مجموع القوى

في الرياضيات والإحصاء ، تظهر مجاميع القوى في عدد من السياقات :

• تظهر مجاميع المربعات في العديد من السياقات. على سبيل المثال، في الهندسة ، تتضمن نظرية فيثاغورس مجموع مربعين؛ وفي نظرية الأعداد ، هناك نظرية ليجندر للمربعات الثلاثة ونظرية جاكوبي للمربعات الأربعة ؛ وفي الإحصاء ، يتضمن تحليل التباين جمع مربعات الكميات.
• يوجد عدد محدود فقط من الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تمثل مجموع مربعات مختلفة . أكبرها هو 128. وينطبق الأمر نفسه على مجموع مكعبات مختلفة (أكبرها 12758)، وقوى رابعة مختلفة (أكبرها 5134240)، وهكذا. انظر ^{[ 1 ]} للاطلاع على تعميم يشمل مجموع كثيرات الحدود.
• تعبر صيغة فولهاوبر عن${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$كدالة متعددة الحدود في n ، أو بدلاً من ذلك بدلالة متعددة حدود برنولي .
• الأعداد المثلثية هي مجموع القوى الأولى للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى. ومربعات الأعداد المثلثية هي مجموع القوى الثالثة للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى. في الصيغ الرياضية، تُكتب هذه الأعداد على النحو التالي:

${\displaystyle 1^{1}+2^{1}+3^{1}+\cdots +n^{1}={\frac {n(n+1)}{2}}}$

و

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

• تنص نظرية المثلث القائم لفرما على أنه لا يوجد حل في الأعداد الصحيحة الموجبة لـ${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$و${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$.
• تنص نظرية فيرما الأخيرة على أن${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$مستحيل في الأعداد الصحيحة الموجبة حيث k > 2 .
• معادلة القطع الناقص الفائق هي${\displaystyle |x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1}$. المربع الدائري هو الحالة k = 4 ، a = b .
• تتعلق فرضية مجموع القوى لأويلر (التي تم دحضها) بالحالات التي يكون فيها مجموع n من الأعداد الصحيحة، كل منها قوة k لعدد ^{صحيح ، يساوي قوة} k أخرى .
• تتساءل فرضية فيرما -كاتالان عما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأمثلة التي يمكن فيها أن يساوي مجموع عددين صحيحين أوليين فيما بينهما، كل منهما قوة لعدد صحيح، مع عدم تساوي القوى بالضرورة، عددًا صحيحًا آخر هو قوة، مع كون مقلوب القوى الثلاثة مجموعها أقل من 1.
• تتعلق فرضية بيل بمسألة ما إذا كان مجموع عددين صحيحين أوليين فيما بينهما، كل منهما قوة أكبر من 2 لعدد صحيح، مع عدم تساوي القوى بالضرورة، يمكن أن يساوي عددًا صحيحًا آخر هو قوة أكبر من 2.
• معادلة جاكوبي-مادن هي${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$بالأعداد الصحيحة.
• تعتبر مسألة بروهيت -تاري-إسكوت مجموع مجموعتين من القوى k للأعداد ^{الصحيحة} التي تكون متساوية لقيم متعددة لـ k .
• رقم سيارة الأجرة هو أصغر عدد صحيح يمكن التعبير عنه كمجموع قوتين موجبتين من الدرجة الثالثة بطرق مختلفة.
• دالة زيتا لريمان هي مجموع مقلوبات الأعداد الصحيحة الموجبة مرفوعة إلى القوة s ، حيث s هو عدد مركب يكون الجزء الحقيقي منه أكبر من 1.
• تتعلق فرضية لاندر وباركين وسيلفريدج بالقيمة الدنيا لـ m + n في${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$
• تطرح مسألة وارينغ سؤالاً حول ما إذا كان لكل عدد طبيعي k يوجد عدد صحيح موجب مرتبط به s بحيث يكون كل عدد طبيعي هو مجموع قوى الأعداد الطبيعية ^{على الأكثر} sk .
• تخضع القوى المتتالية للنسبة الذهبية φ لتكرار فيبوناتشي:$${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$$
• تعبر متطابقات نيوتن عن مجموع القوى k لجميع جذور متعددة الحدود بدلالة المعاملات الموجودة في متعددة الحدود ^.
• إن مجموع مكعبات الأعداد في المتتابعة الحسابية يكون أحيانًا مكعبًا آخر.
• معادلة فيرما التكعيبية ، التي يكون فيها مجموع ثلاثة مكعبات يساوي مكعبًا آخر، لها حل عام.
• تعد متعددة الحدود المتناظرة لمجموع القوى لبنة أساسية لمتعددات الحدود المتناظرة.
• مجموع مقلوبات جميع القوى الكاملة بما في ذلك التكرارات (ولكن ليس بما في ذلك 1) يساوي 1.
• معادلة إردوش -موسر ،${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$حيث m و k عددان صحيحان موجبان، يُفترض أنه ليس لها حلول أخرى غير 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ .
• لا يمكن أن يساوي مجموع ثلاثة مكعبات 4 أو 5 بتردد 9، ولكن من غير المعروف ما إذا كان من الممكن التعبير عن جميع الأعداد الصحيحة المتبقية بهذا الشكل.
• مجموع حدود المتسلسلة الهندسية هو${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}z^{i}={\frac {z^{k}-z^{n+1}}{1-z}}.}$
• يمكن التعبير عن مجموع القوى على النحو التالي  :${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{k}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}j^{ka}(i^{a}-(i-1)^{a})}$بالنسبة لـ n أكبر من 1، و a أكبر من 1، وجميع قيم k. هذا مفيد للمساعدة في تحديد مجاميع القوى اللاحقة بناءً على مجاميع القوى السابقة المعروفة.

• مجموع المربعات
• مجموع المقلوبات
• معادلة ديوفانتين