سطح كوشي

في مجال الهندسة اللورنتزية ، يُعد سطح كوشي ، أو ما يُسمى أيضًا بشكل أدق سطح كوشي الفائق ، نوعًا من أنواع الفضاءات الفرعية ضمن فضاء لورنتز . عند تطبيق الهندسة اللورنتزية على فيزياء النسبية العامة ، يُفسر سطح كوشي عادةً على أنه يُحدد "لحظة زمنية". في رياضيات النسبية العامة ، تُوفر أسطح كوشي شروطًا حدية للبنية السببية التي يُمكن من خلالها حل معادلات أينشتاين (باستخدام، على سبيل المثال، صيغة ADM ).

وقد سميت هذه المسائل نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغسطين لويس كوشي (1789-1857) نظراً لأهميتها في مسألة كوشي في النسبية العامة.

مقدمة غير رسمية

على الرغم من أن مفهوم سطح كوشي يُصاغ عادةً بمصطلحات النسبية العامة ، إلا أنه يمكن فهمه بمصطلحات مألوفة. لنفترض أن سرعة الإنسان القصوى هي 20 ميلاً في الساعة. هذا يفرض قيودًا على المكان الذي يمكن لأي شخص الوصول إليه في وقت محدد. على سبيل المثال، يستحيل على شخص موجود في المكسيك الساعة الثالثة الوصول إلى ليبيا الساعة الرابعة؛ بينما يستطيع شخص موجود في مانهاتن الساعة الواحدة الوصول إلى بروكلين الساعة الثانية، لأن المسافة بين الموقعين عشرة أميال. ولنتحدث بشكل شبه رسمي، نتجاهل فروق التوقيت وصعوبات السفر، ونفترض أن المسافرين كائنات خالدة عاشت إلى الأبد.

نظام جميع الطرق الممكنة لملء الفراغات الأربعة في

يمكن للشخص الموجود في (الموقع 1) في (الوقت 1) أن يصل إلى (الموقع 2) بحلول (الوقت 2).

يُعرّف مفهوم البنية السببية . سطح كوشي لهذه البنية السببية هو مجموعة من أزواج المواقع والأوقات بحيث، بالنسبة لأي مسافر افتراضي، يوجد زوج واحد فقط من الموقع والوقت في المجموعة يكون فيه المسافر في الموقع المحدد في الوقت المحدد.

توجد عدة أسطح كوشي غير مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، يُعطى أحد أسطح كوشي لهذا الهيكل السببي من خلال النظر في اقتران كل موقع بالساعة الواحدة (في يوم محدد)، حيث يجب أن يكون أي مسافر افتراضي في موقع محدد واحد في هذا الوقت؛ علاوة على ذلك، لا يمكن لأي مسافر أن يكون في مواقع متعددة في هذا الوقت. في المقابل، لا يمكن أن يكون هناك أي سطح كوشي لهذا الهيكل السببي يحتوي على كل من الزوج (مانهاتن، الساعة الواحدة) و(بروكلين، الساعة الثانية) لأنه يوجد مسافرون افتراضيون كان من الممكن أن يكونوا في مانهاتن في الساعة الواحدة وفي بروكلين في الساعة الثانية.

توجد أيضًا بعض أسطح كوشي الأكثر إثارة للاهتمام والتي يصعب وصفها لفظيًا. يمكن تعريف دالة $τ$ من مجموعة جميع المواقع إلى مجموعة جميع الأوقات، بحيث يكون تدرج τ في كل مكان أقل من 1/20 ساعة لكل ميل. ومن الأمثلة الأخرى على أسطح كوشي مجموعة الأزواج $.$

{\Big \{}{\big (}p,\tau (p){\big )}:p{\text{ موقع على الأرض}}{\Big \}}.

