عقدة كيرالية

الموسوعة الحرة

في المجال الرياضي لنظرية العقد ، العقدة الكيرالية هي عقدة لا تعادل صورتها المرآتية (عندما تكون متطابقة عند عكسها). العقدة الموجهة التي تعادل صورتها المرآتية هي عقدة أمفاشيرية ، وتسمى أيضًا عقدة أكيرالية . كيرالية العقدة هي عقدة ثابتة . يمكن تصنيف كيرالية العقدة بشكل أكبر اعتمادًا على ما إذا كانت قابلة للعكس أم لا .

هناك خمسة أنواع فقط من تماثل العقد، والتي يتم الإشارة إليها من خلال الكيرالية وقابلية الانعكاس: كايرالية كاملة، وقابلة للانعكاس، وأمفيشيرية موجبة غير قابلة للانعكاس، وأمفيشيرية سالبة غير قابلة للانعكاس، وأمفيشيرية كاملة قابلة للانعكاس. [1]

خلفية

كان هناك شك في إمكانية كيرالية عقد معينة منذ عام 1847 عندما أكد يوهان ليستينج أن البرسيم كان كيراليًا، [2] وقد أثبت ماكس ديهن ذلك في عام 1914. وجد بي جي تيت جميع العقد الأمفيرالية حتى 10 تقاطعات وتوقع أن جميع العقد الأمفيرالية لها رقم تقاطع زوجي . وجدت ماري جيرترود هاسمان جميع العقد الأمفيرالية ذات الـ 12 تقاطعًا والعديد من العقد الأمفيرالية ذات الـ 14 تقاطعًا في أواخر العقد الأول من القرن العشرين. [3] [4] ولكن تم العثور على مثال مضاد لتخمين تيت، عقدة أمفيرالية ذات 15 تقاطعًا، بواسطة جيم هوست وموروين ثيسلثويت وجيف ويكس في عام 1998. [5] ومع ذلك، ثبت أن تخمين تيت صحيح للعقد الأولية المتناوبة . [ 6]

عدد عقد كل نوع من أنواع الكيرالية لكل رقم عبور
عدد المعابر 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 تسلسل OEIS
عقد كيرالية 1 0 2 2 7 16 49 152 552 2118 9988 46698 253292 1387166 غير متاح
عقدة قابلة للعكس 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 26712 78717 أ051769
عقد كيرالية بالكامل 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 226580 1308449 أ051766
عقدة برمائية 0 1 0 1 0 5 0 13 0 58 0 274 1 1539 أ052401
عقدة أمفاشيرية موجبة غير قابلة للانعكاس 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 65 أ051767
عقدة غير قابلة للانعكاس أمفاشيرية سلبية 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 1 1361 أ051768
عقدة برمائية كاملة 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41 0 113 أ052400

أبسط عقدة كيرالية هي عقدة البرسيم ، والتي أثبت ماكس ديهن أنها كيرالية . جميع عقد الطارة غير التافهة كيرالية. لا يمكن لمتعددة حدود ألكسندر التمييز بين العقدة وصورتها المرآة، ولكن يمكن لمتعددة حدود جونز في بعض الحالات؛ إذا كانت V k ( q ) ≠  V k ( q −1 )، فإن العقدة كيرالية، إلا أن العكس ليس صحيحًا. تعد متعددة حدود HOMFLY أفضل في الكشف عن الكيرالية، ولكن لا يوجد ثابت عقدة حدودية معروف يمكنه الكشف عن الكيرالية تمامًا. [7]

عقدة قابلة للعكس

تُصنف العقدة الكيرالية التي يمكن أن تتشوه بسلاسة إلى نفسها بالاتجاه المعاكس على أنها عقدة قابلة للعكس . [8] تشمل الأمثلة عقدة البرسيم.

عقدة كيرالية بالكامل

إذا لم تكن العقدة معادلة لعكسها أو صورتها المرآة، فهي عقدة كايرالية بالكامل، على سبيل المثال عقدة 9 32. [8]

عقدة أمفاشيرية

عقدة الرقم ثمانية هي أبسط عقدة برمائية.

العقدة الأمفاشيرية هي العقدة التي لها اتجاه - عكسي ذاتي - تماثلي للكرة الثلاثية ، α، مما يثبت مجموعة العقدة. جميع العقد الأمفاشيرية المتناوبة لها عدد تقاطع زوجي . أول عقدة أمفاشيرية بعدد تقاطع فردي هي عقدة ذات 15 تقاطع اكتشفها Hoste et al. [6]

أمفيشيرال بالكامل

إذا كانت العقدة نظيرية لكل من عكسها وصورتها المرآوية، فهي عقدة أمفاشيرية بالكامل. أبسط عقدة تتمتع بهذه الخاصية هي عقدة الرقم ثمانية .

أمفيشيرال إيجابي

إذا حافظت التماثلية الذاتية، α، على اتجاه العقدة، فيقال إنها موجبة أمفاشيرية. وهذا يعادل أن تكون العقدة نظيرية لمرآتها. لا توجد عقد ذات رقم تقاطع أقل من اثني عشر موجبة أمفاشيرية وغير قابلة للعكس. [8]

أمفيشيرال سلبي

العقدة البرمائية السلبية الأولى.

إذا عكست التماثلية الذاتية، α، اتجاه العقدة، فيقال إنها سالبة أمفاشيرية. وهذا يعادل أن تكون العقدة نظيرية لعكس صورتها المرآتية. العقدة غير القابلة للعكس التي تتمتع بهذه الخاصية والتي لديها أقل عدد من التقاطع هي العقدة 8 17. [8 ]

مراجع

  1. ^ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998), "The first 1,701,936 knots" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi :10.1007/BF03025227, MR  1646740, S2CID  18027155, تم أرشفته من الأصل (PDF) في 2013-12-15.
  2. ^ Przytycki, Józef H. (1998). "الجذور الكلاسيكية لنظرية العقد". الفوضى، الانعزالية والكسيرية . 9 (4/5): 531–45. Bibcode :1998CSF.....9..531P. doi :10.1016/S0960-0779(97)00107-0.
  3. ^ هاسمان، ماري جيرترود (1918). "XI.—On Knots, with a Census of the Amphicheirals with Twelve Crossings". ترجمة. الجمعية الملكية البريطانية. إدنبرة . 52 (1): 235–55. doi :10.1017/S0080456800012102. S2CID  123957148.
  4. ^ هاسمان، ماري جيرترود (1920). "XXIII.—Amphicheiral Knots". ترانس. R. Soc. Edinb . 52 (3): 597–602. doi :10.1017/S0080456800004476. S2CID  124014620.
  5. ^ Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998). "The First 1,701,936 Knots". Math. Intell . 20 (4): 33–48. doi :10.1007/BF03025227. S2CID  18027155.
  6. ^ ab Weisstein، Eric W. “العقدة البرمائية”. عالم الرياضيات .تاريخ الولوج: 5 مايو 2013.
  7. ^ Ramadevi, P.; Govindarajan, TR; Kaul, RK (1994). "كيرالية العقد 9 42 و10 71 ونظرية تشيرن-سيمونز"". Mod. Phys. Lett. A. 9 ( 34): 3205–18. arXiv : hep-th/9401095 . Bibcode :1994MPLA....9.3205R. doi :10.1142/S0217732394003026. S2CID  119143024.
  8. ^ abcd "الثوابت ثلاثية الأبعاد"، أطلس العقد .
تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=العقدة_الكيرالية&oldid=1233712804"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate