التدوين الاكتواري

التدوين الاكتواري هو طريقة مختصرة تسمح للخبراء الاكتواريين بتسجيل الصيغ الرياضية التي تتعامل مع أسعار الفائدة وجداول الحياة .

يستخدم التدوين التقليدي نظام الهالة، حيث توضع الرموز كأحرف علوية أو سفلية قبل أو بعد الحرف الرئيسي. يمكن رؤية مثال للتدوين باستخدام نظام الهالة أدناه.

وقد تم تقديم مقترحات مختلفة لتبني نظام خطي، حيث تكون جميع الترقيمات على سطر واحد دون استخدام حروف علوية أو سفلية. وستكون هذه الطريقة مفيدة في الحوسبة حيث قد يكون تمثيل نظام الهالة صعبًا للغاية. ومع ذلك، لم يظهر نظام خطي قياسي بعد.

${\displaystyle \,i}$هو معدل الفائدة السنوي الفعلي ، وهو معدل الفائدة "الحقيقي" على مدار عام . وبالتالي، إذا كان معدل الفائدة السنوي 12%، فإن . ${\displaystyle \,i=0.12}$

${\displaystyle \,i^{(م)}}$(تُلفظ "i upper m") هو معدل الفائدة الاسمي القابل للتحويل مرات في السنة، ويساوي عدديًا مرات معدل الفائدة الفعلي على مدار واحد ^من السنة. على سبيل المثال، هو معدل الفائدة الاسمي القابل للتحويل نصف سنويًا. إذا كان معدل الفائدة السنوي الفعلي 12%، فإن ذلك يمثل معدل الفائدة الفعلي كل ستة أشهر. بما أن لدينا و وبالتالي . ^"(m)" الذي يظهر في الرمز ليس " أسًا ". إنه يمثل فقط عدد تحويلات الفائدة، أو مرات الفائدة المركبة، في السنة. غالبًا ما يتم استخدام الفائدة المركبة نصف السنوية (أو تحويل الفائدة كل ستة أشهر) في تقييم السندات (انظر أيضًا الأوراق المالية ذات الدخل الثابت ) وأدوات المسؤولية المالية النقدية المماثلة، في حين أن الرهن العقاري غالبًا ما يحول الفائدة شهريًا. باتباع المثال أعلاه مرة أخرى حيث لدينا منذ ذلك الحين . ${\displaystyle م}$${\displaystyle م}$${\displaystyle م}$${\displaystyle \,i^{(2)}}$${\displaystyle \,i^{(2)}/2}$${\displaystyle \,(1.0583)^{2}=1.12}$${\displaystyle \,i^{(2)}/2=0.0583}$${\displaystyle \,i^{(2)}=0.1166}$${\displaystyle \,i^{(م)}}$${\displaystyle \,i=0.12}$${\displaystyle \,i^{(12)}=0.1139}$${\displaystyle \,\left(1+{\frac {0.1139}{12}}\right)^{12}=1.12}$

لا تتطابق أسعار الفائدة الفعلية والاسمية لأن الفائدة المدفوعة في فترات القياس السابقة "تكسب" فائدة في فترات القياس اللاحقة؛ وهذا ما يسمى بالفائدة المركبة . أي أن أسعار الفائدة الاسمية تضاف إلى الفائدة للمستثمر (أو تفرض أو تخصم الفائدة من المدين) بشكل أكثر تكرارًا من أسعار الفائدة الفعلية. والنتيجة هي زيادة تواتر تراكم دخل الفائدة للمستثمر (أو مصروفات الفائدة للمدين)، عند استخدام أسعار الفائدة الاسمية.

يمثل الرمز القيمة الحالية لـ 1 والتي سيتم دفعها بعد عام واحد من الآن: ${\displaystyle \,v}$

${\displaystyle \,v={(1+i)}^{-1}\تقريبًا 1-i+i^{2}}$

يُستخدم عامل القيمة الحالية، أو عامل الخصم، لتحديد مقدار المال الذي يجب استثماره الآن من أجل الحصول على مبلغ معين من المال في المستقبل. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى 1 في عام واحد، فإن مقدار المال الذي يجب أن تستثمره الآن هو: . إذا كنت بحاجة إلى 25 في 5 سنوات، فإن مقدار المال الذي يجب أن تستثمره الآن هو: . ${\displaystyle \,1\times v}$${\displaystyle \,25\times v^{5}}$

