نظرية كثافة تشيبوتاريف

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الأعداد الجبرية ، تصف نظرية كثافة تشيبوتاريف ، التي سميت على اسم نيكولاي تشيبوتاريف ، إحصائيًا انقسام الأعداد الأولية في امتداد غالوا معين .${\displaystyle K}$في هذا المجال${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية . بشكل عام، يمكن تحليل العدد الصحيح الأولي إلى عدة أعداد أولية مثالية في حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية .${\displaystyle K}$لا يوجد سوى عدد محدود من أنماط الانقسام التي قد تحدث. على الرغم من أن الوصف الكامل لانقسام كل عدد أولي${\displaystyle p}$في امتداد غالوا العام، تُعدّ هذه مشكلة رئيسية لم تُحل بعد، وتنص نظرية كثافة تشيبوتاريف على أن تردد ظهور نمط معين، لجميع الأعداد الأولية${\displaystyle p}$أقل من عدد صحيح كبير${\displaystyle N}$، يميل إلى حد معين عندما${\displaystyle N}$يؤول إلى اللانهاية. وقد أثبت ذلك تشيبوتاريف في أطروحته عام 1922. ^{[ 1 ]}

هناك حالة خاصة يسهل ذكرها تقول إنه إذا${\displaystyle K}$هو حقل أعداد جبري وهو امتداد غالوا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$درجة علمية${\displaystyle n}$ثم الأعداد الأولية التي تنقسم تمامًا إلى${\displaystyle K}$يتميز بالكثافة${\displaystyle 1/n}$من بين جميع الأعداد الأولية. وبشكل أعم، يمكن تحديد سلوك الانقسام عن طريق تعيين ثابت (تقريبًا) لكل عدد أولي، وهو عنصر فروبينيوس الخاص به ، والذي يمثل فئة اقتران محددة جيدًا في زمرة غالوا.${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$في هذه الحالة، تنص النظرية على أن التوزيع التقاربي لهذه الثوابت يكون منتظمًا على المجموعة، بحيث تكون فئة الترافق مع${\displaystyle k}$تحدث العناصر بتردد يقترب من${\displaystyle k/n}$.

عندما قدم كارل فريدريش غاوس مفهوم الأعداد الصحيحة المركبة لأول مرة${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$لاحظ أن الأعداد الأولية العادية قد تُحلل إلى عوامل أخرى في هذه المجموعة الجديدة من الأعداد الصحيحة. وميّز ثلاث حالات: إذا كان عددًا أوليًا${\displaystyle p}$إذا كان العدد متطابقًا مع 1 بتردد 4، فإنه يتحلل إلى حاصل ضرب عددين أوليين مختلفين من أعداد غاوس، أو "ينقسم تمامًا"؛${\displaystyle p}$إذا كان العدد متطابقًا مع 3 بتردد 4، فإنه يبقى عددًا أوليًا، أو يكون "خاملًا"؛ وإذا${\displaystyle p}$إذا كان الناتج 2، فإنه يصبح حاصل ضرب مربع العدد الأولي .${\displaystyle (1+i)}$والعدد الصحيح الغاوسي القابل للعكس${\displaystyle -i}$نقول إن الرقم 2 "يتفرع". على سبيل المثال ،

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)}$ينقسم تماماً؛

${\displaystyle 3}$خامل؛

${\displaystyle 2=-i(1+i)^{2}}$يتفرع.

من هذا الوصف، يبدو أنه كلما نظرنا إلى أعداد أولية أكبر فأكبر، فإن تردد انقسام العدد الأولي يقترب من الصفر.${\displaystyle 50\%}$وكذلك بالنسبة للأعداد الأولية التي تبقى أولية في${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$تُثبت نظرية ديريشليه حول المتتابعات الحسابية أن هذا هو الحال بالفعل. فعلى الرغم من أن الأعداد الأولية نفسها تظهر بشكل غير منتظم إلى حد ما، إلا أن انقسام الأعداد الأولية في الامتداد${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]}$يتبع قانونًا إحصائيًا بسيطًا.

