سطح الخضوع

يُعتبر معيار تريسكا للخضوع من عمل هنري تريسكا . ^{[ 12 ]} ويُعرف أيضًا بنظرية إجهاد القص الأقصى (MSST) ومعيار تريسكا-غست ^{[ 13 ]} (TG). يُعبّر عن معيار تريسكا بدلالة الإجهادات الرئيسية كما يلي:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max(|\sigma _{1}-\sigma _{2}|,|\sigma _{2}-\sigma _{3}|,|\sigma _{3}-\sigma _{1}|)=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

أين${\displaystyle S_{sy}}$هي قوة الخضوع في القص، و${\displaystyle S_{y}}$هي قوة الخضوع الشدية.

يوضح الشكل 1 سطح خضوع تريسكا-غست في الفضاء ثلاثي الأبعاد للإجهادات الرئيسية. وهو عبارة عن منشور سداسي الأضلاع ذي طول لانهائي. هذا يعني أن المادة تظل مرنة عندما تكون الإجهادات الرئيسية الثلاثة متساوية تقريبًا ( ضغط هيدروستاتيكي )، بغض النظر عن مقدار انضغاطها أو تمددها. مع ذلك، عندما يصبح أحد الإجهادات الرئيسية أصغر (أو أكبر) من الآخرين، تتعرض المادة للقص. في مثل هذه الحالات، إذا وصل إجهاد القص إلى حد الخضوع، فإن المادة تدخل في نطاق اللدونة. يوضح الشكل 2 سطح خضوع تريسكا-غست في فضاء الإجهاد ثنائي الأبعاد، وهو عبارة عن مقطع عرضي للمنشور على طول${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$طائرة.

يُعبَّر عن معيار فون ميزس للخضوع بدلالة الإجهادات الرئيسية كما يلي:

${\displaystyle {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}=2{S_{y}}^{2}}\!}$

أين${\displaystyle S_{y}}$هي قوة الخضوع في الشد أحادي المحور.

يوضح الشكل 3 سطح خضوع فون ميزس في الفضاء ثلاثي الأبعاد للإجهادات الرئيسية. وهو عبارة عن أسطوانة دائرية لا نهائية الطول، يميل محورها بزوايا متساوية مع الإجهادات الرئيسية الثلاثة. يوضح الشكل 4 سطح خضوع فون ميزس في الفضاء ثنائي الأبعاد مقارنةً بمعيار تريسكا-غست. مقطع عرضي لأسطوانة فون ميزس على مستوى${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ينتج عنه شكل بيضاوي لسطح الخضوع.

تمت إعادة صياغة هذا المعيار ^{[ 14 ] [ 15 ]} كدالة للعقد الهيدروستاتيكية ذات الإحداثيات${\displaystyle 1/\gamma _{1}}$و${\displaystyle 1/\gamma _{2}}$

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

يمثل هذا المعادلة العامة لسطح دوران من الدرجة الثانية حول المحور الهيدروستاتيكي. ومن الحالات الخاصة: ^{[ 16 ]}

• أسطوانة${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}$(ماكسويل (1865)، هوبر (1904)، فون ميزس (1913)، هينكي (1924))،
• مخروط${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\in ]0,1[}$(بوتكين (1940)، دراكر-براجر (1952)، ميروليوبوف (1953))،
• القطع المكافئ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}$(بورزينسكي (1928)، بالاندين (1937)، توري (1947))،
• مجسم بيضاوي مركزه مستوى التناظر${\displaystyle I_{1}=0}$، ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[}$(بيلترامي (1885))،
• مجسم بيضاوي مركزه مستوى التناظر${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$مع ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$(شلايشر (1926))،
• سطح زائد ذو ورقتين${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$(بورزينسكي (1928)، ياغن (1931))،
• سطح زائد ذو ورقة واحدة متمركز في مستوى التناظر${\displaystyle I_{1}=0}$، ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}=a\,i}$، ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$(كون (1980))
• سطح زائد ذو ورقة واحدة${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm a\,i}$، ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$(Filonenko-Boroditsch (1960), Gol'denblat-Kopnov (1968), Filin (1975)).

