداد التي يمكن التعبير عنها كمجموع ثلاثة مكعبات من الأعداد الصحيحة، مع السماح بوجود مكعبات موجبة وسالبة في المجموع، مسألة مفتوحة . ويُعدّ الشرط الضروري لعدد صحيح${\displaystyle n}$أن يساوي هذا المجموع هو أن${\displaystyle n}$لا يمكن أن يساوي 4 أو 5 بتردد 9، لأن المكعبات بتردد 9 هي 0 و1 و -1 ، ولا يمكن أن يكون مجموع ثلاثة من هذه الأرقام 4 أو 5 بتردد 9. ^{[ 1 ]} من غير المعروف ما إذا كان هذا الشرط الضروري كافيًا.

تتضمن تنويعات هذه المسألة مجموع مكعبات الأعداد غير السالبة ومجموع مكعبات الأعداد النسبية. جميع الأعداد الصحيحة لها تمثيل كمجموع مكعبات الأعداد النسبية، ولكن من غير المعروف ما إذا كانت مجاميع المكعبات غير السالبة تشكل مجموعة ذات كثافة طبيعية غير صفرية .

إن تمثيلًا غير تافه للصفر كمجموع ثلاثة مكعبات سيُقدّم مثالًا مضادًا لنظرية فيرما الأخيرة للأس ثلاثة، حيث سيكون لأحد المكعبات الثلاثة إشارة معاكسة للمكعبين الآخرين، وسيكون نفيه مساويًا لمجموع المكعبين الآخرين. لذلك، وبحسب برهان ليونارد أويلر لهذه الحالة من نظرية فيرما الأخيرة، ^{[ 2 ]} لا توجد سوى الحلول التافهة.

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

بالنسبة لتمثيلات 1 و2، توجد عائلات لا نهائية من الحلول

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$ (اكتشفها ^{[ 3 ]} ك. ماهلر في عام 1936)

و

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$(تم اكتشافه ^{[ 4 ]} بواسطة AS Verebrusov في عام 1908، كما نقل عنه LJ Mordell ^{[ 5 ]} ).

يمكن توسيع هذه التمثيلات للحصول على تمثيلات لأي مكعب أو أي عدد يساوي ضعف مكعب. ^{[ 5 ]} وهناك أيضًا تمثيلات أخرى معروفة للعدد 2 لا تُعطى بواسطة هذه العائلات اللانهائية: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

مع ذلك، فإن العددين 1 و2 هما العددان الوحيدان اللذان يمكن تمثيلهما باستخدام كثيرات الحدود من الدرجة الرابعة كما ذُكر أعلاه. ^{[ 5 ]} حتى في حالة تمثيلات العدد 3، كتب لويس ج. مورديل عام 1953: "لا أعرف شيئًا" أكثر من حلوله الصغيرة.

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$

وحقيقة أن كل عدد من الأعداد المكعبة الثلاثة يجب أن يكون متساوياً بتردد 9. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

منذ عام 1955، وبدءًا من مبادرة مورديل، قام العديد من الباحثين بتطبيق عمليات بحث حسابية عن هذه التمثيلات. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 6 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} استخدم إلسنهانس وجانيل (2009) طريقة نعوم إلكيس ( 2000 ) التي تتضمن اختزال الشبكة للبحث عن جميع حلول المعادلة الديوفانتية. 

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

للنتائج الإيجابية${\displaystyle n}$بحد أقصى 1000 و لـ${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$[ ^{16 ] مما يترك فقط 33، 42، 74، 114، 165، 390، 579، 627} ، 633، 732، 795، 906، 921، و975 كمسائل مفتوحة في عام 2009 لـ${\displaystyle n\leq 1000}$وتبقى الأرقام 192 و375 و600 بدون حلول أولية (أي${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$بعد أن تناول تيموثي براونينغ المشكلة في موقع Numberphile عام 2016، قام هويسمان (2016) بتوسيع نطاق هذه الأبحاث لتشمل${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$حل المسألة رقم 74، مع الحل

${\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}.}$

ومن خلال عمليات البحث هذه، تم اكتشاف أن جميع${\displaystyle n<100}$المعادلات التي لا تساوي 4 أو 5 modulo 9 لها حل، باستثناء اثنين على الأكثر، 33 و 42. ^{[ 17 ]}

إلا أنه في عام 2019، قام أندرو بوكر بتسوية القضية${\displaystyle n=33}$من خلال اكتشاف ذلك

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}.}$

ولتحقيق ذلك، استغل بوكر استراتيجية بحث بديلة ذات وقت تشغيل يتناسب مع${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)}$بدلاً من الوصول إلى أقصى إمكاناتهم، ^{[ 18 ]} وهو نهج اقترحه هيث براون وآخرون في الأصل. ^{[ 19 ]} كما وجد أيضًا أن

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},}$

وأثبت أنه لا توجد حلول لـ${\displaystyle n=42}$أو أي من القضايا الأخرى التي لم يتم حلها${\displaystyle n\leq 1000}$مع${\displaystyle |z|\leq 10^{16}}$.