${\displaystyle \,d}$هو معدل الخصم السنوي الفعال :

${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}\approx ii^{2}}$

يمكن أيضًا حساب قيمة من العلاقات التالية: معدل الخصم يساوي مبلغ الفائدة المكتسبة خلال فترة عام واحد، مقسومًا على رصيد المال في نهاية تلك الفترة. وعلى النقيض من ذلك، يتم حساب معدل الفائدة الفعلي السنوي عن طريق قسمة مبلغ الفائدة المكتسبة خلال فترة عام واحد على رصيد المال في بداية العام. القيمة الحالية (اليوم) لسداد 1 الذي سيتم سداده بعد سنوات في المستقبل هي . وهذا مماثل لصيغة القيمة المستقبلية (أو المتراكمة) بعد سنوات في المستقبل لمبلغ 1 مستثمر اليوم. ${\displaystyle \,d}$${\displaystyle \,(1-d)=v={(1+i)}^{-1}}$${\displaystyle \,n}$${\displaystyle \,{(1-د)}^{ن}}$${\displaystyle \,{(1+i)}^{n}}$${\displaystyle \,n}$

${\displaystyle \,d^{(م)}}$، المعدل الاسمي للخصم القابل للتحويل مرات في السنة، مماثل لـ . يتم تحويل الخصم على أساس ^سنوي . ${\displaystyle \,m}$${\displaystyle \,i^{(م)}}$${\displaystyle م}$

${\displaystyle \,\delta }$، قوة الفائدة ، هي القيمة الحدية لمعدل الفائدة الاسمي عندما تزداد دون حدود: ${\displaystyle م}$

${\displaystyle \,\delta =\lim _{m\to \infty }i^{(m)}}$

في هذه الحالة، تكون الفائدة قابلة للتحويل بشكل مستمر .

العلاقة العامة بين و هي : ${\displaystyle \,i}$${\displaystyle \,\delta }$${\displaystyle \,d}$

${\displaystyle \,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}}$

ويمكن مقارنة قيمتها العددية على النحو التالي:

${\displaystyle \,i>i^{(2)}>i^{(3)}>\cdots >\delta >\cdots >d^{(3)}>d^{(2)}>d}$

جدول الحياة (أو جدول الوفيات) هو بناء رياضي يوضح عدد الأشخاص الأحياء (بناءً على الافتراضات المستخدمة لبناء الجدول) في عمر معين. بالإضافة إلى عدد الأرواح المتبقية في كل عمر، يوفر جدول الوفيات عادةً احتمالات مختلفة مرتبطة بتطور هذه القيم.

${\displaystyle \,l_{x}}$هو عدد الأشخاص الأحياء، نسبة إلى مجموعة سكانية أصلية، في عمر . ومع تقدم العمر، ينخفض ​​عدد الأشخاص الأحياء. ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,l_{0}}$هي نقطة البداية لـ : عدد الأشخاص الذين ما زالوا على قيد الحياة عند سن 0. وهذا ما يُعرف بالأساس للجدول . تبدأ بعض جداول الوفيات عند سن أكبر من 0، وفي هذه الحالة يكون الأساس هو عدد الأشخاص الذين يُفترض أنهم ما زالوا على قيد الحياة في أصغر سن في الجدول. ${\displaystyle \,l_{x}}$

${\displaystyle \omega }$هو العمر المحدد لجداول الوفيات. هو صفر للجميع . ${\displaystyle \,l_{n}}$${\displaystyle \,n\geq \أوميغا }$

${\displaystyle \,d_{x}}$هو عدد الأشخاص الذين يموتون بين سن وسنة . ويمكن حسابه باستخدام الصيغة${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle \,d_{x}}$${\displaystyle \,d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle l_{x}}$	${\displaystyle d_{x}}$
0	${\displaystyle l_{0}}$
...	...	...
${\displaystyle x}$	${\displaystyle l_{x}}$	${\displaystyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$
${\displaystyle x+1}$	${\displaystyle l_{x+1}}$	${\displaystyle d_{x+1}}$
...	...	...
${\displaystyle \omega -1}$	${\displaystyle l_{\omega -1}}$	${\displaystyle d_{\أوميغا -1}=l_{\أوميغا -1}}$
${\displaystyle \omega }$	0	0