الفكرة هي أنه بالنسبة لأي مسافر افتراضي، لا بد من وجود موقع ما $p$ كان فيه المسافر عند الزمن $τ (p)$ ؛ وهذا ما يستنتج من نظرية القيمة المتوسطة . علاوة على ذلك، يستحيل وجود موقعين $p$ و $q$ ، وأن يكون هناك مسافر ما موجودًا في $p$ عند الزمن $τ (p)$ وفي $q$ عند الزمن $τ (q)$ ، لأنه وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، كان سيتعين عليهما في مرحلة ما السفر بسرعة $dist (p, q) / | τ (p) - τ (q) | ، وهي سرعة$ يجب أن تكون أكبر من "20 ميلًا في الساعة" بسبب شرط التدرج على $τ$ : وهذا تناقض.

تُعرّف النظريتان الفيزيائيتان للنسبية الخاصة والنسبية العامة بنى سببية تُشبه في شكلها التخطيطي ما ذُكر أعلاه ("إما أن يتمكن المسافر من الوصول إلى نقطة معينة في الزمكان من نقطة أخرى في الزمكان، أو لا يتمكن من ذلك")، باستثناء أن المواقع والأزمنة لا يمكن فصلها بشكل قاطع. لذا، يمكن الحديث عن أسطح كوشي لهذه البنى السببية أيضًا.

التعريف الرياضي والخصائص الأساسية

ليكن $(M, g)$ متعدد شعب لورنتزي. يُقال إن التطبيق $c : (a, b) \to M$ هو منحنى زمني تفاضلي غير قابل للتمديد في $(M, g)$ إذا:

إنه قابل للتفاضل
$c' (t)$ هي دالة زمنية لكل $t$ في الفترة $(a, b)$
لا تقترب الدالة $c$ $($ $t$ $) من حد معين عندما تزداد قيمة$ $t$ إلى $b$ أو عندما $تنخفض قيمة t$ إلى $a$ .^{[ 1 ]}

تُسمى المجموعة الفرعية $S$ من $M$ سطح كوشي إذا كان لكل منحنى زمني قابل للتفاضل وغير قابل للتمديد في $(M ، g)$ نقطة تقاطع واحدة بالضبط مع $S$ ؛ إذا وُجدت مثل هذه المجموعة الفرعية، فإن $(M ، g)$ تُسمى زائدية عالمية .

ينطبق ما يلي تلقائيًا على سطح كوشي $S$ :

المجموعة الجزئية $S \subset M$ مغلقة طوبولوجيًا وهي فضاء جزئي متصل (وحتى ليبشيتز ) مضمن في $M.$ يُعرّف تدفق أي حقل متجه زمني متصل تماثلًا طوبولوجيًا $S \times ℝ \to M.$ من خلال النظر في تقييد المعكوس على سطح كوشي آخر، يتضح أن أي سطحين من أسطح كوشي متماثلان طوبولوجيًا.

من الصعب الخوض أكثر في طبيعة أسطح كوشي بشكل عام. مثال على ذلك

{\Big \{}(t,x,y,z):t^{2}={\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}}{\Big \}}

يوضح تعريف سطح كوشي لفضاء مينكوفسكي $ℝ³ ،¹$ أنه حتى بالنسبة لأبسط مشعبات لورنتزية، قد لا تكون أسطح كوشي قابلة للتفاضل في كل مكان (في هذه الحالة، عند نقطة الأصل)، وأن التشاكل $S \times ℝ \to M$ قد لا يكون حتى تشاكلاً تفاضلياً من الرتبة $C₁ .$ ومع ذلك، تُظهر الحجة نفسها المستخدمة لسطح كوشي عام أنه إذا كان سطح كوشي $S مشعبًا فرعيًا من الرتبة$ $Cₖ$ في $M$ ، فإن تدفق حقل متجه زمني أملس يُعرّف تشاكلاً تفاضلياً من $الرتبة$ $Cₖ$ $بين S$ $\times ℝ و$ $M ، وأن أي سطحين من أسطح كوشي$ $،$ كلاهما مشعبان فرعيان من $الرتبة$ $Cₖ$ في $M،$ سيكونان متماثلين تفاضلياً من $الرتبة$ $Cₖ$ .

