قانون جورين

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة
ارتفاع أو انخفاض الشعيرات الدموية في الأنبوب.

قانون جورين ، أو الارتفاع الشعري ، هو أبسط تحليل للخاصية الشعرية - وهي الحركة المستحثة للسوائل في القنوات الصغيرة [ 1 ] - وينص على أن أقصى ارتفاع للسائل في أنبوب شعري يتناسب عكسيًا مع قطر الأنبوب . تُعد الخاصية الشعرية من أكثر التأثيرات الميكانيكية للسوائل شيوعًا في مجال الموائع الدقيقة . سُمي قانون جورين نسبةً إلى جيمس جورين ، الذي اكتشفه بين عامي 1718 و1719. [ 2 ] [ 3 ] يمكن اشتقاق التعبير الرياضي لهذا القانون مباشرةً من مبادئ التوازن الهيدروستاتيكي ومعادلة يونغ-لابلاس ، وذلك بناءً على فرق الارتفاع بين محيط الأنبوب وداخله، بالإضافة إلى شكل السطح الهلالي . يسمح قانون جورين بقياس التوتر السطحي للسائل، ويمكن استخدامه لحساب طول الأنبوب الشعري . [ 4 ]

التركيبة

يُعبّر عن القانون على النحو التالي:

ح=2γكوس⁡θρزر0{\displaystyle \qquad h={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho gr_{0}}}}،

أين

لا يكون ذلك صحيحًا إلا إذا كان الأنبوب أسطوانيًا ونصف قطره ( r0 ) أصغر من طول الشعيرة الدموية (λج2=γ/(ρز){\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}=\gamma /(\rho g)}). من حيث طول الشعيرة الدموية، يمكن كتابة القانون على النحو التالي

λج2=حر02كوس⁡θ{\displaystyle \lambda _{\rm {c}}^{2}={\frac {hr_{0}}{2\cos \theta }}}.

أمثلة

تم رسم ارتفاع الماء في أنبوب شعري مقابل القطر.

بالنسبة لأنبوب زجاجي مملوء بالماء في الهواء عند الظروف القياسية لدرجة الحرارة والضغط ، فإن γ = 0.0728 نيوتن/متر عند 20 درجة مئوية ، و ρ = 1000 كجم/م³ ، و g = 9.81  م/ث² . ولأن الماء ينتشر على الزجاج النظيف، فإن زاوية التلامس الفعالة عند الاتزان تساوي صفرًا تقريبًا. عند هذه القيم، يكون ارتفاع عمود الماء

ح≈1.48×10-5ر0 م.{\displaystyle h\approx {{1.48\times 10^{-5}} \over r_{0}}\ {\mbox{m}}.}

وبالتالي، بالنسبة لأنبوب زجاجي نصف قطره متران (6.6 قدم) في ظروف المختبر المذكورة أعلاه، سيرتفع الماء بمقدار ضئيل جدًا لا يُلاحظ، وهو 0.007 ملم (0.00028 بوصة) . أما بالنسبة لأنبوب نصف قطره 2 سم (0.79 بوصة) ، فسيرتفع الماء بمقدار 0.7 ملم (0.028 بوصة) ، وبالنسبة لأنبوب نصف قطره 0.2 ملم (0.0079 بوصة) ، فسيرتفع الماء بمقدار 70 ملم (2.8 بوصة) .            

تستخدم العديد من النباتات الخاصية الشعرية لرفع الماء من التربة. أما بالنسبة للأشجار الطويلة (التي يزيد ارتفاعها عن 10  أمتار أو 33  قدمًا تقريبًا)، فإن عمليات أخرى مثل الضغط الأسموزي والضغوط السلبية تُعدّ مهمة أيضًا. [ 5 ]

تاريخ

خلال القرن الخامس عشر، كان ليوناردو دافنشي من أوائل من اقترحوا أن الجداول الجبلية يمكن أن تنشأ من ارتفاع المياه عبر الشقوق الشعرية الصغيرة. [ 4 ] [ 6 ]

في وقت لاحق، خلال القرن السابع عشر، بدأت تظهر النظريات حول أصل الخاصية الشعرية. افترض جاك روهو خطأً أن ارتفاع السائل في الأنبوب الشعري قد يكون ناتجًا عن كبح الهواء داخله وتكوين فراغ. وكان الفلكي جيمينيانو مونتاناري من أوائل من قارنوا الخاصية الشعرية بدوران عصارة النباتات. إضافةً إلى ذلك، أثبتت تجارب جيوفاني ألفونسو بوريلي عام 1670 أن ارتفاع السائل يتناسب عكسيًا مع نصف قطر الأنبوب.