بعد ذلك بوقت قصير، في سبتمبر 2019، توصل بوكر وأندرو ساذرلاند أخيرًا إلى تسوية${\displaystyle n=42}$في هذه الحالة، تم استخدام 1.3 مليون ساعة من الحوسبة على الشبكة العالمية لـ Charity Engine لاكتشاف ذلك.

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3},}$

بالإضافة إلى حلول للعديد من الحالات الأخرى غير المعروفة سابقًا، بما في ذلك${\displaystyle n=165}$و${\displaystyle 579}$ل${\displaystyle n\leq 1000}$[ ^{20 ]​}

كما وجد بوكر وسوذرلاند تمثيلاً ثالثاً للرقم 3 باستخدام 4 ملايين ساعة حاسوبية إضافية على موقع Charity Engine:

${\displaystyle 3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.}$^{[ 20 ] [ 21 ]}

حسم هذا الاكتشاف مسألةً طرحها لويس ج. مورديل قبل 65 عاماً، والتي حفزت الكثير من الأبحاث حول هذه المشكلة. ^{[ 7 ]}

أثناء عرضه للتمثيل الثالث للرقم 3 خلال ظهوره في فيديو على قناة Numberphile على يوتيوب ، قدم بوكر أيضًا تمثيلًا للرقم 906:

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$^{[ 22 ]}

الحالات المتبقية الوحيدة التي لم تُحل حتى 1000 هي الأرقام السبعة 114، 390، 627، 633، 732، 921، و975، ولا توجد حلول أولية معروفة (أي${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$) لـ 192 و 375 و 600. ^{[ 20 ] [ 23 ]}

انتشرت مسألة مجموع ثلاثة مكعبات في السنوات الأخيرة بفضل برادي هاران ، مؤسس قناة Numberphile على يوتيوب ، بدءًا من فيديو عام 2015 بعنوان "المسألة غير المحلولة مع 33" والذي تضمن مقابلة مع تيموثي براونينغ . ^{[ 24 ]} تبع ذلك بعد ستة أشهر فيديو بعنوان "تم حل 74" مع براونينغ، يناقش اكتشاف هويسمان لحل العدد 74 عام 2016. ^{[ 25 ]} في عام 2019، نشرت Numberphile ثلاثة فيديوهات ذات صلة، هي "42 هو 33 الجديد"، و"تم حل لغز 42"، و"3 كمجموع ثلاثة مكعبات"، وذلك احتفالًا باكتشاف حلول للأعداد 33 و42 والحل الجديد للعدد 3. ^{[ 26 ] [ 27 ] [ 22 ]}

ظهر حل بوكر للعدد 33 في مقالات نُشرت في مجلة كوانتا ^{[ 28 ]} ومجلة نيو ساينتست ^{[ 29 ]} ، بالإضافة إلى مقال في مجلة نيوزويك أُعلن فيه عن تعاون بوكر مع ساذرلاند: "...يعمل عالم الرياضيات الآن مع أندرو ساذرلاند من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا في محاولة لإيجاد حل للعدد الأخير غير المحلول الذي يقل عن مئة: 42". ^{[ 30 ]} ويحظى العدد 42 باهتمام شعبي إضافي نظرًا لظهوره في رواية الخيال العلمي " دليل المسافر إلى المجرة" للكاتب دوغلاس آدامز عام 1979، باعتباره إجابة السؤال الأخير عن الحياة والكون وكل شيء .

حظي إعلان بوكر وسوذرلاند ^{[ 31 ] [ 32 ]} عن حل المسألة 42 بتغطية إعلامية دولية واسعة، شملت مقالات في مجلات وصحف مرموقة مثل نيو ساينتست ^{[ 33 ]} ، ساينتفك أمريكان ^{[ 34 ]} ، بوبيولار ميكانيكس ^{[ 35 ]} ، ذا ريجستر ^{[ 36 ]} ، دي تسايت ^{[ 37 ]} ، دير تاغسشبيغل [ ^{38 ] ، هلسنغن} سانومات ^{[ 39 ]} ، دير شبيغل [ ^{40 ]،} نيوزيلندا هيرالد ^{[ 41 ]} ، إنديان إكسبريس ^{[ 42 ]} ، دير ستاندرد ^{[ 43 ]} ، لاس بروفينسياس ^{[ 44 ]} ، نيتافيزن ^{[ 45 ]} ، ديجي 24 [ ^{46 ]} ، وهيئة الإذاعة البريطانية (بي بي سي) ^{[47] . وقد صنّفت} مجلة بوبيولار ميكانيكس حل المسألة 42 ضمن "أهم 10 اكتشافات رياضية في عام 2019". ^{[ 48 ]}