علاوة على ذلك، وعلى حساب عدم القدرة على النظر في سطح كوشي التعسفي، فإنه من الممكن دائمًا إيجاد أسطح كوشي الملساء (برنال وسانشيز 2003):

بالنظر إلى أي مشعب لورنتزي أملس $(M ، g)$ يحتوي على سطح كوشي، يوجد سطح كوشي $S$ وهو مشعب فرعي أملس مضمن وفضائي من $M$ بحيث يكون $S \times ℝ$ متماثلًا بشكل سلس مع $M.$

تطوير كوشي

ليكن $(M, g)$ متعدد شعب لورنتزي موجه زمنيًا. يُقال إن التطبيق $c : (a, b) \to M$ هو منحنى سببي تفاضلي غير قابل للتمديد في الماضي في $(M, g)$ إذا:

إنه قابل للتفاضل
$c'(t)$ إما أن تكون زمنية موجهة نحو المستقبل أو معدومة موجهة نحو المستقبل لكل $t$ في الفترة $(a, b)$
لا تقترب الدالة $c$ $($ $t$ $) من حد معين عندما تنخفض قيمة$ $t$ إلى $قيمة a$

يُعرَّف منحنى السببية التفاضلي غير القابل للتمديد في المستقبل بنفس المعايير، مع استبدال عبارة "عندما ينخفض $t$ إلى $a$ " بعبارة "عندما يرتفع $t$ إلى $b$ ". وبالنظر إلى مجموعة جزئية $S$ من $M$ ، يُعرَّف تطور كوشي المستقبلي $D + (S)$ للمجموعة $S بأنه يتكون من جميع النقاط$ $p$ من $M$ بحيث إذا كان $c : (a, b) \to M$ أي منحنى سببي تفاضلي غير قابل للتمديد في الماضي بحيث يكون $c (t) = p$ لبعض $t$ في $(a, b)$ ، فإنه يوجد $s$ في $(a, b)$ بحيث يكون $c (s) \in S.$ ويُعرَّف تطور كوشي الماضي $D- (S)$ بنفس المعايير، مع استبدال "غير قابل للتمديد في الماضي" بـ "غير قابل للتمديد في المستقبل" $.$

بشكل غير رسمي:

يتكون التطور المستقبلي لكوشي لـ $S$ من جميع النقاط $p$ بحيث يجب على أي مراقب يصل إلى p $أن$ يمر عبر $S$ ؛ ويتكون التطور الماضي لكوشي لـ $S$ من جميع النقاط $p$ بحيث يجب على أي مراقب يغادر من $p$ أن يمر عبر $S.$

يمثل تطور كوشي D $(S) اتحاد$ تطور كوشي المستقبلي وتطور كوشي الماضي.

مناقشة

عندما لا توجد منحنيات زمنية مغلقة ، $D^{+}$ و $D^{-}$ هما منطقتان مختلفتان. عندما ينغلق بُعد الزمن على نفسه في كل مكان بحيث يشكل دائرة، فإن مستقبل وماضي ${\mathcal {S}}$ كلاهما متطابقان ويشملان ${\mathcal {S}}$ يُعرَّف سطح كوشي بدقة من حيث التقاطعات مع المنحنيات غير القابلة للتمدد، وذلك لمعالجة حالة الزمن الدائري. المنحنى غير القابل للتمدد هو منحنى بلا نهايات: إما أن يستمر إلى الأبد، محافظًا على طبيعته الزمنية أو الصفرية، أو ينغلق على نفسه ليشكل دائرة، أي منحنى مغلق غير مكاني.

عند وجود منحنيات زمنية مغلقة، أو حتى عند وجود منحنيات غير مكانية مغلقة، يظل سطح كوشي يحدد المستقبل، لكن المستقبل يشمل السطح نفسه. هذا يعني أن الشروط الابتدائية تخضع لقيد، وأن سطح كوشي لا يكون له نفس طبيعة سطح كوشي عندما يكون المستقبل والماضي منفصلين.

إذا لم تكن هناك منحنيات زمنية مغلقة، فعندئذٍ ${\mathcal {S}}$ سطح كوشي جزئي، وإذا $D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})={\mathcal {M}}$ ، ثم المشعب بأكمله ${\mathcal {S}}$ هو سطح كوشي. أي سطح ذو ثابت $t$ في فضاء مينكوفسكي، يكون الزمكان سطح كوشي.

