التوزيع الدائري

يُعدّ توزيع فون ميزس توزيعًا دائريًا، وكأي توزيع دائري آخر، يُمكن اعتباره التفافًا لتوزيع احتمالي خطي مُحدد حول الدائرة. يُعدّ التوزيع الاحتمالي الخطي الأساسي لتوزيع فون ميزس معقدًا رياضيًا؛ ومع ذلك، ولأغراض إحصائية، لا حاجة للتعامل مع هذا التوزيع الخطي الأساسي. تكمن فائدة توزيع فون ميزس في جانبين: فهو أسهل التوزيعات الدائرية من الناحية الرياضية، مما يُتيح تحليلًا إحصائيًا أبسط، كما أنه يُقارب التوزيع الطبيعي المُلتف ، الذي يُعدّ مهمًا، على غرار التوزيع الطبيعي الخطي، لأنه يُمثل الحالة الحدية لمجموع عدد كبير من الانحرافات الزاوية الصغيرة. في الواقع، يُعرف توزيع فون ميزس غالبًا باسم التوزيع "الطبيعي الدائري" نظرًا لسهولة استخدامه وعلاقته الوثيقة بالتوزيع الطبيعي المُلتف. ^{[ 3 ]}

دالة توزيع فون ميزس بصيغة PDF هي:$${\displaystyle f(\theta$$ ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}} حيث${\displaystyle I_{0}}$هي دالة بيسل المعدلة من الرتبة 0.

دالة كثافة الاحتمال (pdf) للتوزيع الدائري المنتظم معطاة بالصيغة التالية: $${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$$

ويمكن اعتباره أيضًا${\displaystyle \kappa =0}$من فون ميزس المذكور أعلاه.

دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي الملتف (WN) هي: $${\displaystyle WN(\theta$$ ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)} حيث μ و σ هما المتوسط ​​والانحراف المعياري للتوزيع غير الملفوف، على التوالي. ${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$دالة جاكوبي ثيتا هي : $${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty}^{\infty}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}$$أين${\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}$و${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع كوشي المغلف (WC) هي: $${\displaystyle WC(\theta$$ ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}} حيث${\displaystyle \gamma }$هو عامل المقياس و${\displaystyle \theta _{0}}$هو موضع الذروة.

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع ليفي المغلف (WL) هي: $${\displaystyle f_{WL}(\theta$$ ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}} حيث تعتبر قيمة الجمع صفرًا عندما${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$،${\displaystyle c}$هو عامل المقياس و${\displaystyle \mu }$هو مُعامل الموقع.

التوزيع الطبيعي المُسقط هو توزيع دائري يُمثل اتجاه متغير عشوائي ذي توزيع طبيعي متعدد المتغيرات، ويتم الحصول عليه من خلال الإسقاط الشعاعي للمتغير على كرة الوحدة (n-1). ولهذا السبب، وعلى عكس التوزيعات الدائرية الأخرى الشائعة الاستخدام، فهو ليس متناظرًا ولا أحادي المنوال .