دالة المنفعة الزمنية

الموسوعة الحرة

تُحدد دالة الوقت /المنفعة ( TUF )، والتي كانت تُعرف سابقًا بدالة الوقت/القيمة ، المنفعة الخاصة بالتطبيق التي يُحققها إجراء ما (مثل مهمة حسابية، أو حركة ميكانيكية) اعتمادًا على وقت إنجازه. [ 1 ] [ 2 ] تُستمد دوال الوقت/المنفعة وتفسيراتها (دلالاتها) ومقاييسها وقيمها من المعرفة المتخصصة بمجال التطبيق. ومن الأمثلة على تفسير المنفعة (وليس التفسير الوحيد) الأهمية النسبية للإجراء، والتي لا ترتبط بتوقيته . يُعد الموعد النهائي التقليدي المُمثل بدالة الوقت/المنفعة حالة خاصة، حيث تنخفض قيمة المنفعة من 1 إلى 0 عند وقت الموعد النهائي، أي التوقيت دون أهمية. تُعد دالة الوقت/المنفعة أكثر عمومية، إذ تحتوي على وقت حرج، بأشكال وقيم منفعة خاصة بالتطبيق على كل جانب، وبعده لا تزداد. كما يُمكن تمثيل تعريفات الباحثين والممارسين المختلفة للوقت الحقيقي الثابت والوقت الحقيقي المرن كحالات خاصة من نموذج دالة الوقت/المنفعة.

تصوير مثال على TUFs

لطالما اقتصر معيار الأمثلية في الأدبيات لجدولة الإجراءات المتعددة المقيدة بـ TUF على تراكم أقصى فائدة ( UA ) ، أي مجموع مرجح (ربما متوقع) لفوائد إتمام كل إجراء على حدة. وهذا يأخذ في الحسبان عامل الوقت بالنسبة للأوقات الحرجة. ومع تطور نموذج TUF/UA وحالات استخدامه، أُضيفت معايير إضافية (مثل الطاقة، وإمكانية التنبؤ)، وقيود (مثل التبعيات)، ونماذج أنظمة، وخوارزميات جدولة، وضمانات. وبشكل أكثر وضوحًا، يسمح نموذج TUF/UA بالموازنة بين الفائدة المتراكمة، والوقت المناسب، وإمكانية التنبؤ، ومعايير وقيود الجدولة الأخرى، بحيث يحقق الجدول جودة خدمة تطبيقية ظرفية [ أ ] ، بدلاً من التركيز على الوقت المناسب فقط. وقد استُخدمت أمثلة من نموذج TUF/UA في مجموعة واسعة من مجالات التطبيق، وأكثرها شيوعًا في الأنظمة العسكرية.

وظائف الوقت/المنفعة

تم ابتكار نموذج TUF/UA في الأصل لمعالجة احتياجات معينة تتعلق بتوقيت الإجراءات، وإمكانية التنبؤ بالتوقيت، وجدولة التطبيقات القائمة على جودة الخدمة (QoS) لمختلف التطبيقات العسكرية التي لا تُعبّر عنها مفاهيم وممارسات الوقت الحقيقي التقليدية بشكل كافٍ (مثل الأنظمة الحساسة للتوقيت الديناميكي والتي لا تخضع لمواعيد نهائية)، ومرونة التحميل (مثل الأنظمة المعرضة لأحمال زائدة روتينية). ومن الأمثلة الشائعة المهمة على هذه التطبيقات الدفاع الصاروخي (نظريًا [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] ).

وفي وقت لاحق، تمت دراسة العديد من الاختلافات في نموذج TUF الأصلي، ونموذج نظام نموذج TUF/UA، وبالتالي تقنيات وخوارزميات الجدولة، في الأدبيات الأكاديمية - على سبيل المثال، [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] - وتطبيقها في السياقات المدنية.

من أمثلة هذه الأخيرة: الأنظمة السيبرانية الفيزيائية، [ 11 ] والذكاء الاصطناعي، [ 12 ] وأنظمة الروبوتات المتعددة، [ 13 ] وجدولة الطائرات المسيّرة، [ 14 ] والروبوتات ذاتية التشغيل، [ 15 ] ونقل البيانات الذكي من المركبات إلى السحابة، [ 16 ] والتحكم في العمليات الصناعية، [ 17 ] وأنظمة المعاملات، [ 18 ] والحوسبة عالية الأداء، [ 19 ] وأنظمة الحوسبة السحابية، [ 20 ] والمجموعات غير المتجانسة، [ 21 ] والحوسبة الموجهة نحو الخدمات، [ 22 ] والشبكات، [ 23 ] وإدارة الذاكرة للأجهزة الحقيقية [ 24 ] والافتراضية [ 25 ] . وقد ورد مثالٌ موجزٌ عن مصنع للصلب في مقدمة أطروحة الدكتوراه لكلارك. [ 26 ]