${\displaystyle \,q_{x}}$هو احتمال الوفاة بين عمري و عمر . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,q_{x}=d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \,p_{x}}$هو احتمال بقاء عمر الحياة حتى بلوغه سن . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}=l_{x+1}/l_{x}}$

نظرًا لأن البدائل الوحيدة الممكنة من عصر ( ) إلى العصر التالي ( ) هي الحياة والموت، فإن العلاقة بين هذين الاحتمالين هي: ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}+q_{x}=1}$

يمكن أيضًا تمديد هذه الرموز إلى عدة سنوات، عن طريق إدخال عدد السنوات في الجزء الأيسر السفلي من الرمز الأساسي.

${\displaystyle \,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}}$يظهر عدد الأشخاص الذين يموتون بين سن وعمر . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}q_{x}}$هو احتمال الوفاة بين عمري و عمر . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \,_{n}p_{x}}$هو احتمال بقاء عمر الحياة حتى بلوغه سن . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}}$

إحصائية أخرى يمكن الحصول عليها من جدول الحياة هي متوسط ​​العمر المتوقع .

${\displaystyle \,e_{x}}$هو متوسط ​​العمر المتوقع لشخص على قيد الحياة عند سن . هذا هو عدد السنوات الكاملة المتوقعة المتبقية للعيش (يمكنك أن تفكر فيه باعتباره عدد أعياد الميلاد المتوقعة التي سيحتفل بها الشخص). ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }\ _{t}p_{x}}$

يُظهِر جدول الحياة بشكل عام عدد الأشخاص الأحياء في الأعمار الصحيحة. إذا احتجنا إلى معلومات بخصوص جزء من السنة، فيجب علينا وضع افتراضات فيما يتعلق بالجدول، إن لم تكن ضمنية بالفعل بواسطة صيغة رياضية أساسية للجدول. الافتراض الشائع هو التوزيع الموحد للوفيات (UDD) في كل عام من العمر. بموجب هذا الافتراض، يكون هناك استيفاء خطي بين و . أي ${\displaystyle \,l_{x+t}}$${\displaystyle \,l_{x}}$${\displaystyle \,l_{x+1}}$

${\displaystyle \,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}}$

الرمز الأساسي للقيمة الحالية للمعاش التقاعدي هو . ومن ثم يمكن إضافة الترميز التالي: ${\displaystyle \,a}$

• يشير الرمز الموجود في أعلى اليمين إلى تكرار الدفع (أي عدد دفعات المعاش التقاعدي التي سيتم إجراؤها خلال كل عام). ويعني عدم وجود مثل هذا الرمز أن الدفعات تتم سنويًا.
• يشير الرمز الموجود في أسفل اليمين إلى عمر الشخص عند بدء دفع المعاش التقاعدي والفترة التي يتم دفع المعاش التقاعدي عنها.
• يشير الرمز الموجود مباشرة فوق الرمز الأساسي إلى وقت إجراء الدفعات. تشير النقطتان إلى معاش يتم دفعه في بداية كل عام ("معاش مستحق الدفع")؛ يشير الخط الأفقي فوق الرمز إلى معاش يتم دفعه باستمرار ("معاش مستمر")؛ يشير عدم وجود علامة فوق الرمز الأساسي إلى معاش يتم دفعه في نهاية كل عام ("معاش فوري").

إذا كانت المدفوعات التي سيتم دفعها بموجب معاش تقاعدي مستقلة عن أي حدث في الحياة، فإنها تُعرف باسم معاش تقاعدي محدد المدة . بخلاف ذلك، وخاصة إذا انتهت المدفوعات عند وفاة المستفيد ، فإنها تُعرف باسم معاش تقاعدي مدى الحياة .

