خطأ في التتبع

صيغة خطأ التتبع اللاحق هي الانحراف المعياري للعوائد النشطة، والتي تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b})}}}$

أين${\displaystyle r_{p}-r_{b}}$هو العائد النشط، أي الفرق بين عائد المحفظة وعائد المؤشر المرجعي ^{[ 1 ]} و ${\displaystyle (w_{p}-w_{b})}$يمثل متجه أوزان المحفظة النشطة بالنسبة إلى المؤشر المرجعي. يمكن حل مسألة التحسين المتمثلة في تعظيم العائد، مع مراعاة خطأ التتبع والقيود الخطية، باستخدام برمجة المخروط من الدرجة الثانية .$${\displaystyle {\underset {w}{\operatorname {argmax} }}\;\mu ^{T}(w-w_{b}),\quad {\text{st}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega ^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d}$$

بافتراض التوزيع الطبيعي للعوائد، فإن المخاطر النشطة بنسبة x في المائة تعني أنه يمكن توقع أن يقع ما يقرب من 2/3 من العوائد النشطة للمحفظة (انحراف معياري واحد عن المتوسط) بين +x و -x في المائة من متوسط ​​العائد الزائد، ويمكن توقع أن يقع حوالي 95% من العوائد النشطة للمحفظة (انحرافان معياريان عن المتوسط) بين +2x و -2x في المائة من متوسط ​​العائد الزائد.

من المتوقع أن تقلل صناديق المؤشرات من خطأ التتبع بالنسبة للمؤشر الذي تحاول محاكاته، ويمكن حل هذه المشكلة باستخدام تقنيات التحسين القياسية. للبدء، حدد${\displaystyle \omega ^{2}}$يكون:$${\displaystyle \أوميغا ^{2}=(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})}$$أين${\displaystyle w-w_{b}}$يمثل متجه الأوزان النشطة لكل أصل بالنسبة إلى المؤشر المرجعي و${\displaystyle \Sigma }$هي مصفوفة التباين المشترك للأصول في المؤشر. بينما قد يتضمن إنشاء صندوق مؤشر الاحتفاظ بجميع الأصول.${\displaystyle N}$بالنسبة للأصول القابلة للاستثمار في المؤشر، من الأفضل أحيانًا الاستثمار في مجموعة فرعية فقط.${\displaystyle K}$من الأصول. تؤدي هذه الاعتبارات إلى مسألة البرمجة التربيعية المختلطة الصحيحة التالية (MIQP) :$$// w_ {j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{محاذاة}}}$$أين${\displaystyle y_{j}}$هو الشرط المنطقي لتحديد ما إذا كان الأصل مدرجًا في صندوق المؤشر أم لا، ويُعرَّف على النحو التالي:$${\displaystyle y_{j}={\begin{cases}1,\quad &w_{j}>0\\0,\quad &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$