يمكن حساب علاقات الضغط-الشد والالتواء-الشد لـ

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

يتم الحصول على نسب بواسون عند الشد والضغط باستخدام

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }={\frac {-1+2(\gamma _{1}+\gamma _{2})-3\gamma _{1}\gamma _{2}}{-2+\gamma _{1}+\gamma _{2}}}}$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

بالنسبة للمواد المطيلية، فإن التقييد

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in {\bigg [}\,0.48,\,{\frac {1}{2}}\,{\bigg ]}}$

يُعدّ تطبيق معايير التناظر الدوراني للفشل الهش أمرًا بالغ الأهمية.

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in ]-1,~\nu _{+}^{\mathrm {el} }\,]}$

لم تتم دراستها بشكل كافٍ. ^{[ 17 ]}

يُعدّ معيار بورزينسكي-ياغن مناسبًا تمامًا للأغراض الأكاديمية. أما للتطبيقات العملية، فينبغي إدخال الثابت الثالث للمُنحرف في الأس الفردي والزوجي في المعادلة، على سبيل المثال: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}={\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}I_{1}}{1-\gamma _{1}}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}}{1-\gamma _{2}}}}$

يتكون معيار هوبر من شكل بلترامي الإهليلجي وأسطوانة فون ميزس المقياسة في فضاء الإجهاد الرئيسي، ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} انظر أيضًا ^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}>0\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }}{1+\gamma _{1}}},&I_{1}\leq 0\end{array}}\right.}$

مع${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$الانتقال بين الأسطح في المقطع العرضي${\displaystyle I_{1}=0}$قابلة للتفاضل باستمرار. يمثل هذا المعيار "الرؤية الكلاسيكية" فيما يتعلق بسلوك المواد غير المرنة:

• سلوك المواد الحساسة للضغط لـ${\displaystyle I_{1}>0}$مع${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in \left]-1,\,1/2\right]}$و
• سلوك المواد غير الحساسة للضغط لـ${\displaystyle I_{1}<0}$مع ${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=1/2}$

يمكن استخدام معيار هوبر كسطح خضوع مع قيد تجريبي لنسبة بواسون عند الشد${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$مما يؤدي إلى${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$.

معيار هوبر المعدل، ^{[ 25 ] [ 24 ]} انظر أيضًا، ^{[ 26 ]} قارن ^{[ 27 ]}

${\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

يتكون من قطع ناقص شلايشر مع تقييد نسبة بواسون عند الانضغاط

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

وأسطوانة مع${\displaystyle C^{1}}$-انتقال في المقطع العرضي${\displaystyle I_{1}=-d\,\sigma _{\mathrm {+} }}$الإعداد الثاني للمعلمات${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,1[}$و${\displaystyle \gamma _{2}<0}$يتبع ذلك علاقة الضغط / الشد

${\displaystyle d={\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}}\geq 1}$

يمكن أن يكون معيار هوبر المعدل أكثر ملاءمة للبيانات المقاسة من معيار هوبر الأصلي. لضبط${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$ويتبع ذلك${\displaystyle \gamma _{1}=0.0880}$و${\displaystyle \gamma _{2}=-0.0747}$.