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}}$(اقرأ الزاوية أ-ن عند i ) تمثل القيمة الحالية لمعاش فوري، وهو عبارة عن سلسلة من المدفوعات الوحدوية في نهاية كل عام لسنوات (بعبارة أخرى: القيمة قبل فترة واحدة من أول دفعة من n ). يتم الحصول على هذه القيمة من: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i} }}$

( في المقام يتطابق مع 'i' في الحال) ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\ddot {a}} _ {{\overline {n|}}i}}$يمثل القيمة الحالية للمعاش التقاعدي المستحق، وهو عبارة عن سلسلة من المدفوعات الوحدوية في بداية كل عام لسنوات (بعبارة أخرى: القيمة في وقت أول دفعة من n ). يتم الحصول على هذه القيمة من: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\ddot {a}} _ {{\overline {n|}}i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{ د }}}$

( في المقام يتطابق مع 'd' في المستحق) ${\displaystyle د}$

${\displaystyle \,s_{{\overline {n|}}i}}$هي القيمة في وقت الدفع الأخير، والقيمة بعد فترة واحدة. ${\displaystyle {\ddot {s}} _ {{\overline {n|}}i}}$

إذا تمت إضافة الرمز إلى الزاوية اليمنى العليا، فإنه يمثل القيمة الحالية لمعاش تقاعدي تحدث مدفوعاته كل جزء من السنة لفترة من السنوات، وكل دفعة هي جزء من الوحدة. ${\displaystyle \,(م)}$${\displaystyle م}$${\displaystyle n}$${\displaystyle م}$

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}}$,${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}}$هي القيمة الحدية لـ عندما تزداد بلا حدود. يُعرف المعاش السنوي الأساسي بالمعاش السنوي المستمر . ${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}}$

يمكن مقارنة القيم الحالية لهذه المعاشات على النحو التالي:

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}<a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$

لفهم العلاقات الموضحة أعلاه، ضع في اعتبارك أن التدفقات النقدية المدفوعة في وقت لاحق لها قيمة حالية أصغر من التدفقات النقدية بنفس المبلغ الإجمالي والتي يتم دفعها في أوقات سابقة.

• يمكن استبدال الرمز السفلي الذي يمثل معدل الفائدة بـ أو ، وغالبًا ما يتم حذفه إذا كان المعدل معروفًا بوضوح من السياق.${\displaystyle i}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \delta }$
• عند استخدام هذه الرموز، لا يكون معدل الفائدة ثابتًا بالضرورة طوال عمر المعاشات التقاعدية. ومع ذلك، عندما يتغير المعدل، لن تكون الصيغ المذكورة أعلاه صالحة؛ يمكن تطوير صيغ معينة لحركات معينة في المعدل.

المعاش مدى الحياة هو معاش تتوقف مدفوعاته على استمرار حياة المستفيد. يعتبر عمر المستفيد من الاعتبارات المهمة في حساب القيمة الحالية الاكتوارية للمعاش.

• يتم وضع عمر المستفيد في أسفل يمين الرمز، بدون علامة "زاوية".

على سبيل المثال:

${\displaystyle \,a_{65}}$يشير إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة في السنة يتم دفعه في نهاية كل عام حتى الوفاة لشخص يبلغ حاليًا 65 عامًا

${\displaystyle a_{\overline {10|}}}$يشير إلى معاش سنوي بوحدة واحدة في السنة يتم دفعه لمدة 10 سنوات مع سداد المدفوعات في نهاية كل عام

${\displaystyle a_{65:{\overline {10|}}}}$يشير إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة في السنة لمدة 10 سنوات، أو حتى الوفاة إذا كان ذلك في وقت سابق، لشخص يبلغ حاليًا من العمر 65 عامًا

${\displaystyle a_{65:64}}$يشير إلى معاش سنوي بمقدار وحدة واحدة في السنة حتى الوفاة المبكرة للعضو أو وفاة الزوج، لشخص يبلغ حاليًا 65 عامًا وزوجه يبلغ من العمر 64 عامًا

${\displaystyle a_{\overline {65:64}}}$يشير إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة في السنة حتى وفاة العضو أو وفاة الزوج، لشخص يبلغ حاليًا 65 عامًا وزوجته 64 عامًا.

${\displaystyle a_{65}^{(12)}}$يشير إلى معاش سنوي بقيمة وحدة واحدة في السنة يتم دفعه 12 مرة في السنة (1/12 وحدة في الشهر) حتى الوفاة لشخص يبلغ حاليًا من العمر 65 عامًا

${\displaystyle {\ddot {a}}_{65}}$يشير إلى معاش سنوي قدره وحدة واحدة في السنة يتم دفعه في بداية كل عام حتى الوفاة لشخص يبلغ حاليًا 65 عامًا

أو بشكل عام:

${\displaystyle a_{x:{\overline {n|}}i}^{(m)}}$، حيث هو عمر المستفيد، هو عدد سنوات الدفعات (أو حتى الوفاة إذا كانت أقرب)، هو عدد الدفعات في السنة، و هو معدل الفائدة. ${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$

ومن أجل التبسيط، فإن التدوين محدود ولا يبين، على سبيل المثال، ما إذا كانت المعاشات التقاعدية مستحقة لرجل أو امرأة (وهي حقيقة يتم تحديدها عادة من السياق، بما في ذلك ما إذا كان جدول الحياة يعتمد على معدلات الوفيات بين الذكور أو الإناث).

