نظام المعادلات التفاضلية

في الرياضيات، يُعرف نظام المعادلات التفاضلية بأنه مجموعة منتهية من المعادلات التفاضلية . ويمكن أن يكون هذا النظام خطيًا أو غير خطي . كما يمكن أن يكون نظامًا من المعادلات التفاضلية العادية أو نظامًا من المعادلات التفاضلية الجزئية . ^{[ 1 ]}

تظهر أمثلة أنظمة المعادلات التفاضلية في العالم الحقيقي غالبًا من أنظمة ذات مكونات مترابطة تتبادل الكميات فيما بينها. قد يكون ذلك الماء المتدفق أسفل مجموعة من الخزانات، أو الكتل المرتدة المتصلة بنوابض ، أو انتقال الحرارة بين أجزاء مختلفة من مبنى باستخدام قانون نيوتن للتبريد . ^{[ 2 ]}

نظام المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى هو نظام تكون فيه كل معادلة من الرتبة الأولى وتعتمد على الدوال المجهولة خطيًا. هنا، ندرس أنظمة ذات عدد متساوٍ من الدوال المجهولة والمعادلات. ويمكن كتابة هذه الأنظمة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dx_{j}}{dt}}=a_{j1}(t)x_{1}+\ldots +a_{jn}(t)x_{n}+g_{j}(t),\qquad j=1,\ldots ,n}$

أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح موجب و${\displaystyle a_{ji}(t),g_{j}(t)}$هي دوال اختيارية للمتغير المستقل${\displaystyle t}$.

يمكن كتابة نظام المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى في شكل مصفوفة:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\ldots &\vdots \\a_{n1}&&a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}},}$

أو ببساطة

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {g} (t)}$.

بالنسبة لأي نظام من المعادلات التفاضلية العادية، مجموعة من الحلول${\displaystyle \mathbf {x_{1}} (t),\ldots ,\mathbf {x_{n}} (t)}$يقال إن المتغيرات مستقلة خطيًا إذا:

${\displaystyle C_{1}\mathbf {x_{1}} (t)+\ldots +C_{n}\mathbf {x_{n}} (t)=0\quad \forall t}$ لا يرضى إلا بـ${\displaystyle C_{1}=\ldots =C_{n}=0}$.

معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية${\displaystyle {\ddot {x}}=f(t,x,{\dot {x}})}$يمكن تحويلها إلى نظام من المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى عن طريق تعريف${\displaystyle y={\dot {x}}}$وهذا ما يعطينا نظام الدرجة الأولى:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}&=&y\\{\dot {y}}&=&f(t,x,y)\end{cases}}}$

كما هو الحال مع أي نظام خطي من معادلتين، يمكن تسمية حلين مستقلين خطيًا إذا${\displaystyle C_{1}\mathbf {x} _{1}+C_{2}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0} }$يشير إلى${\displaystyle C_{1}=C_{2}=0}$أو ما يعادل ذلك من فرونسكيان الخاص بهم${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\{\dot {x}}_{1}&{\dot {x}}_{2}\end{vmatrix}}}$ غير صفري. بالنسبة للأنظمة من الدرجة الثانية، يُطلق على أي حلين لمعادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية اسم مستقلين خطيًا إذا كان محدد فرونسكي الخاص بهما غير صفري أيضًا.

كما هو الحال مع أي نظام معادلات، يُقال إن نظام المعادلات التفاضلية الخطية مُفرط التحديد إذا كان عدد المعادلات فيه يفوق عدد المجاهيل. ولكي يكون للنظام المُفرط التحديد حل، يجب أن يستوفي شروط توافق معينة . ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، لننظر إلى النظام التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f_{i},1\leq i\leq m.}$

إذن، الشروط اللازمة لكي يكون للنظام حل هي:

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}=0,1\leq i,k\leq m.}$

أنظر أيضا: مشكلة كوشي ومبدأ إهرنبريس الأساسي .

يُعتبر النظام غير خطي عندما تكون معادلة واحدة أو أكثر من المعادلات الحاكمة فيه غير خطية، مما يؤدي غالبًا إلى سلوك معقد، ويصعب أحيانًا التنبؤ به. توجد تقنيات قليلة راسخة لإيجاد حلول معممة وإثبات سلاسة أنظمة المعادلات التفاضلية غير الخطية. يتضمن حسابها عادةً التخطيط الخطي و/أو الطرق العددية مثل طريقة رونج-كوتا .

لعلّ أشهر مثال على نظام المعادلات التفاضلية غير الخطية هو معادلات نافيير-ستوكس ، المستخدمة لنمذجة ديناميكيات الموائع وتدفق الهواء. وعلى عكس الحالة الخطية، يُعدّ إيجاد حل لنظام غير خطي مسألةً معقدة، ويُعتبر من أعظم المسائل غير المحلولة في الفيزياء. (انظر: وجود حل في معادلات نافيير-ستوكس وسلاسته ).

وتشمل الأمثلة الأخرى للأنظمة غير الخطية للمعادلات التفاضلية معادلات لوتكا-فولتيرا ، والتي تستخدم للتنبؤ بأعداد الحيوانات المفترسة والفرائس بمرور الوقت، ونظام لورنز ، وهو نموذج تنبؤي تم استخدامه لإثبات نظرية الفوضى .

النظام التفاضلي هو وسيلة لدراسة نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية باستخدام أفكار هندسية مثل الأشكال التفاضلية وحقول المتجهات.

على سبيل المثال، يمكن التعبير عن شروط التوافق لنظام المعادلات التفاضلية الزائد التحديد بإيجاز باستخدام الصيغ التفاضلية (أي، لكي تكون الصيغة دقيقة، يجب أن تكون مغلقة). انظر شروط التكامل للأنظمة التفاضلية لمزيد من المعلومات.

• الهندسة التكاملية
• نظرية كارتان-كورانيشي للتمديد

• L. Ehrenpreis ، عالمية تحويل رادون ، مطبعة جامعة أكسفورد، 2003.
• جروموف، م. (1986)، العلاقات التفاضلية الجزئية، سبرينغر، ISBN 3-540-12177-3
• م. كورانيشي، "محاضرات حول الأنظمة الالتفافية للمعادلات التفاضلية الجزئية"، منشورات جمعية الرياضيات في ساو باولو (1967)
• بيير شابيرا، الأنظمة التفاضلية الدقيقة في المجال المعقد، Grundlehren der Math-matischen Wissenschaften، vol. 269، سبرينغر-فيرلاغ، 1985.

• https://mathoverflow.net/questions/273235/a-very-basic-question-about-projections-in-formal-pde-theory
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Involutional_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Complete_system
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Partial_differential_equations_on_a_manifold