يُفضّل استخدام معيار هوبر ومعيار هوبر المعدّل على معيار فون ميزس، إذ يُحققان نتائج أكثر أمانًا في المنطقة.${\displaystyle I_{1}>\sigma _{\mathrm {+} }}$بالنسبة للتطبيقات العملية، فإن الثابت الثالث للمُنحرف${\displaystyle I_{3}'}$ينبغي أخذ ذلك في الاعتبار ضمن هذه المعايير. ^{[ 24 ]}

يُشابه معيار مور-كولوم للانهيار (الفشل) معيار تريسكا، مع مراعاة المواد ذات مقاومة الشد والضغط المختلفة. يُستخدم هذا النموذج غالبًا لنمذجة الخرسانة والتربة والمواد الحبيبية . ويمكن التعبير عن معيار مور-كولوم للانهيار كما يلي :

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~|\sigma _{1}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~|\sigma _{2}-\sigma _{3}|+K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

أين

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}};K={\frac {m-1}{m+1}}}$

والمعايير${\displaystyle S_{yc}}$و${\displaystyle S_{yt}}$تمثل إجهادات الخضوع (الفشل) للمادة في الضغط والشد أحادي المحور، على التوالي. وتُختزل الصيغة إلى معيار تريسكا إذا${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$.

يوضح الشكل 5 سطح خضوع مور-كولوم في الفضاء ثلاثي الأبعاد للإجهادات الرئيسية. وهو عبارة عن منشور مخروطي و${\displaystyle K}$يحدد زاوية ميل السطح المخروطي. يوضح الشكل 6 سطح خضوع مور-كولوم في فضاء الإجهاد ثنائي الأبعاد. في الشكل 6${\displaystyle R_{r}}$و${\displaystyle R_{c}}$يُستخدم لـ${\displaystyle S_{yt}}$و${\displaystyle S_{yc}}$، على التوالي، في الصيغة. وهو مقطع عرضي لهذا الموشور المخروطي على مستوى${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$في الشكل 6، يتم استخدام Rr و Rc لـ Syc و Syt على التوالي في الصيغة.

يُشابه معيار دراكر-براغر للخضوع معيار فون ميزس للخضوع، مع مراعاة التعامل مع المواد ذات مقاومة الخضوع المختلفة للشد والضغط. يُستخدم هذا المعيار غالبًا للخرسانة حيث يمكن أن تُحدد كل من الإجهادات العمودية والقصية الفشل. ويمكن التعبير عن معيار دراكر-براغر للخضوع على النحو التالي:

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

أين

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}{S_{yt}}}}$

و${\displaystyle S_{yc}}$،${\displaystyle S_{yt}}$تمثل إجهادات الخضوع أحادية المحور في الضغط والشد على التوالي. وتُختزل الصيغة إلى معادلة فون ميزس إذا${\displaystyle S_{yc}=S_{yt}}$.

يوضح الشكل 7 سطح خضوع دراكر-براغر في الفضاء ثلاثي الأبعاد للإجهادات الرئيسية. وهو عبارة عن مخروط منتظم . يوضح الشكل 8 سطح خضوع دراكر-براغر في الفضاء ثنائي الأبعاد. المجال المرن الإهليلجي هو مقطع عرضي للمخروط على مستوى${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$يمكن اختيار تقاطع سطح خضوع مور-كولوم عند عدد مختلف من الرؤوس. أحد الخيارات هو تقاطع سطح خضوع مور-كولوم عند ثلاثة رؤوس على جانبي${\displaystyle \sigma _{1}=-\sigma _{2}}$الخط، ولكن عادةً ما يتم اختياره اصطلاحًا ليكون ضمن نطاق الانضغاط. ^{[ 28 ]} خيار آخر هو تقاطع سطح خضوع مور-كولوم عند أربعة رؤوس على كلا المحورين (ملاءمة أحادية المحور) أو عند رأسين على القطر${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$(التوافق ثنائي المحور). ^{[ 29 ]} يتم التعبير عن معيار خضوع دراكر-براغر بشكل شائع من حيث تماسك المادة وزاوية الاحتكاك .