تُستمدّ أطر العمل ذات المنفعة (TUFs) وتفسيراتها (دلالاتها) ومقاييسها وقيمها من معرفة متخصصة في مجال معين. [ 27 ] [ 5 ] ويُعدّ التفسير الشائع تاريخيًا للمنفعة هو الأهمية النسبية للأفعال. [ ب ] وقد وُضع إطار عمل لتحديد قيم المنفعة الثابتة مسبقًا، مع مراعاة قيود صارمة على نماذج النظام، [ 8 ] إلا أن الأبحاث والتطويرات اللاحقة (كما في السابق) في مجال أطر العمل ذات المنفعة/الاستخدام (TUF/UA) فضّلت الاعتماد على استغلال خصوصية التطبيق بدلًا من محاولة إنشاء أطر عمل أكثر عمومية. ومع ذلك، لا تزال هذه الأطر والأدوات موضوعًا بحثيًا هامًا.

بحسب الاصطلاح التقليدي، فإن الدالة المقعرة هي دالة مقعرة ، بما في ذلك الدوال الخطية. انظر إلى رسم توضيحي لبعض الأمثلة على الدوال المقعرة.

معظم الأبحاث المنشورة حول TUF/UA، باستثناءات قليلة مثل [ 28 ] و[ 6 ] و [ 29 ] و[ 30 ] و[ 8 ] و[ 10 ]، تُعنى فقط بـ TUFs الخطية أو الخطية القطعية [ 31 ] (بما في ذلك TUFs التقليدية القائمة على المواعيد النهائية) نظرًا لسهولة تحديدها وجدولتها. وفي كثير من الحالات، تكون TUFs متناقصة بشكل رتيب .

تمثل الدالة الثابتة فائدة الإجراء التي لا ترتبط بوقت إنجازه، على سبيل المثال، الأهمية النسبية الثابتة للإجراء. وهذا يسمح بجدولة الإجراءات المرتبطة بالوقت وغير المرتبطة به بشكل متسق.

تتمتع وظيفة الوقت الأمثل (TUF) بوقت حرج عالمي ، وبعده لا تزداد فائدتها. إذا لم تنخفض فائدة وظيفة الوقت الأمثل أبدًا، فإن وقتها الحرج العالمي هو أول مرة تصل فيها إلى أقصى فائدة. تتمتع وظيفة الوقت الأمثل الثابتة بوقت حرج اختياري لأغراض الجدولة، مثل وقت بدء الإجراء أو وقت انتهاء وظيفة الوقت الأمثل. قد يتبع الوقت الحرج العالمي أوقات حرجة محلية [ 2 ] ، على سبيل المثال، لنفترض وظيفة وقت أمثل ذات سلسلة من الخطوات التنازلية، ربما لتقريب منحنى تنازلي سلس. [ ج ]

عادةً ما تكون قيم المنفعة في TUF إما أعدادًا صحيحة أو أعدادًا نسبية.

قد تتضمن فائدة TUF قيمًا سالبة. (لا يعني وجود قيم سالبة في نطاق TUF بالضرورة استبعادها من عملية الجدولة أو إيقافها أثناء تشغيلها - يعتمد هذا القرار على خوارزمية الجدولة).

إن وقت الموعد النهائي التقليدي ( d ) الذي يمثله TUF هو حالة خاصة - خطوة تنازلية TUF [ d ] لها عقوبة وحدة (أي أن لها قيم فائدة 1 قبل و 0 بعد وقتها الحرج).

وبشكل عام، يسمح TUF لوظائف الخطوة الهابطة (والصاعدة) بأن يكون لها أي أدوات زمنية قبل وبعد الحرجة.

يُعدّ التأخير [ 32 ] المُمثَّل بوظيفة المنفعة الكلية (TUF) حالةً خاصةً تكون فيها المنفعة غير الصفرية دالة خطية C - d ، حيث C هو وقت إنجاز الفعل - سواءً كان حاليًا أو متوقعًا أو مُعتقدًا. [ هـ ] وبشكلٍ عام، تسمح وظيفة المنفعة الكلية (TUF) بأن يكون التبكير والتأخير غير خطيين - على سبيل المثال، قد يؤدي ازدياد التأخير إلى انخفاض المنفعة بشكلٍ غير خطي، كما هو الحال عند اكتشاف تهديد.