في عام ١٧١٣، دحض فرانسيس هوكسبي نظرية روهولت من خلال سلسلة من التجارب على الخاصية الشعرية، وهي ظاهرة يمكن ملاحظتها في الهواء وفي الفراغ. كما أثبت هوكسبي أن ارتفاع السائل يظهر على أشكال هندسية مختلفة (ليس فقط المقاطع العرضية الدائرية)، وعلى سوائل ومواد أنابيب مختلفة، وأظهر أنه لا يوجد اعتماد على سمك جدران الأنبوب. وقد أورد إسحاق نيوتن تجارب هوكسبي في كتابه "البصريات" دون الإشارة إليه. [ ٤ ] [ ٦ ]

كان عالم وظائف الأعضاء الإنجليزي جيمس جورين هو من أكد أخيراً في عام 1718 [ 2 ] [ 3 ] تجارب بوريلي، وسُمي القانون تكريماً له. [ 4 ] [ 6 ]

الاشتقاق

مخطط يوضح المتغيرات ذات الصلة بالمشكلة لارتفاع موجب.

الارتفاعح{\displaystyle h}يُقيَّد ارتفاع عمود السائل في الأنبوب بالضغط الهيدروستاتيكي والتوتر السطحي . الاشتقاق التالي خاص بسائل يرتفع في الأنبوب؛ أما في الحالة المعاكسة، عندما يكون السائل أسفل مستوى المرجع، فإن الاشتقاق مماثل، ولكن قد تتغير إشارة فروق الضغط. [ 1 ]

ضغط لابلاس

فوق السطح الفاصل بين السائل والسطح، يكون الضغط مساوياً للضغط الجوي.صأتم{\displaystyle p_{\rm {atm}}}عند سطح التماس بين السطحين، وبسبب التوتر السطحي، يوجد فرق في الضغط مقدارهΔص=صأتم-صأنانت{\displaystyle \Delta p=p_{\rm {atm}}-p_{\rm {int}}}، أينصأنانت{\displaystyle p_{\rm {int}}}هو الضغط على الجانب المحدب؛ وΔص{\displaystyle \Delta p}يُعرف هذا باسم ضغط لابلاس . إذا كان للأنبوب مقطع دائري بنصف قطرر0{\displaystyle r_{0}}وإذا كان الغضروف الهلالي كروي الشكل، فإن نصف قطر انحنائه هو ر=ر0/كوس⁡θ{\displaystyle r=r_{0}/\cos \theta }، أينθ{\displaystyle \theta }هي زاوية التلامس . ثم يتم حساب ضغط لابلاس وفقًا لمعادلة يونغ-لابلاس :Δص=2γر،{\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma }{r}},}أينγ{\displaystyle \gamma }هو التوتر السطحي.

اشتقاق نصف قطر الانحناء

سنستنتج الآن الحقيقة المذكورة سابقاً وهير=ر0كوس⁡θ{\displaystyle r={\frac {r_{0}}{\cos \theta }}}. يتركx{\displaystyle x}ولتكن المسافة الشعاعية من مركز الأنبوب إلى نقطة مختارة على طول الأنبوب، ولتكنy{\displaystyle y}ليكن ارتفاع الهلالة المنحنية فوق تلك النقطة، محسوبًا بالنسبة لأدنى نقطة في الهلالة في المركز. عندئذٍ، يحقق منحنى الهلالة الدائرية المعادلة التالية:x2+y2=ر2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}وهكذا y=-ر2-x2{\displaystyle y=-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} حيث نختار اصطلاحًا للإشارة بحيث يكون للهلالة المنحنية لأعلى (المقعرة) نصف قطر انحناء موجب. وبأخذ المشتقة، نجد أن دyدx=xر2-x2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}} نقوم الآن بتقييم ذلك عند جدار الأنبوب للحصول على دyدx(ر0)=ر0ر2-ر02{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(r_{0})={\frac {r_{0}}{\sqrt {r^{2}-r_{0}^{2}}}}} يمكننا الآن ربط هذه المشتقة بزاوية التلامس:كوس⁡θ=دy/دx1+(دyدx)2=11+(1دy/دx)2=11+ر2-ر02ر02=ر0ر{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {d} y/\mathrm {d} x}{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {1}{\mathrm {d} y/\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {r^{2}-r_{0}^{2}}{r_{0}^{2}}}}}}={\frac {r_{0}}{r}}}