تنطبق قوانين إحصائية مماثلة أيضًا على تقسيم الأعداد الأولية في الامتدادات الدائرية ، المستمدة من حقل الأعداد النسبية عن طريق إضافة جذر أولي للوحدة من رتبة معينة. على سبيل المثال، تتجمع الأعداد الأولية الصحيحة العادية في أربع فئات، لكل منها احتمال${\displaystyle 25\%}$وفقًا لنمط انقسامها في حلقة الأعداد الصحيحة الموافقة للجذور الثامنة للوحدة. في هذه الحالة، يكون امتداد الحقل من الدرجة 4 وهو حقل تبديلي ، مع زمرة غالوا المتماثلة مع زمرة كلاين الرباعية . وقد تبين أن زمرة غالوا للامتداد تلعب دورًا محوريًا في نمط انقسام الأعداد الأولية. وضع جورج فروبينيوس الإطار النظري لدراسة هذا النمط وأثبت حالة خاصة من النظرية. وقد أثبت نيكولاي غريغوريفيتش تشيبوتاريوف الصيغة العامة في عام 1922.

يمكن اعتبار نظرية كثافة تشيبوتاريف تعميمًا لنظرية ديريشليه حول المتتابعات الحسابية . وتنص الصيغة الكمية لنظرية ديريشليه على أنه إذا${\displaystyle n\geq 2}$هو عدد صحيح و${\displaystyle a}$هو عدد أولي فيما بينه و${\displaystyle n}$ثم نسبة الأعداد الأولية${\displaystyle p}$متطابق مع${\displaystyle a}$مود${\displaystyle n}$هو مقارب لـ${\displaystyle 1/\phi (n)}$، أين${\displaystyle \phi }$هي دالة أويلر .

هذه حالة خاصة من نظرية كثافة تشيبوتاريف لـ${\displaystyle n}$المجال الدائري رقم -th${\displaystyle K}$في الواقع، مجموعة غالوا من${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$هي أبيلية ويمكن تحديدها بشكل قانوني مع مجموعة فئات البقايا القابلة للعكس mod${\displaystyle n}$الثابت الانقسامي لعدد أولي${\displaystyle p}$عدم التقسيم${\displaystyle n}$هي ببساطة فئة البقايا الخاصة بها لأن عدد الأعداد الأولية المختلفة التي يمكن تقسيمها إليها${\displaystyle p}$الانقسامات هي${\displaystyle \phi (n)/m}$، أين${\displaystyle m}$هو الترتيب الضربي لـ${\displaystyle p}$modulo${\displaystyle n}$وبالتالي ، وفقًا لنظرية كثافة تشيبوتاريف، تتوزع الأعداد الأولية بشكل موحد تقريبًا بين فئات البواقي المختلفة التي تكون أولية فيما بينها.${\displaystyle n}$.

في مقالهم الاستقصائي، يقدم لينسترا وستيفنهاجن (1996) نتيجة سابقة لفروبينيوس في هذا المجال: ليكن${\displaystyle P(t)}$ليكن متعدد حدود أحادي المعامل و${\displaystyle K}$هو حقل تقسيم لـ${\displaystyle P(t)}$؛ ثم${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$هو امتداد غالوا . من المنطقي تحليله إلى عوامل.${\displaystyle P(t)}$باقي قسمة عدد أولي${\displaystyle p}$. نوع "الانقسام" الخاص به هو قائمة درجات العوامل غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle P(t)}$مود${\displaystyle p}$؛ أي${\displaystyle P(t)}$يحلل بطريقة ما على حقل الأعداد الأولية${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. لو${\displaystyle n}$هي درجة${\displaystyle P(t)}$إذاً، يكون نوع التقسيم هو التقسيم${\displaystyle \Pi }$ل${\displaystyle n}$الآن كل${\displaystyle g}$في${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$هو تبديل لجذور${\displaystyle P(t)}$في${\displaystyle K}$بمعنى آخر، باختيار ترتيب الجذر ومرافقاته الجبرية ،${\displaystyle G}$يتم تمثيلها بأمانة كمجموعة فرعية من المجموعة المتناظرة${\displaystyle S_{n}}$يمكننا أن نكتب${\displaystyle g}$عن طريق تمثيلها الدوري ، والذي يعطي "نوع الدورة".${\displaystyle c(g)}$، مرة أخرى تقسيم${\displaystyle n}$.

