الهندسة المعايرة

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 4 صور
الموسوعة الحرة

في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية ، فإن المتشعب المعاير هو متشعب ريماني ( M , g ) ذو بُعد n مزود بصيغة تفاضلية من الرتبة p ، φ (لبعض 0 ≤ p ≤ n )، وهو معايرة، بمعنى أن:

  • φ مغلقة ، أي أن d φ = 0، حيث d هي المشتقة الخارجية .
  • φ لها معيار مؤثر لا يتجاوز 1. أي، لأي x ∈ M وأي متجه pξ∈Λصتيxم{\displaystyle \xi \in \Lambda ^{p}T_{x}M}، لدينا φ ( ξ )  ≤  vol( ξ )، حيث يتم تعريف الحجم بالنسبة إلى المقياس الريماني g .

أحد الأسباب الرئيسية لتعريف المعايرة هو أنها تُنشئ مجموعة مميزة من "الاتجاهات" (أي المستويات p ) التي يكون فيها φ مساويًا فعليًا لشكل الحجم، أي أن المتباينة أعلاه هي مساواة. لكل x في M ، نُعرّف Gx ( φ ) على أنها المجموعة الجزئية من هذه المستويات في غراسمانيان المستويات p في TxM . في الحالات ذات الأهمية، تكون Gx ( φ ) دائمًا غير فارغة . ليكن G ( φ ) اتحاد Gx ( φ ) لجميعx∈م{\displaystyle x\in M}، باعتبارها فضاءً فرعياً من حزمة المستويات p في T M .

تاريخ

قدم هارفي ولوسون مصطلح المعايرة وطورا النظرية في عام 1982، [ 1 ] ولكن للموضوع تاريخ طويل. [ 2 ]

يعود المثال الأول المحفز، وهو مثال مشعبات كاهلر، ضمنيًا إلى ويرتينجر في عام 1936 [ 3 ] وصريحًا إلى دي رام في عام 1957. [ 4 ] في عام 1965، استخدم فيدرر هذا لبناء الأمثلة الأولى للمشعبات الفرعية الدنيا الشاذة. [ 5 ]

بعد ذلك بوقت قصير، ظهرت الأمثلة الرئيسية الأخرى. درس إدموند بونان مشعبات G2 ومشعبات Spin (7) في عام 1966، [ 6 ] حيث بنى جميع الأشكال المتوازية وأظهر أن هذه المشعبات يجب أن تكون مسطحة ريتشي ، على الرغم من أن أمثلة أي منهما لم تُبنَ إلا بعد 20 عامًا أخرى حتى عمل روبرت براينت . دُرست مشعبات كواترنيون-كاهلر في الوقت نفسه عام 1965 من قِبل إدموند بونان [ 7 ] وفيفيان يوه كراينز، [ 8 ] حيث بنى كل منهما الشكل الرباعي المتوازي. أخيرًا، في عام 1970، قدم بيرغر الحجة العامة القائلة بأن المشعبات الفرعية المُعايرة هي مشعبات دنيا وطبقها على هذه الحالات. [ 9 ]

مشعبات فرعية معايرة

يُقال إن الفضاء الفرعي Σ ذو البعد p من M هو فضاء فرعي مُعاير بالنسبة إلى φ ( أو ببساطة مُعاير بالنسبة إلى φ ) إذا كان φ | Σ = d vol Σ . وبصورة مكافئة، يقع T Σ في G ( φ ).  

تُظهر حجةٌ شهيرةٌ من سطرٍ واحدٍ أنَّ الفضاءات الفرعية المغلقة المُعايرة تُقلِّل الحجم ضمن فئة التماثل الخاصة بها . في الواقع، لنفترض أنَّ Σ مُعايرة، وأنَّ Σ ′ فضاءٌ فرعيٌّ في نفس فئة التماثل. عندئذٍ ∫ΣvoلΣ=∫Σφ=∫Σ′φ≤∫Σ′voلΣ′،{\displaystyle \int _{\Sigma }\mathrm {vol} _{\Sigma }=\int _{\Sigma }\varphi =\int _{\Sigma '}\varphi \leq \int _{\Sigma '}\mathrm {vol} _{\Sigma '},} حيث أن المساواة الأولى صحيحة لأن Σ معايرة، والمساواة الثانية هي نظرية ستوكس (لأن φ مغلقة)، والمتباينة صحيحة لأن φ لها معيار عامل 1.

تُظهر الحجة نفسها أن حتى الفضاء الفرعي المعاير غير المضغوط هو فضاء فرعي أدنى بالمعنى التبايني، وبالتالي يكون له انحناء متوسط ​​صفري .

على وجه الخصوص، تتميز المتنوعات الجبرية المعقدة الأفينية بصغر مساحتها محليًا. وقد استخدم فيدرر هذا لتقديم بعض الأمثلة الأولى على المشعبات الفرعية الصغرى المفردة، مثل المنحنى الجبري{w2=z3}⊂ج2{\displaystyle \{w^{2}=z^{3}\}\subset \mathbb {C} ^{2}}[ 5 ] [ 2 ]​

أمثلة

  • على مشعب كاهلر ، تُعتبر القوى المعيارية المناسبة لصيغة كاهلر معايرات، والمشعبات الفرعية المعايرة هي المشعبات الفرعية المركبة . وينتج هذا من متباينة ويرتينجر .
  • في مشعب كالابي-ياو ، يكون الجزء الحقيقي من شكل الحجم الهولومورفي (المُعَيَّر بشكل مناسب) بمثابة معايرة، والمشعبات الفرعية المُعايرة هي مشعبات فرعية لاغرانجية خاصة .
  • على مشعب G 2 ، يُعرّف كل من الشكل الثلاثي المتوازي وشكل هودج الرباعي الثنائي الخاص به معايرات. وتُسمى المشعبات الفرعية المعايرة المقابلة بالمشعبات الفرعية الترابطية والمشعبات الفرعية الترابطية المشتركة.
  • في فضاء ذي دوران (7) ، يُعد الشكل الرباعي المميز، المعروف باسم شكل كايلي، بمثابة معايرة. وتُسمى الفضاءات الفرعية المعايرة المقابلة بالفضاءات الفرعية لكايلي.