وبالتالي، توفر TUFs تعميمًا غنيًا لقيود وقت إكمال الإجراءات التقليدية في الحوسبة في الوقت الحقيقي .

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام نموذج TUF/UA لاستخدام التوقيت فيما يتعلق بالوقت الحرج العالمي كوسيلة لتحقيق غاية تراكم الفائدة - أي جودة الخدمة على مستوى التطبيق - بدلاً من أن يكون التوقيت في حد ذاته غاية في حد ذاته.

يمكن تعديل وحدة TUF (شكلها وقيمها) ديناميكيًا بواسطة تطبيق أو بيئته التشغيلية، [ 2 ] بشكل مستقل عن أي إجراءات قيد الانتظار أو قيد التشغيل حاليًا. [ و ]

تحدث هذه التعديلات عادةً في أحداث منفصلة - على سبيل المثال، عند تغيير وضع التطبيق كما هو الحال في مراحل طيران الصواريخ الباليستية. [ 5 ]

بدلاً من ذلك، قد تحدث هذه التعديلات باستمرار، كما هو الحال بالنسبة للإجراءات التي تكون مدة تشغيلها ووقت تنفيذها (TUF) دوالًا خاصة بالتطبيق، وتعتمد على وقت إطلاق تلك الإجراءات أو بدء تشغيلها. قد تزداد مدة التشغيل أو تنقص أو كليهما، وقد تكون غير رتيبة. تُسمى هذه الحالة المستمرة بالجدولة المعتمدة على الوقت . [ 33 ] [ 34 ] وقد طُبقت الجدولة المعتمدة على الوقت (على سبيل المثال لا الحصر) في بعض التطبيقات العسكرية الآنية، مثل أنظمة تتبع الرادار. [ 35 ] [ 36 ] [ g ]

جدولة استحقاق المرافق

قد تتنافس إجراءات متعددة في النظام للوصول إلى موارد مشتركة بشكل حصري متسلسل [ h ] - موارد مادية مثل المعالجات والشبكات وأجهزة التطبيقات الخارجية (أجهزة الاستشعار والمشغلات وما إلى ذلك) - وموارد منطقية مثل أجهزة المزامنة والبيانات.

يحل نموذج TUF/UA كل حالة من حالات هذا التنازع باستخدام تقنية خوارزمية خاصة بالتطبيق، تقوم بإنشاء (أو تحديث) جدول زمني عند أحداث الجدولة ، مثل الأوقات (كوصول الإجراء أو اكتماله) أو الحالات. تُرسل الإجراءات المتنازع عليها في الحالة للوصول إلى الموارد بالتسلسل من بداية الجدول الزمني. وبالتالي، فإن تسلسل إجراءات الوصول إلى الموارد ليس جشعًا. [ i ]

تقوم التقنية الخوارزمية بإنشاء جدول زمني بناءً على هدف واحد أو أكثر من الأهداف الخاصة بالتطبيق (أي معايير الأمثلية).

الهدف الأساسي من جدولة الإجراءات التي تتضمن عوامل زمنية محددة هو تحقيق أقصى قدر من المنفعة المتراكمة . المنفعة المتراكمة هي مجموع متعدد الحدود خاص بالتطبيق لمنافع الإجراءات المكتملة في الجدول. عندما تحتوي الإجراءات على مُعامل عشوائي واحد أو أكثر (مثل مدة العملية)، فإن المنفعة المتراكمة تكون عشوائية أيضًا (أي مجموع متعدد الحدود متوقع).

إن المنفعة والمنفعة المتراكمة مفاهيم عامة، أما تفسيراتها (دلالاتها) ومقاييسها فهي خاصة بالتطبيق. [ 27 ]

قد تكون مدة تنفيذ إجراء ما ثابتة ومعروفة عند تهيئة النظام. وبشكل أعم، قد تكون ثابتة أو عشوائية ولكنها غير معروفة (سواء بشكل مؤكد أو متوقع) حتى يحين وقت تنفيذها أو يتم إطلاقها.