تنص نظرية فروبينيوس على أنه لأي اختيار معين لـ${\displaystyle \Pi }$الأعداد الأولية${\displaystyle p}$نوع التقسيم الخاص به${\displaystyle P(t)}$مود${\displaystyle p}$يكون${\displaystyle \Pi }$تتمتع بكثافة طبيعية${\displaystyle \delta }$، مع${\displaystyle \delta }$يساوي نسبة${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$التي لها نوع الدورة${\displaystyle \Pi }$.

يُصاغ نص نظرية كثافة تشيبوتاريف الأكثر عمومية بدلالة عنصر فروبينيوس لعدد أولي (مثالي)، وهو في الواقع فئة اقتران مرتبطة.${\displaystyle C}$من عناصر مجموعة غالوا${\displaystyle G}$إذا قمنا بإصلاح${\displaystyle C}$ثم تنص النظرية على أنه، تقاربياً، نسبة${\displaystyle |C|/|G|}$ترتبط الأعداد الأولية بعنصر فروبينيوس كـ${\displaystyle C}$. متى${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة تبديلية، فإن كل فئة لها حجم 1. أما في حالة المجموعة غير التبديلية من الرتبة 6، فإن حجمها يكون 1 و2 و3، ويكون هناك على التوالي (على سبيل المثال)${\displaystyle 50\%}$من الأعداد الأولية${\displaystyle p}$التي لها عنصر من الرتبة 2 كعنصر فروبينيوس. وبالتالي، فإن هذه الأعداد الأولية لها درجة باقي 2، ولذلك تنقسم إلى ثلاثة مثاليات أولية بالضبط في امتداد من الدرجة 6 لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$^{[ 2 ]} مع اعتبارها مجموعة غالوا.

يترك${\displaystyle L}$ليكن امتداد غالوا منتهياً لحقل عددي${\displaystyle K}$مع مجموعة غالوا${\displaystyle G}$. يترك${\displaystyle X}$أن تكون مجموعة جزئية من${\displaystyle G}$أي مجموعة الأعداد الأولية التي تكون مستقرة تحت الاقتران.${\displaystyle v}$ل${\displaystyle K}$التي لا تتفرع في${\displaystyle L}$وفئة اقتران فروبينيوس المرتبطة بها${\displaystyle F_{v}}$موجود في${\displaystyle X}$كثافة عالية${\displaystyle \#X/\#G}$[ ^{3 ]} يكون البيان صحيحًا عندما تشير الكثافة إما إلى الكثافة الطبيعية أو الكثافة التحليلية لمجموعة الأعداد الأولية ^{. [ 4 ]}

تُختزل نظرية كثافة تشيبوتاريف مشكلة تصنيف امتدادات غالوا لحقل عددي إلى مشكلة وصف انقسام الأعداد الأولية في الامتدادات. وعلى وجه التحديد، فإنها تعني أن امتداد غالوا${\displaystyle L/K}$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال مجموعة الأعداد الأولية لـ${\displaystyle K}$التي انقسمت فيه تمامًا. ^{[ 7 ]} ومن النتائج المترتبة على ذلك أنه إذا كانت جميع المُثُل الأولية تقريبًا${\displaystyle K}$انقسمت تماماً${\displaystyle L}$إذن في الواقع${\displaystyle L=K}$[ ^{8 ]​}

• انقسام المُثُل الأولية في امتدادات غالوا
• تخمين غروتينديك-كاتز حول انحناء p

• لينسترا، إتش دبليو؛ ستيفنهاجن، بي. (1996)، "شيبوتاريف ونظريته في الكثافة" (ملف PDF) ، مجلة الرياضيات الذكية ، 18 (2): 26-37 ، CiteSeerX 10.1.1.116.9409 ، doi : 10.1007/BF03027290 ، MR 1395088  

• نيوكيرتش، يورغن (1999). جبرية زهلينثيوري . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  322. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-65399-8. السيد 1697859 . زبل 0956.11021 .  
• سير، جان بيير (1998) [1968]، التمثيلات الأبيلية l-adic والمنحنيات الإهليلجية (طبعة منقحة من  الطبعة الأصلية لعام 1968)، ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز المحدودة، ISBN 1-56881-077-6MR 1484415​ 
• Tschebotareff، N. (1926)، “Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen، welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören”، Mathematische Annalen ، 95 (1): 191–228 ، دوى : 10.1007 / BF01206606