يُعدّ معيار خضوع بريسلر-بيستر امتدادًا لمعيار خضوع دراكر-براغر ، ويستخدم ثلاثة معايير، ويتضمن بنودًا إضافية للمواد التي تخضع للخضوع تحت الضغط الهيدروستاتيكي. ويمكن التعبير عن معيار الخضوع هذا بدلالة الإجهادات الرئيسية على النحو التالي:

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

أين${\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}$هي ثوابت مادية. المعامل الإضافي${\displaystyle c_{2}}$يعطي سطح الخضوع مقطعًا عرضيًا بيضاويًا عند النظر إليه من اتجاه عمودي على محوره. إذا${\displaystyle \sigma _{c}}$يمثل إجهاد الخضوع في الضغط أحادي المحور،${\displaystyle \sigma _{t}}$يمثل إجهاد الخضوع في الشد أحادي المحور، و${\displaystyle \sigma _{b}}$يمثل إجهاد الخضوع في الضغط ثنائي المحور، ويمكن التعبير عن المعاملات كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{0}=&c_{1}\sigma _{c}-c_{2}\sigma _{c}^{2}\end{aligned}}}$

معيار إنتاج ويليام-وارنكي هو نسخة معدلة بثلاثة معلمات من معيار إنتاج مور-كولوم الذي له أوجه تشابه في الشكل مع معايير إنتاج دراكر-براغر وبريسلر -بيستر .

معيار الإنتاجية له الشكل الوظيفي

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0~.}$

ومع ذلك، يتم التعبير عنها بشكل أكثر شيوعًا في إحداثيات هايغ-ويسترغارد على النحو التالي:

${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0~.}$

يكون المقطع العرضي للسطح عند النظر إليه على طول محوره مثلثًا أملسًا (على عكس مور-كولوم). سطح خضوع ويليام-وارنكي محدب وله مشتقات أولى وثانية فريدة ومحددة جيدًا عند كل نقطة من سطحه. لذلك، يتميز نموذج ويليام-وارنكي بمتانته الحسابية، وقد استُخدم لمجموعة متنوعة من المواد المتماسكة الاحتكاكية.

تمت معايرتها بالنسبة لإجهاد الشد أحادي المحور${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }=\sigma _{+}}$، معيار بودغورسكي ^{[ 30 ]} كدالة لزاوية الإجهاد${\displaystyle \theta }$يقرأ

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})}{\Omega _{3}(0,\beta _{3},\chi _{3})}},}$

مع دالة الشكل للتناظر الثلاثي في${\displaystyle \pi }$-طائرة

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

يتضمن معايير فون ميزس (ضع دائرة في${\displaystyle \pi }$-طائرة،${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$،${\displaystyle \chi _{3}=0}$)، تريسكا (سداسي منتظم،${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$،${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$)، ماريوت (مثلث منتظم،${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$،${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$), إيفليف ^{[ 31 ]} (مثلث منتظم،${\displaystyle \beta _{3}=\{1,0\}}$،${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$) وكذلك المعيار التكعيبي لساير ^{[ 32 ]} (معيار أوتوسن ^{[ 33 ]} ) مع${\displaystyle \beta _{3}=\{0,1\}}$والسداسيات متساوية الأضلاع (متساوية الأضلاع) وفقًا لمعيار كابورسو ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 34 ]} مع${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}}$ يتبع ذلك انتقال فون ميزس - تريسكا ^{[ 35 ] مع}${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$،${\displaystyle \chi _{3}=[0,1]}$. لا يمكن وصف الأشكال السداسية متساوية الزوايا (المتساوية الزوايا) لمعيار Haythornthwaite ^{[ 24 ] [ 36 ] [ 37 ] التي تحتوي على معيار Schmidt-Ishlinsky (السداسي المنتظم) باستخدام معيار Podgórski.}

ينص معيار روزندال ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] على ما يلي:}

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})}{\Omega _{6}(0,\beta _{6},\chi _{6})}},}$