قد تكون مدة العملية دالةً خاصة بالتطبيق لوقت بدء العملية - فقد تزيد أو تنقص أو كليهما، وقد تكون غير رتيبة. تُسمى هذه الحالة بالجدولة المعتمدة على الوقت . [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]

ملحوظات

  1. ↑ ظهر مصطلح جودة الخدمة (QoS) في البداية في سياق شبكات الاتصالات، ولكن تم تطبيقه لاحقًا بشكل شائع على مستوى التطبيق.
  2. ↑ الجدولة القائمة على الأهمية ليست هي نفسها التوزيع الجشع القائم على الأهمية.
  3. ↑ هذا أكثر عمومية من تقديم لوك لمصطلح الوقت الحرج في لوك 86.
  4. ↑ يوجد انقطاع إما في الدالة أو في مشتقتها الأولى أو الثانية.
  5. ↑ على سبيل المثال، يمكن استخدام نظريات الأدلة الرياضية مثل نظرية دمبستر-شافر ، ونظريات الاحتمالات غير الدقيقة ، وما إلى ذلك، لنماذج أنظمة معينة تحتوي على شكوك معرفية.
  6. ↑ يتم استخدام التشغيل كحالة عامة لتضمين الإجراءات غير الحسابية (مثل الميكاترونيك) بالإضافة إلى المهام الحسابية التي يتم تنفيذها.
  7. ↑ الجدولة المعتمدة على الوقت (أي أن مدة تشغيل بعض الإجراءات هي وظائف لأوقات بدءها) تختلف عن الجدولة في الوقت الحقيقي، ولا تقتصر عليها، بمعنى أن الإجراءات لها مواعيد نهائية (أو أوقات حرجة).
  8. ↑ الوصول الحصري المتسلسل هو حالة خاصة من الوصول المشترك، وقد تم استخدامه هنا من أجل التبسيط دون فقدان العمومية.
  9. ↑ قد تقوم بعض برامج جدولة UA بإزالة الحمل الزائد بطريقة جشعة - انظر §7.5.1 في Locke 86.