مراجع

  1. ↑ هارفي، ريس ؛ لوسون، هـ. بلين (1982). "الهندسات المعايرة". أكتا ماتيماتيكا . 148 (0): 47-157 . doi : 10.1007/BF02392726 .
  2. 1 2 مورغان، فرانك (2009)، نظرية القياس الهندسي: دليل للمبتدئين ( الطبعة الرابعة)، لندن: أكاديميك برس، ص 74-75 ، ISBN   978-0-12-374444-9
  3. ^ Wirtinger، W. (1936)، “Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung”، Monatshefte für Mathematik und Physik ، 44 : 343–365 (§6.5)، دوى : 10.1007/BF01699328 ، S2CID 121050865 .
  4. ↑ دي رام، جورج (1957-1958)، حول مساحة المتشعبات المركبة. ملاحظات لندوة حول عدة متغيرات مركبة ، معهد الدراسات المتقدمة، برينستون، نيو جيرسي.
  5. 1 2 فيدرر، هربرت (1965)، "بعض النظريات حول التيارات التكاملية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 117 : 43-67 ، doi : 10.2307/1994196 ، JSTOR 1994196 .
  6. ^ بونان ، إدموند (1966). "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G 2 ou Spin (7)" . سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس . 262 : 127 – 129.
  7. ^ بونان ، إدموند (1965). "الهيكل الرباعي المسبق على تنوع مختلف" . سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس . 260 : 5445- 5448.
  8. ↑ كراينز، فيفيان يوه (1965). "طوبولوجيا المشعبات الرباعية" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 71، 3، 1 (3): 526-527 . doi : 10.1090/s0002-9904-1965-11316-7 .
  9. ^ بيرغر، مارسيل (1970)، “Quelques problèmes de géométrie riemannienne ou Deux Differences sur les espaces Symétriques Compacts de rang un” ، L' Enseignement mathématique ، 16 : 73–96، §6.
  • Bonan، Edmond (1982)، “Sur l'algèbre extérieure d’une variété presque Hermitienne quaternionique”، CR Acad. الخيال العلمي. باريس ، 295 : 115 – 118.
  • براك، كينيث أ. (1991)، "المخاريط الدنيا على المكعبات الفائقة"، مجلة التحليل الهندسي ، 1 (4): 329-338 (الفقرة 6.5)، doi : 10.1007/BF02921309 ، S2CID 119606624 .
  • براك، كينيث أ. (1993)، المخاريط الدنيا متعددة الأوجه في R4.
  • لولور، غاري (1998)، "إثبات تقليل المساحة عن طريق التقطيع الموجه"، مجلة الرياضيات بجامعة إنديانا ، 47 (4): 1547-1592 ، doi : 10.1512/iumj.1998.47.1341.
  • مورغان، فرانك، لولور، غاري ( 1996)، "التقطيع المنحني يثبت أن التقاطعات الثلاثية تقلل المساحة محليًا"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 44 : 514-528{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) .
  • مورغان، فرانك، لولور، غاري (1994)، "معايرات مزدوجة مطبقة على أغشية الصابون، والسوائل غير القابلة للامتزاج، والأسطح أو الشبكات التي تقلل من المعايير الأخرى"، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات ، 166 : 55-83 ، doi : 10.2140/pjm.1994.166.55{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) .
  • ماكلين، آر سي (1998)، "تشوهات المشعبات الفرعية المعايرة"، الاتصالات في التحليل والهندسة ، 6 (4): 705-747 ، doi : 10.4310/CAG.1998.v6.n4.a4.
  • مورغان، فرانك (1988)، "الأسطح ذات المساحة الدنيا، ووجوه غراسمان، والمعايرات"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 95 (9): 813-822 ، doi : 10.2307/2322896 ، JSTOR 2322896 .
  • مورغان، فرانك (1990)، "المعايرات والحالات الشاذة الجديدة في الأسطح التي تقلل المساحة: دراسة استقصائية في "الأساليب التباينية" (وقائع مؤتمر باريس، يونيو 1988)، (تحرير: هـ. بيرستيكي، جيه-إم. كورون، وإي. إيكيلاند)"، التقدم في المعادلات التفاضلية غير الخطية وتطبيقاتها ، 4 : 329-342.
  • ثي، داو ترونغ (1977)، "التيارات الحقيقية الدنيا على مشعبات ريمانية مضغوطة"، إزف. أكاد. ناوك إس إس إس آر سير. مات. ، 41 (4): 807-820 ، رمز Bibcode : 1977IzMat..11..807C ، doi : 10.1070/IM1977v011n04ABEH001746.
  • فان، لي هونغ ( 1990)، "المعايرة النسبية ومشكلة استقرار الأسطح الدنيا"، التحليل العالمي - دراسات وتطبيقات، الجزء الرابع ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1453، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات 245-262 .

للمزيد من القراءة

  • جويس، دومينيك د. (2007)، مجموعات الهولونومي الريمانية والهندسة المعايرة ، نصوص أكسفورد للدراسات العليا في الرياضيات، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-19-921559-1.
  • هارفي، ف. ريس (1990)، سبينورز ومعايرات ، أكاديميك برس، رقم ISBN 978-0-12-329650-4.