أفق كوشي

لو $D^{+}({\mathcal {S}})\cup {\mathcal {S}}\cup D^{-}({\mathcal {S}})\not ={\mathcal {M}}$ ثم يوجد أفق كوشي بين $D^{\pm }({\mathcal {S}})$ ومناطق من المتشعب غير محددة تمامًا بالمعلومات المتعلقة بـ ${\mathcal {S}}$ يُعدّ الأفق الثاني داخل الثقب الأسود المشحون أو الدوّار مثالًا ماديًا واضحًا على أفق كوشي . أما الأفق الخارجي فهو أفق الحدث ، الذي لا يمكن للمعلومات أن تتجاوزه، ولكن يبقى فيه المستقبل مُحدّدًا بالظروف الخارجية. داخل الأفق الداخلي، أفق كوشي، تظهر التفردية، ويتطلب التنبؤ بالمستقبل بيانات إضافية حول ما ينبثق منها.

بما أن أفق كوشي للثقب الأسود لا يتشكل إلا في منطقة تكون فيها الخطوط الجيوديسية متجهة للخارج، في الإحداثيات القطرية، وفي منطقة تكون فيها التفردية المركزية تنافرية، فمن الصعب تصور كيفية تشكله بدقة. لهذا السبب، يقترح كير وآخرون أن أفق كوشي لا يتشكل أبدًا، بل إن الأفق الداخلي هو في الواقع تفرد مكاني أو زمني. يتوافق الأفق الداخلي مع عدم الاستقرار الناتج عن تضخم الكتلة . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

الزمكان المتجانس ذو أفق كوشي هو فضاء مضاد دي سيتر .

مراجع

↑ يشترط أحد الشروط أنه لكل نقطة $p$ في $M$ ، توجد جوار مفتوح $U$ للنقطة $p،$ ومتتالية $t k$ تتزايد إلى $b$ ، ومتتالية $s k$ تتناقص إلى $a،$ بحيث $لا تكون c (t k )$ و $c (s k)$ محتواة في $U$ لأي قيمة لـ $k$ . هذا التعريف منطقي حتى لو $كانت M$ ذات بنية فضاء طوبولوجي فقط .
↑ هاميلتون، أندرو جيه إس؛ أفيلينو، بيدرو بي. (2010)، "فيزياء عدم استقرار التدفق المعاكس النسبي الذي يحرك تضخم الكتلة داخل الثقوب السوداء"، تقارير الفيزياء ، 495 (1): 1-32 ، arXiv : 0811.1926 ، Bibcode : 2010PhR...495....1H ، doi : 10.1016/j.physrep.2010.06.002 ، ISSN 0370-1573 ، S2CID 118546967
↑ بواسون، إريك؛ إسرائيل، فيرنر (1990). "البنية الداخلية للثقوب السوداء" . مجلة Physical Review D. 41 ( 6): 1796–1809 . Bibcode : 1990PhRvD..41.1796P . doi : 10.1103/PhysRevD.41.1796 . PMID 10012548 .
^ دي فيليبو، فرانشيسكو؛ كاربالو روبيو، راؤول؛ ليبراتي، ستيفانو؛ باسيليو، كوستانتينو؛ مات فيسر (28 مارس 2022). "في عدم الاستقرار في الأفق الداخلي للثقوب السوداء غير المفردة" . الكون . 8 (4): 204. أرخايف : 2203.14516 . بيب كود : 2022Univ....8..204D . دوى : 10.3390/الكون8040204 .

المقالات البحثية

Choquet-Bruhat, إيفون ; جيروش، روبرت. الجوانب العالمية لمشكلة كوشي في النسبية العامة . إتصالات. الرياضيات. فيز. 14 (1969)، 329-335.
جيروش، روبرت. مجال التبعية . J. الفيزياء الرياضية. 11 (1970)، 437-449.
برنال، أنطونيو ن.؛ سانشيز، ميغيل. على أسطح كوشي المفرطة الملساء ونظرية تقسيم جيروش . إتصالات. الرياضيات. فيز. 243 (2003)، لا. 3، 461-470.
برنال، أنطونيو ن.؛ سانشيز، ميغيل. سلاسة الدوال الزمنية وتقسيم المقياس للفضاءات الزمكانية الزائدية العالمية . مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية 257 (2005)، العدد 1، 43-50.