مراجع

  1. ↑ إي. دوغلاس جنسن، سي. دوغلاس لوك، وهيديوكي توكودا. نموذج جدولة قائم على القيمة الزمنية لأنظمة التشغيل في الوقت الحقيقي، وقائع ندوة أنظمة الوقت الحقيقي، IEEE، 1985.
  2. 1 2 3 إي. دوغلاس جنسن. نموذج التوقيت لأنظمة الحاسوب اللامركزية غير المتزامنة، وقائع الندوة الدولية حول الأنظمة اللامركزية المستقلة، معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات، 1993
  3. ↑ إي. دوغلاس جنسن. الفصل 3 جدولة الرادار، القسم 1 مشكلة الجدولة في جودا+ 77 (نسخة غير مصنفة).
  4. ↑ محمد ج. جودة، يي-وو هان، إي. دوغلاس جنسن، ويسلي د. جونسون، ريتشارد واي. كاين (محرر). تقنية معالجة البيانات الموزعة، المجلد الرابع، تطبيقات تقنية معالجة البيانات الموزعة في الدفاع الصاروخي الباليستي: البنى والخوارزميات، نسخة غير مصنفة، مركز المعلومات التقنية الدفاعية a047477، مركز أنظمة وأبحاث هانيويل، مينيابوليس، مينيسوتا، 1977.
  5. 1 2 3 ديفيد ب. ماينارد، صموئيل إي. شيبمان، ريموند ك. كلارك، ج. دوان نورثكوت، إي. دوغلاس جنسن، راسل ب. كيغلي، بيتسي أ. زيمرمان، بيتر ج. كيليهر. مثال على تطبيق قيادة وسيطرة لإدارة المعارك في الوقت الحقيقي لإصدار ألفا، القسم 8.2.1، التقرير الفني لمشروع أركونز، 1988، والإصدار العام 2008.
  6. 1 2 بينوي رافيندران، إي. دوغلاس جنسن، وبينغ لي. حول التطورات الحديثة في جدولة الوقت الحقيقي وإدارة الموارد باستخدام وظائف الوقت/المنفعة، وقائع الندوة الدولية الثامنة لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول الحوسبة الموزعة في الوقت الحقيقي الموجهة للكائنات، 2005.
  7. ↑ سعود أ. الدامي وآلان بيرنز. كثافة القيمة الديناميكية لجدولة أنظمة الوقت الحقيقي، وقائع المؤتمر الحادي عشر لـ Euromicro حول أنظمة الوقت الحقيقي، IEEE، 1999.
  8. 1 2 3 آلان بيرنز، د. براساد، أ. بوندافالي، ف. دي جياندومينيكو، ك. رامامريثام، ج. ستانكوفيتش، ل. ستريجيني. معنى ودور القيمة في جدولة أنظمة الوقت الحقيقي المرنة، مجلة هندسة النظم، إلسيفير، 2000.
  9. ↑ ديفيا براساد، آلان بيرنز، ومارتن أتكينز. الاستخدام الصحيح للمنفعة في أنظمة الوقت الحقيقي التكيفية. أنظمة الوقت الحقيقي، كلوير، 2003.
  10. 1 2 كين تشين وبول موهليثالر. عائلة من خوارزميات الجدولة لأنظمة الوقت الحقيقي باستخدام دوال قيمة الوقت. أنظمة الوقت الحقيقي، المجلد 10، العدد 3، كلوير، 1996.
  11. ↑ تيري تيدويل، روبرت غلوبيوس، كريستوفر د. جيل وويليام د. سمارت. تحسين المنفعة الزمنية المتوقعة في جدولة الأنظمة السيبرانية الفيزيائية، وقائع ندوة أنظمة الوقت الحقيقي IEEE، 2010.
  12. ↑ ياجيل رونين، دانيال موسيه، ومارثا إي. بولاك. خوارزميات كثافة القيمة لمشكلة جدولة التداول، نشرة ACM SIGART، المجلد 7 العدد 2، 1996.
  13. ↑ ميخال بارسيس، أغاتا بارسيس، وهيرمان هيلفاغنر. نموذج تقييم لتوزيع المعلومات في أنظمة الروبوتات المتعددة، مجلة أجهزة الاستشعار، يناير 2020.
  14. ↑ شيرين سيكهوا-كينغ، بول بالاجي، نيكولاس تراما ألفاريز، وويليام جيه. نوتنبلت. جدولة مدفوعة بالإيرادات في شبكات توصيل الطائرات بدون طيار مع اتفاقيات مستوى الخدمة الحساسة للوقت، وقائع المؤتمر الدولي الثاني عشر لـ EAI حول منهجيات وأدوات تقييم الأداء، ACM، 2019.
  15. ↑ ألدس باومز. التحكم الآلي وعلوم الحاسوب، المجلد 46، العدد 6، مطبعة أليرتون، 2012.
  16. ↑ جان إيبارز، مايكل لاور، ماثيو روي، جان شارل فابر، أوليفييه فليبوس. تحسين عمليات نقل البيانات من المركبات إلى السحابة باستخدام مفاهيم الجدولة المرنة في الوقت الحقيقي ، وقائع المؤتمر الدولي الثامن والعشرين حول الشبكات والأنظمة في الوقت الحقيقي، ACM، 2020.
  17. ↑ روتجر هابيتس. تحسين أداء خط التعبئة والتغليف رقم 41 في هاينكن زوترووده، أطروحة مشروع بكالوريوس العلوم، الهندسة الصناعية والإدارة، جامعة توينتي، 2019.
  18. ↑ جايانت ر. هاريتسا، جايانت ر.، مايكل ج. كاري، وميرون ليفني. الجدولة القائمة على القيمة في قواعد البيانات في الوقت الحقيقي، مجلة VLDB، 2 (2) 1993.