مع دالة الشكل ذات التناظر السداسي في${\displaystyle \pi }$-طائرة

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

يتضمن معايير فون ميزس (دائرة،${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$،${\displaystyle \chi _{6}=0}$)، تريسكا (سداسي منتظم،${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$،${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$)، شميدت-إشلينسكي (سداسي منتظم،${\displaystyle \beta _{6}=\{0,1\}}$،${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), سوكولوفسكي (مضلع منتظم ذو اثني عشر ضلعًا،${\displaystyle \beta _{6}=1/2}$،${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$)، وكذلك معيار التكعيب الثنائي ^{[ 24 ] [ 38 ] [ 41 ] [ 42 ]} مع${\displaystyle \beta _{6}=0}$أو على نحو مماثل${\displaystyle \beta _{6}=1}$والمضلعات الاثني عشرية متساوية الأكسدة لمعيار العائد الموحد ليو ^{[ 43 ]} مع${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$. لا يمكن وصف الأشكال الاثني عشرية المتساوية الزوايا لمعيار ansatz المضاعف للتناظر السداسي ^{[ 24 ] الذي يحتوي على معيار Ishlinsky-Ivlev (الأشكال الاثني عشرية المنتظمة) بواسطة معيار Rosendahl.}

تصف معايير بودغورسكي وروزندال أسطحًا مفردة في فضاء الإجهاد الرئيسي دون أي خطوط خارجية إضافية أو تقاطعات مستوية. تجدر الإشارة إلى أنه لتجنب المشكلات العددية، فإن دالة الجزء الحقيقي${\displaystyle Re}$يمكن إدخالها في دالة الشكل:${\displaystyle Re(\Omega _{3})}$و${\displaystyle Re(\Omega _{6})}$التعميم في الشكل${\displaystyle \Omega _{3n}}$^{[ 38 ]} ذو صلة بالدراسات النظرية.

يمكن الحصول على امتداد حساس للضغط للمعايير باستخدام الخطي${\displaystyle I_{1}}$-الاستبدال ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

وهو ما يكفي للعديد من التطبيقات، على سبيل المثال المعادن، والحديد الزهر، والسبائك، والخرسانة، والبوليمرات غير المقواة، وما إلى ذلك.

معيار خضوع بيغوني-بيكولروز [ ^{44 ] [ 45 ] هو} سطح ذو سبعة معلمات مُعرَّف بواسطة

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

أين${\displaystyle F(p)}$هي دالة "الزوال"

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}+c}},}$

وصف حساسية الضغط و${\displaystyle g(\theta )}$هي الدالة "الانحرافية" ^{[ 46 ]}

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\beta {\frac {\pi }{6}}-{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}(\gamma \cos 3\theta )]}},}$

يصف هذا البحث اعتماد الخضوع على لود. المعاملات المادية السبعة غير السالبة:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

تحديد شكل مقاطع خط الزوال والمقاطع الانحرافية.

يمثل هذا المعيار سطحًا أملسًا ومحدبًا، مغلقًا تحت تأثير الشد والضغط الهيدروستاتيكي، وله شكل يشبه القطرة، وهو مناسب بشكل خاص لوصف المواد الاحتكاكية والحبيبية. وقد عُمِّم هذا المعيار أيضًا ليشمل حالة الأسطح ذات الزوايا. ^{[ 47 ]}

في الفضاء ثلاثي الأبعاد للإجهادات الرئيسية

في${\displaystyle \pi }$-طائرة

سطح خضوع بيجوني-بيكولروز

لصياغة معايير القوة، زاوية الإجهاد

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}{\frac {I_{3}'}{I_{2}'^{\frac {3}{2}}}}}$

يمكن استخدامها.

المعيار التالي لسلوك المواد المتجانسة

${\displaystyle (3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}\cos 3\theta +c_{6}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}}\right)^{l}\,\sigma _{\mathrm {eq} }^{m}}$

يحتوي على عدد من المعايير الأخرى المعروفة الأقل عمومية، شريطة اختيار قيم المعلمات المناسبة.