الكتب الدراسية

بيم، جون ك. إرليخ، بول إي. إيسلي ، كيفن إل. هندسة لورنتز العالمية . الطبعة الثانية. الدراسات والكتب المدرسية في الرياضيات البحتة والتطبيقية، 202. Marcel Dekker، Inc.، New York، 1996. xiv+635 pp. ISBN 0-8247-9324-2
شوكيه-بروهات، إيفون. النسبية العامة ومعادلات أينشتاين . سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية. مطبعة جامعة أكسفورد، أكسفورد، 2009. 785 صفحة + 26 صفحة تمهيدية. ISBN 978-0-19-923072-3
هوكينج، إس دبليو؛ إليس، جي إف آر. البنية واسعة النطاق للزمكان . سلسلة دراسات كامبريدج في الفيزياء الرياضية، رقم 1. مطبعة جامعة كامبريدج، لندن-نيويورك، 1973. 11+391 صفحة.
أونيل، باريت. الهندسة شبه الريمانية. مع تطبيقات في النسبية . الرياضيات البحتة والتطبيقية، 103. دار النشر الأكاديمية [هاركورت بريس جوفانوفيتش، ناشرون]، نيويورك، 1983. 13+468 صفحة. ISBN 0-12-526740-1
بينروز، روجر. تقنيات الطوبولوجيا التفاضلية في النسبية . سلسلة المؤتمرات الإقليمية لمجلس العلوم الرياضية في الرياضيات التطبيقية، رقم 7. جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية، فيلادلفيا، بنسلفانيا، 1972. 72 صفحة + 8 صفحات تمهيدية.
والد، روبرت م. النسبية العامة . مطبعة جامعة شيكاغو، شيكاغو، إلينوي، 1984. 13+491 صفحة. ISBN 0-226-87032-40-226-87033-2
رينغستروم، هـ. مسألة كوشي في النسبية العامة . محاضرات الجمعية الأوروبية للرياضيات والفيزياء، الجمعية الرياضية الأوروبية (EMS)، زيورخ، 2009.

[1] يشترط أحد الشروط أنه لكل نقطة $p$ في $M$ ، توجد جوار مفتوح $U$ للنقطة $p،$ ومتتالية $t<sub> k</sub>$ تتزايد إلى $b$ ، ومتتالية $s <sub> k$ </sub> تتناقص إلى $a،$ بحيث $لا تكون c (t<sub> k </sub> )$ و $c (s<sub> k</sub>)$ محتواة في $U$ لأي قيمة لـ $k$ . هذا التعريف منطقي حتى لو $كانت M$ ذات بنية فضاء طوبولوجي فقط .

[2] هاميلتون، أندرو جيه إس؛ أفيلينو، بيدرو بي. (2010)، "فيزياء عدم استقرار التدفق المعاكس النسبي الذي يحرك تضخم الكتلة داخل الثقوب السوداء"، تقارير الفيزياء ، 495 (1): 1-32 ، arXiv : 0811.1926 ، Bibcode : 2010PhR...495....1H ، doi : 10.1016/j.physrep.2010.06.002 ، ISSN 0370-1573 ، S2CID 118546967

[3] بواسون، إريك؛ إسرائيل، فيرنر (1990). "البنية الداخلية للثقوب السوداء" . مجلة Physical Review D. 41 ( 6): 1796–1809 . Bibcode : 1990PhRvD..41.1796P . doi : 10.1103/PhysRevD.41.1796 . PMID 10012548 .

[4] دي فيليبو، فرانشيسكو؛ كاربالو روبيو، راؤول؛ ليبراتي، ستيفانو؛ باسيليو، كوستانتينو؛ مات فيسر (28 مارس 2022). "في عدم الاستقرار في الأفق الداخلي للثقوب السوداء غير المفردة" . الكون . 8 (4): 204. أرخايف : 2203.14516 . بيب كود : 2022Univ....8..204D . دوى : 10.3390/الكون8040204 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