  19. ↑ لويس دييغو بريسينو، بهافيش خيمكا، هوارد جاي سيجل، أنتوني أ. ماسيجيفسكي، كريستوفر جروير، جريجوري كونيج، جين أوكونسكي، وستيف بول. دوال المنفعة الزمنية لنمذجة وتقييم تخصيص الموارد في نظام حوسبة غير متجانس، وقائع ندوة IEEE الدولية حول المعالجة المتوازية والموزعة، 2011.
  20. ↑ جيهان تونج، نيرمال كومبهاري، علي أكوغلو، سليم حريري، ديلان ماتشوفيك، هوارد جاي سيجل. قيمة جدولة المهام القائمة على الخدمة لأنظمة الحوسبة السحابية، وقائع المؤتمر الدولي للحوسبة السحابية والذاتية، 2016.
  21. ↑ فيغنيش ت. رافي1، ميكايلا بيتشي2، غاغان أغراوال1، وسريمات تشاكرادار. ValuePack: إطار عمل جدولة قائم على القيمة لمجموعات وحدات المعالجة المركزية ووحدات معالجة الرسومات ، وقائع المؤتمر الدولي لهندسة الكهرباء والإلكترونيات حول الحوسبة عالية الأداء والشبكات والتخزين والتحليل، 2012.
  22. ↑ ألفين أويونغ، لورا غريت، جانيت وينر، جون ويلكس. عقود الخدمة ووظائف المنفعة الإجمالية، وقائع الندوة الدولية الخامسة عشرة لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول الحوسبة الموزعة عالية الأداء، 2006.
  23. ↑ جينغغانغ وانغ وبينوي رافيندران. إيثرنت المحول المدفوع بوظيفة المنفعة الزمنية: خوارزمية جدولة الحزم، والتنفيذ، وتحليل الجدوى، معاملات IEEE للأنظمة المتوازية والموزعة، المجلد 15، العدد 2، فبراير 2004.
  24. ↑ هيونجونغ تشو، بينوي رافيندران، تشيوو نا. جدولة جامع القمامة في الأنظمة الديناميكية متعددة المعالجات في الوقت الحقيقي، معاملات IEEE على الأنظمة المتوازية والموزعة 20(6)، يونيو 2009.
  25. ↑ شهروز فيزابادي وجودمار باك. جدولة تراكم المرافق مع مراعاة جمع القمامة، مجلة أنظمة الوقت الحقيقي، يوليو 2007، المجلد 36، العدد 1-2، 2007.
  26. ↑ ريموند ك. كلارك. جدولة الأنشطة المعتمدة في الوقت الحقيقي، أطروحة دكتوراه، CMU-CS-90-155، قسم علوم الحاسوب، جامعة كارنيجي ميلون، 1990.
  27. 1 2 ريموند ك. كلارك، إي. دوغلاس جنسن، أركادي كانيفسكي، جون ماورر، بول والاس، توم ويلر، يون تشانغ، دوغلاس م. ويلز، توم لورانس، وبات هيرلي. نظام تتبع جوي تكيفي وموزع، أنظمة IEEE المتوازية والموزعة في الوقت الحقيقي، المجلد 1586 من سلسلة محاضرات علوم الحاسوب، سبرينغر-فيرلاغ، 1999.
  28. ↑ سي. دوغلاس لوك. اتخاذ القرارات بأفضل جهد ممكن للجدولة في الوقت الحقيقي، أطروحة دكتوراه CMU-CS-86-134، قسم علوم الحاسوب، جامعة كارنيجي ميلون، 1986.
  29. ↑ بينغ لي. جدولة تراكم المنفعة في الوقت الحقيقي: النماذج والخوارزميات، أطروحة دكتوراه، معهد فيرجينيا للفنون التطبيقية وجامعة ولاية فيرجينيا، 2004.
  30. ↑ بينغ لي، هايسانغ وو، بينوي رافيندران، وإي. دوغلاس جنسن. خوارزمية جدولة تراكم المنفعة للأنشطة في الوقت الحقيقي مع قيود الموارد المستبعدة المتبادلة، معاملات IEEE للحواسيب، المجلد 55، العدد 4، أبريل 2006.
  31. ↑ زيشان غو وسانجوي بورواه. نهج ديناميكي عصبي للجدولة في الوقت الحقيقي من خلال تعظيم المنفعة الخطية القطعية ، معاملات IEEE للشبكات العصبية وأنظمة التعلم، المجلد 27، العدد 2، فبراير 2016.
  32. ↑ جيريمي ب. إريكسون. إدارة حدود التأخير والحمل الزائد في أنظمة الوقت الحقيقي المرنة ، أطروحة دكتوراه، جامعة نورث كارولينا، 2014.
  33. 1 2 ستانيسلاف جاويجنوفيتش. مراجعة لأربعة عقود من الجدولة المعتمدة على الوقت: النتائج الرئيسية والمواضيع الجديدة والمشاكل المفتوحة، مجلة الجدولة 23، 3-47، سبرينغر، 2020.
  34. 1 2 K. D. Glazebrook. جدولة آلة واحدة للوظائف العشوائية المعرضة للتدهور أو التأخير، بحوث اللوجستيات البحرية 39، العدد 5، وايلي، 1992.
  35. 1 2 أوموت بالي، هايسانغ وو، بينوي رافيندران، جوناثان ستيفن أندرسون، إي. دوغلاس جنسن. جدولة تراكم المنفعة في الوقت الحقيقي في ظل وظائف التكلفة المتغيرة، معاملات IEEE على أجهزة الكمبيوتر، المجلد 56، العدد 3، مارس 2007.
  36. 1 2 كيفن آي جيه. هو، جوزيف واي تي. ليونغ و دبليو دي. وي. تعقيد جدولة المهام ذات أوقات التنفيذ المعتمدة على الوقت، رسائل معالجة المعلومات 48 (1993)، العدد 6، إلسيفير، 20 ديسمبر 1993.