وهكذا نحصل في النهاية ر=ر0كوس⁡θ{\displaystyle r={\frac {r_{0}}{\cos \theta }}}

الضغط الهيدروستاتيكي

خارج الأنبوب وبعيدًا عنه، يصل السائل إلى مستوى سطح الأرض حيث يلامس الغلاف الجوي. تكون ضغوط السوائل في الأوعية المتصلة متساوية عند نفس الارتفاعات، لذا عند نقطة معينة، يكون الضغط متساويًا.w{\displaystyle {\rm {w}}}داخل الأنبوب، عند نفس مستوى السائل كما هو الحال في الخارج، سيكون الضغط متساوياًصw=صأتم{\displaystyle p_{\rm {w}}=p_{\rm {atm}}}ومع ذلك، فإن الضغط عند هذه النقطة يتبع تغيرًا رأسيًا في الضغط كما

صw=صأنانت+ρزح،{\displaystyle p_{\rm {w}}=p_{\rm {int}}+\rho gh,}

أينز{\displaystyle g}هو التسارع الناتج عن الجاذبية وρ{\displaystyle \rho }كثافة السائل. تعني هذه المعادلة أن الضغط عند النقطةw{\displaystyle {\rm {w}}}هو الضغط عند السطح الفاصل بالإضافة إلى الضغط الناتج عن وزن عمود السائل ذي الارتفاعح{\displaystyle h}وبهذه الطريقة، يمكننا حساب الضغط عند السطح المحدب.صأنانت=صw-ρزح=صأتم-ρزح.{\displaystyle p_{\rm {int}}=p_{\rm {w}}-\rho gh=p_{\rm {atm}}-\rho gh.}

النتيجة عند التوازن

يُظهر التحليل الهيدروستاتيكي أنΔص=ρزح{\displaystyle \Delta p=\rho gh}وبدمج ذلك مع حساب ضغط لابلاس، نحصل على:ρزح=2γكوس⁡θر0،{\displaystyle \rho gh={\frac {2\gamma \cos \theta }{r_{0}}},}حل لـح{\displaystyle h}يعيد قانون جورين.

مراجع

  1. 1 2 راب، باستيان إي. (2017). "الشعيرية". الموائع الدقيقة: النمذجة والميكانيكا والرياضيات . ص 445-451 . doi : 10.1016/B978-1-4557-3141-1.50021-6 . ISBN  978-1-4557-3141-1.
  2. 1 2 جورين، جيمس (1719). "II. سرد لبعض التجارب التي عُرضت أمام الجمعية الملكية؛ مع بحث في سبب صعود الماء وتعليقه في الأنابيب الشعرية" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 30 (355): 739-747 . Bibcode : 1719RSPT...30..739. . doi : 10.1098/rstl.1717.0026 . JSTOR 103321 . 
  3. 1 2 جورين، جيمس (1719). "II. سرد لبعض التجارب الجديدة المتعلقة بتأثير الأنابيب الزجاجية على الماء والزئبق" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 30 (363): 1083-1096 . doi : 10.1098/rstl.1717.0070 . JSTOR 103365 . 
  4. 1 2 3 4 دي جين، بيير جيل؛ بروشار ويارت، فرانسواز؛ كيري، ديفيد (2004). “الشعرية والجاذبية”. الشعيرات الدموية وظواهر الترطيب . ص 33 – 67. دوى : 10.1007 / 978-0-387-21656-0_2 . رقم ISBN  978-1-4419-1833-8.
  5. ↑ كارين رايت (مارس 2003). "فيزياء الضغط السلبي" . ديسكفر . مؤرشف من الأصل في 8 يناير 2015. تم الاطلاع عليه في 31 يناير 2015 .
  6. 1 2 3 بوش، جون دبليو إم (3 يونيو 2013). "18.357 ظواهر التفاعل السطحي، خريف 2010" (ملف PDF) . MIT OpenCourseware . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 ديسمبر 2018 .