حدود${\displaystyle c_{3}}$و${\displaystyle c_{6}}$صف هندسة السطح في${\displaystyle \pi }$-المستوى. وهي تخضع للقيود

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

والتي تترتب على شرط التحدب. وقد تم اقتراح صياغة أكثر دقة للقيود الثالثة في ^{[ 48 ] [ 49 ] .}

حدود${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1[}$و${\displaystyle \gamma _{2}}$يصف هذا الموضع مواقع نقاط تقاطع سطح الخضوع مع المحور الهيدروستاتيكي (القطر الفراغي في فضاء الإجهاد الرئيسي). تُسمى نقاط التقاطع هذه بالعقد الهيدروستاتيكية. في حالة المواد التي لا تفشل تحت الضغط الهيدروستاتيكي (مثل الفولاذ والنحاس الأصفر)، نحصل على${\displaystyle \gamma _{2}\in [0,\,\gamma _{1}[}$أما بالنسبة للمواد التي تفشل تحت الضغط الهيدروستاتيكي (الرغوات الصلبة، والسيراميك، والمواد المتلبدة، وما إلى ذلك)، فإنه يتبع ذلك${\displaystyle \gamma _{2}<0}$.

القوى الصحيحة${\displaystyle l\geq 0}$و${\displaystyle m\geq 0}$، ${\displaystyle l+m<6}$صف انحناء خط الزوال. خط الزوال مع${\displaystyle l=m=0}$هو خط مستقيم ومع${\displaystyle l=0}$– قطع مكافئ.

بالنسبة للمواد غير المتجانسة، تختلف الخواص الميكانيكية تبعًا لاتجاه العملية المطبقة (مثل الدرفلة)، ولذلك يُعد استخدام دالة خضوع غير متجانسة أمرًا بالغ الأهمية. منذ عام 1989، طور فريدريك بارلات مجموعة من دوال الخضوع للنمذجة التكوينية لعدم تجانس اللدونة. ومن بينها، تم تطبيق معيار الخضوع Yld2000-2D على نطاق واسع من الصفائح المعدنية (مثل سبائك الألومنيوم والفولاذ عالي القوة المتقدم). نموذج Yld2000-2D هو دالة خضوع غير تربيعية تعتمد على تحويلين خطيين لموتر الإجهاد.

${\displaystyle \Phi =\Phi '(X')+\Phi ''(X'')=2{{\bar {\sigma }}^{a}}}$ :

أين${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$هو الإجهاد الفعال. و${\displaystyle X'}$و${\displaystyle X''}$هي المصفوفات المحولة (عن طريق التحويل الخطي C أو L):

${\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\X''=C''.s=L''.\sigma \end{array}}}$

حيث s هو موتر الإجهاد الانحرافي.

بالنسبة للقيم الرئيسية لـ X' و X"، يمكن التعبير عن النموذج على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{array}{l}\Phi '={\left|{{{X'}_{1}}+{{X'}_{2}}}\right|^{a}}\\\Phi ''={\left|{2{{X''}_{2}}+{{X''}_{1}}}\right|^{a}}+{\left|{2{{X''}_{1}}+{{X''}_{2}}}\right|^{a}}\end{array}}\ }$

و:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}}\\{{L'}_{12}}\\{{L'}_{21}}\\{{L'}_{22}}\\{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L''}_{11}}\\{{L''}_{12}}\\{{L''}_{21}}\\{{L''}_{22}}\\{{L''}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{-2}&2&8&{-2}&0\\1&{-4}&{-4}&4&0\\4&{-4}&{-4}&4&0\\{-2}&8&2&{-2}&0\\0&0&0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{3}}\\{\alpha _{4}}\\{\alpha _{5}}\\{\alpha _{6}}\\{\alpha _{8}}\end{array}}\right]}$

أين${\displaystyle \alpha _{1}...\alpha _{8}}$هناك ثمانية معلمات لنموذج Barlat's Yld2000-2D سيتم تحديدها من خلال مجموعة من التجارب.