أثار حلّ بوكر وسوذرلاند لسؤال مورديل بعد بضعة أسابيع موجة أخرى من التغطية الإخبارية. ^{[ 21 ] [ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ]}

في حديث بوكر المدعو في الندوة الرابعة عشرة لنظرية الأعداد الخوارزمية، يناقش بعض الاهتمام الشعبي بهذه المشكلة وردود الفعل العامة على الإعلان عن حلول 33 و 42. ^{[ 55 ]}

في عام 1992، افترض روجر هيث براون أن كل${\displaystyle n}$العدد الذي لا يساوي 4 أو 5 بتردد 9 له عدد لا نهائي من التمثيلات كمجموع ثلاثة مكعبات. ^{[ 56 ]} الحالة${\displaystyle n=33}$استُخدمت هذه المسألة من قِبل بيورن بونين كمثال افتتاحي في دراسة استقصائية حول المسائل غير القابلة للحسم في نظرية الأعداد ، والتي تُعدّ مسألة هيلبرت العاشرة أشهر مثال عليها. ^{[ 57 ]} على الرغم من حلّ هذه الحالة تحديدًا، إلا أنه من غير المعروف ما إذا كان تمثيل الأعداد كمجموع مكعبات قابلًا للحسم. أي أنه من غير المعروف ما إذا كان بإمكان خوارزمية، لكل مُدخل، اختبار ما إذا كان لعدد مُعطى تمثيل كهذا في وقت محدود. إذا كانت فرضية هيث براون صحيحة، فإن المسألة قابلة للحسم. في هذه الحالة، يمكن لخوارزمية حلّ المسألة بشكل صحيح عن طريق حساب${\displaystyle n}$باقي القسمة على 9، حيث تُرجع القيمة خطأً إذا كانت 4 أو 5، وإلا تُرجع القيمة صحيحًا. كما يتضمن بحث هيث-براون تخمينات أكثر دقة حول مدى البحث الذي يتعين على الخوارزمية القيام به للعثور على تمثيل صريح بدلاً من مجرد تحديد ما إذا كان موجودًا أم لا. ^{[ 56 ]}

تُطرح صيغةٌ أخرى لهذه المسألة، مرتبطة بمسألة وارينغ، تطلب تمثيلاتٍ كمجموع ثلاثة مكعبات من الأعداد الصحيحة غير السالبة. في القرن التاسع عشر، قام كارل غوستاف جاكوب جاكوبي وزملاؤه بتجميع جداول حلول لهذه المسألة. ^{[ 58 ]} يُفترض أن الأعداد القابلة للتمثيل لها كثافة طبيعية موجبة . ^{[ 59 ] [ 60 ]} لا يزال هذا الأمر غير معروف، لكن تريفور وولي قد أثبت أن${\displaystyle \Omega (n^{0.917})}$من الأرقام من${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle n}$لها مثل هذه التمثيلات. ^{[ 61 ] [ 62 ] [ 63 ]} الكثافة على الأكثر${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0.119}$[ ^{1 ]​}

يمكن تمثيل كل عدد صحيح كمجموع ثلاثة مكعبات من الأعداد النسبية (بدلاً من كونه مجموع مكعبات الأعداد الصحيحة). ^{[ 64 ] [ 65 ]}

• مسألة مجموع أربعة مكعبات ، هل كل عدد صحيح هو مجموع أربعة مكعبات؟
• تخمين أويلر لمجموع القوى §  k = 3 ، المتعلق بالمكعبات التي يمكن كتابتها كمجموع ثلاثة مكعبات موجبة.
• عدد أفلاطون ، وهو نص قديم ربما يناقش المعادلة ^3³ + ^4³ + ^5³ = ^6³
• رقم التاكسي ، أصغر عدد صحيح يمكن التعبير عنه كمجموع مكعبين صحيحين موجبين بـ n طريقة مختلفة

• حلول المعادلة التفاضلية n = x³ + ^y³ + z³ ^لـ 0 ≤ n ≤ 99 ^، هيسانوري ميشيما
• ثلاثة مكعبات ، دانيال ج. بيرنشتاين
• مجموع ثلاثة مكعبات ، صفحات الرياضيات