يمكن التعامل مع القيمة الحالية الاكتوارية لمدفوعات التأمين على الحياة باعتبارها التوقع الرياضي لمتغير عشوائي للقيمة الحالية، أو حسابها من خلال نموذج الدفع الحالي.

الرمز الأساسي لتأمين الحياة هو . ومن ثم يمكن إضافة الترميز التالي: ${\displaystyle \,A}$

• يشير التدوين الموجود في أعلى اليمين إلى توقيت دفع استحقاقات الوفاة. ويعني عدم وجود تدوين أن المدفوعات تتم في نهاية عام الوفاة. ويعني الرقم الموجود بين قوسين (على سبيل المثال) أن الاستحقاقات مستحقة الدفع في نهاية الفترة المشار إليها (12 للشهر؛ و4 للربع؛ و2 للنصف سنويًا؛ و365 لليوم).${\displaystyle A^{(12)}}$
• يشير الرمز الموجود في أسفل اليمين إلى عمر الشخص عند بدء التأمين على الحياة.
• يشير الرمز الموجود أعلى الرمز الأساسي مباشرةً إلى "نوع" التأمين على الحياة، سواء كان قابلاً للدفع في نهاية الفترة أو فورًا. يشير الخط الأفقي إلى التأمين على الحياة المستحق الدفع فورًا، بينما لا يشير أي علامة أعلى الرمز إلى أنه سيتم الدفع في نهاية الفترة المشار إليها.

على سبيل المثال:

${\displaystyle \,A_{x}}$يشير إلى فائدة تأمين على الحياة قدرها 1 تدفع في نهاية سنة الوفاة.

${\displaystyle \,A_{x}^{(12)}}$يشير إلى فائدة تأمين على الحياة قدرها 1 تدفع في نهاية شهر الوفاة.

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$يشير إلى فائدة تأمين على الحياة قدرها 1 تدفع في اللحظة (الرياضية) للوفاة.

الرمز الأساسي للقسط هو أو . يشير بشكل عام إلى أقساط صافية سنويًا، إلى أقساط خاصة، كقسط فريد. ${\displaystyle \,P}$${\displaystyle \,\pi }$${\displaystyle \,P}$${\displaystyle \,\pi }$

بين خبراء التأمين، تشير قوة الوفيات إلى ما يسميه خبراء الاقتصاد وغيرهم من علماء الاجتماع معدل الخطر ويتم تفسيرها على أنها معدل لحظي للوفيات في سن معينة يتم قياسه على أساس سنوي.

في جدول الحياة، نأخذ في الاعتبار احتمال وفاة شخص بين عمر ( x ) وعمر x  + 1؛ ويسمى هذا الاحتمال q _x . وفي الحالة المستمرة، يمكننا أيضًا اعتبار الاحتمال الشرطي بأن الشخص الذي بلغ عمر ( x ) سيموت بين عمر ( x ) وعمر ( x  + Δ x ) على النحو التالي:

${\displaystyle P_{\Delta x}(x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

حيث F _X ( x ) هي دالة التوزيع التراكمية للمتغير العشوائي المستمر للعمر عند الوفاة ، X. وبما أن Δ x تتجه نحو الصفر، فإن هذا الاحتمال في الحالة المستمرة يتجه نحو الصفر أيضًا. والقوة التقريبية للوفاة هي هذه الاحتمالية مقسومة على Δ x . وإذا سمحنا لـ Δ x أن تتجه نحو الصفر، فإننا نحصل على دالة قوة الوفاة ، والتي يشار إليها بـ μ ( x ):

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

• القيمة الحالية الاكتوارية
• علم الاكتواري
• معدل النسبة السنوية
• رياضيات المالية

• وصف عام 1949 في مجلة معهد الاكتواريين
• مجموعة التدوينات الاكتوارية الدولية