محاذاة النقاط العشوائية

يهدف علم دراسة محاذاة النقاط العشوائية في مستوى ما إلى اكتشاف مجموعات فرعية من النقاط التي تشغل خطًا مستقيمًا تقريبًا ضمن مجموعة أكبر من النقاط الموضوعة عشوائيًا في منطقة مستوية. وقد أظهرت الدراسات أن هذه المحاذاة شبه الكاملة تحدث بالصدفة بتردد أكبر مما قد يتوقعه المرء بديهيًا .

طُرح هذا كدليل على أن خطوط الطاقة الأرضية وغيرها من المحاذاة الغامضة المماثلة، التي يعتقد البعض أنها ظواهر ذات دلالة عميقة، قد توجد محض صدفة، على عكس التفسيرات الخارقة للطبيعة أو الأنثروبولوجية التي يطرحها مؤيدوها. وقد دُرِس هذا الموضوع أيضًا في مجالي رؤية الحاسوب وعلم الفلك .

تناولت العديد من الدراسات الجوانب الرياضية لمحاذاة النقاط العشوائية على المستوى. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} وفي جميع هذه الدراسات، يُعدّ عرض الخط - أي الإزاحة المسموح بها لمواقع النقاط عن خط مستقيم تمامًا - عاملًا مهمًا. فهو يُراعي حقيقة أن معالم العالم الحقيقي ليست نقاطًا رياضية، وأن مواقعها لا يشترط أن تتطابق تمامًا حتى تُعتبر محاذية. استخدم ألفريد واتكينز ، في كتابه الكلاسيكي عن خطوط لي " المسار المستقيم القديم" ، عرض خط قلم رصاص على الخريطة كعتبة لتفاوت ما يُمكن اعتباره محاذاة. على سبيل المثال، عند استخدام  خط قلم رصاص بعرض 1 مم لرسم محاذاة على خريطة مسح الذخائر بمقياس 1:50,000 ، يكون العرض المقابل على الأرض 50 مترًا. ^{[ 5 ]}

على عكس المتوقع، يصبح إيجاد محاذاة بين نقاط موضوعة عشوائياً على سطح الأرض أسهل تدريجياً كلما اتسعت المساحة الجغرافية المراد دراستها. ويمكن فهم هذه الظاهرة من خلال ملاحظة أن ازدياد عدد التوليفات الممكنة لمجموعات النقاط في تلك المساحة يفوق بكثير انخفاض احتمالية محاذاة أي مجموعة معينة من النقاط فيها.

أحد التعريفات التي تعبر عن المعنى المقبول عموماً لمصطلح "التوافق" هو:

مجموعة من النقاط، يتم اختيارها من مجموعة معينة من نقاط المعالم، وتقع جميعها ضمن مسار مستقيم واحد على الأقل بعرض معين

بتعبير أدق، يمكن تعريف مسار بعرض w بأنه مجموعة جميع النقاط الواقعة ضمن مسافة w/2 من خط مستقيم على مستوى، أو دائرة عظمى على كرة، أو بشكل عام أي مسار جيوديسي على أي نوع آخر من الأسطح المتشعبة . تجدر الإشارة إلى أنه، بشكل عام، أي مجموعة معينة من النقاط المتراصفة بهذه الطريقة ستحتوي على عدد كبير من المسارات المستقيمة ذات الاختلافات المتناهية في الصغر. لذلك، يكفي وجود مسار مستقيم واحد على الأقل لتحديد ما إذا كانت مجموعة النقاط تمثل محاذاة. لهذا السبب، من الأسهل حساب مجموعات النقاط بدلاً من المسارات نفسها. يتأثر عدد المحاذاة بشكل كبير بالعرض المسموح به w ، حيث يزداد تقريبًا بما يتناسب مع w ^{k −2} ، حيث k هو عدد النقاط في المحاذاة.

فيما يلي تقدير تقريبي للغاية لترتيب حجم احتمالية المحاذاة، بافتراض وجود مستوى مغطى بنقاط "مهمة" موزعة بشكل منتظم.

لنفترض مجموعة من n نقطة في منطقة مضغوطة بقطر تقريبي L ومساحة تقريبية L ^2. ولنعتبر خطًا صالحًا هو الخط الذي تقع فيه كل نقطة على مسافة w /2 من الخط (أي تقع على مسار عرضه w ، حيث w ≪ L ).

ضع في اعتبارك جميع المجموعات غير المرتبة المكونة من k نقطة من النقاط n ، والتي يوجد منها:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(nk)!\,k!}}}$

(انظر إلى معامل المضروب ومعامل ذي الحدين للرموز ).

