نظرية ويت

قد تشير "نظرية ويت" أو "نظرية ويت" أيضًا إلى نظرية بورباكي-ويت للنقطة الثابتة في نظرية الترتيب.

في الرياضيات، تُعدّ نظرية ويت ، نسبةً إلى إرنست ويت ، نتيجةً أساسيةً في النظرية الجبرية للأشكال التربيعية : أي تماثل بين فضاءين جزئيين من فضاء تربيعي غير شاذ على حقل k يمكن تعميمه ليشمل التماثل للفضاء بأكمله. وينطبق بيان مماثل أيضًا على الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة عكسيًا ، والهرميتية ، والهرميتية المعكوسة على أي حقل. تُطبّق النظرية على تصنيف الأشكال التربيعية على k، وتسمح على وجه الخصوص بتعريف زمرة ويت W ( k ) التي تصف النظرية "المستقرة" للأشكال التربيعية على الحقل k .

ليكن ( V , b ) فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد على حقل k ذي خاصية مختلفة عن 2 ، بالإضافة إلى شكل ثنائي خطي متناظر أو شبه متناظر غير منحل . إذا كانت f : U → U' تماثلًا بين فضاءين جزئيين من V، فإن f تمتد إلى تماثل في V. ^{[ 1 ]} 

تنص نظرية ويت على أن بُعد الفضاء الجزئي المتناحي تمامًا الأقصى (الفضاء الصفري) من V هو ثابت، يُسمى الدليل أومؤشر ويت لـb، ^{[ 2 ] [ 3 ]} ، وعلاوة على ذلك، فإنزمرة التناظرلـ( V , b )تعملبشكل متعدٍعلىمجموعةالفضاءات الجزئية المتناحية القصوى. تلعب هذه الحقيقة دورًا هامًا في نظرية البنية ونظريةالتمثيللزمرة التناظر، وفي نظريةالأزواج الثنائية المختزلة.

لتكن ( V , q ) ، ( V1 _, q1 ₎ ، ( V2 , q2 ) ثلاثة فضاءات _{تربيعية} على حقل k . _افترض أن

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\oplus (V,q)\simeq (V_{2},q_{2})\oplus (V,q).}$

_{إذن ، فإن} الفضاءات التربيعية ₍ V1 , q1 ) و ( V2 , _q2 ) متساوية القياس :

${\displaystyle (V_{1},q_{1})\simeq (V_{2},q_{2}).}$

بمعنى آخر، يمكن "إلغاء" المجموع المباشر ( V ، q ) الذي يظهر في كلا جانبي التشاكل بين الفضاءات التربيعية.

ليكن ( V , q ) فضاءً تربيعيًا على حقل k . عندئذٍ يقبل هذا الفضاء تحليل ويت :

${\displaystyle (V,q)\simeq (V_{0},0)\oplus (V_{a},q_{a})\oplus (V_{h},q_{h}),}$

حيث V₀ = ker q هو جذر q ، و ( Vₐ _, qₐ ₎ فضاء تربيعي غير متناحٍ، _و ( Vₕ , qₕ ) فضاء تربيعي منقسم . علاوة على ذلك ^، يتم تحديد المجموع غير المتناحي، المسمى بالشكل الأساسي ، والمجموع الزائدي في تحليل ويت لـ ( _Vₐ , qₕ ₎ بشكل ^فريد حتى التشاكل. [ 4 ^]

يقال إن الأشكال التربيعية التي لها نفس الشكل الأساسي متشابهة أو متكافئة ويت .

• إميل أرتين (1957) الجبر الهندسي ، صفحة 121 عبر أرشيف الإنترنت
• لام، تسيت-يوين (2005)، مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  67، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-1095-2، MR 2104929 ، Zbl 1068.11023  
• لورنز، فالكو (2008)، الجبر. المجلد الثاني: الحقول ذات البنية، والجبر، والمواضيع المتقدمة ، سبرينغر-فيرلاغ ، الصفحات 15-27 ، ISBN  978-0-387-72487-4Zbl 1130.12001​ 
• رومان، ستيفن (2008)، الجبر الخطي المتقدم ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ISBN 978-0-387-72828-5
• O'Meara، O. Timothy (1973)، مقدمة للأشكال التربيعية ، Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، المجلد.  117, سبرينغر-فيرلاغ , زبل 0259.10018