لتقدير احتمالية أن تكون أي مجموعة فرعية معينة من k نقطة على استقامة واحدة تقريبًا كما هو موضح أعلاه، نعتبر الخط الواصل بين أقصى نقطتين يسارًا وأقصى نقطتين يمينًا في تلك المجموعة الفرعية (لأي محور يسار/يمين: يمكن اختيار أعلى وأسفل المحور الرأسي في الحالة الاستثنائية). يمكن رسم خط مستقيم يمر بهاتين النقطتين بسهولة. بالنسبة لكل نقطة من النقاط المتبقية k -2 في المجموعة الفرعية، فإن احتمالية أن تكون النقطة "قريبة بما يكفي" من الخط هي تقريبًا w / L ، ويمكن ملاحظة ذلك من خلال حساب نسبة مساحة منطقة التفاوت المسموح بها للخط (تقريبًا wL ) إلى المساحة الكلية (تقريبًا L² ⁾ .

بناءً على التقديرات التقريبية المذكورة أعلاه، يمكن تقدير العدد المتوقع لمحاذاة نقاط k في المجموعة الإجمالية ليكون مساوياً تقريباً لـ

${\displaystyle {\frac {n!}{(nk)!\,k!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}}$

من بين أمور أخرى، يمكن استخدام هذا لإظهار أنه على عكس الحدس، فإن عدد خطوط النقاط k المتوقعة من الصدفة العشوائية في مستوى مغطى بنقاط بكثافة معينة، لعرض خط معين، يزداد بشكل أكبر بكثير من الزيادة الخطية مع حجم المنطقة التي تم النظر فيها، لأن الانفجار التوافقي للنمو في عدد التركيبات الممكنة للنقاط يعوض أكثر من الزيادة في صعوبة أي تركيبة معينة في الاصطفاف.

باستخدام تحليل مماثل، ولكن أكثر دقة، يمكن إيجاد تعبير أكثر دقة لعدد عمليات المحاذاة ثلاثية النقاط ذات العرض الأقصى w والطول الأقصى d المتوقعة بالصدفة بين n نقطة موضوعة عشوائيًا على مربع طول ضلعه L على النحو التالي ^{[ 2 ].}

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)}$

إذا كان d ≈ L و k = 3، فيمكن ملاحظة أن هذا يعطي نفس التنبؤ الذي قدمه التقدير التقريبي أعلاه، حتى عامل ثابت.

إذا أُخذت تأثيرات الحواف (فقدان المحاذاة على حدود المربع) في الاعتبار، فإن التعبير يصبح

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)\left(1-{\frac {3}{\pi }}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)}$

تعميم لمحاذاة النقاط k (مع تجاهل تأثيرات الحواف) هو ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-2)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\left({\frac {d}{L}}\right)^{k}}$

والذي يتمتع بخصائص قياس تقاربية مماثلة تقريبًا للتقريب الخام في القسم السابق، وللسبب نفسه؛ وهو أن الانفجار التوافقي لقيم n الكبيرة يطغى على تأثيرات المتغيرات الأخرى.

تُظهر المحاكاة الحاسوبية أن النقاط على مستوى ما تميل إلى تشكيل محاذاة مشابهة لتلك التي وجدها الباحثون عن خطوط الطاقة الأرضية، بأعداد تتوافق مع تقديرات رتبة المقدار المذكورة أعلاه، مما يشير إلى أن خطوط الطاقة الأرضية قد تتولد أيضًا بالصدفة. تحدث هذه الظاهرة بغض النظر عما إذا كانت النقاط قد تم توليدها بشكل شبه عشوائي بواسطة الحاسوب، أو من مجموعات بيانات لمعالم عادية مثل مطاعم البيتزا أو أكشاك الهاتف .

على خريطة بعرض عشرات الكيلومترات، من السهل العثور على محاذاة من 4 إلى 8 نقاط حتى في مجموعات صغيرة نسبيًا من المعالم بعرض w = 50 مترًا. اختيار مناطق أكبر، أو مجموعات معالم أكثر كثافة، أو قيم أكبر لـ w يجعل من السهل العثور على محاذاة من 20 نقطة أو أكثر.

• أبوفينيا
• علم الفلك (النجومية)
• وهم التكتل
• صدفة
• عشوائية مكانية كاملة
• وظيفة عامة
• التعرف على الأنماط
• تحليل بروكروستس
• نظرية رامزي ، لمفهوم "المصادفات التي لا مفر منها"
• تحليل الشكل الإحصائي