كثافة الاحتمال الكلاسيكية

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

دالة الكثافة الاحتمالية الكلاسيكية هي دالة الكثافة الاحتمالية التي تمثل احتمالية وجود جسيم في جوار موقع معين يخضع لطاقة كامنة في نظام ميكانيكي كلاسيكي . تُساعد هذه الدوال في فهم مبدأ التوافق وإقامة روابط بين النظام الكمومي قيد الدراسة والحد الكلاسيكي . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

الخلفية الرياضية

لنفترض مثالًا لمذبذب توافقي بسيط ساكن في البداية بسعة A. لنفترض أن هذا النظام وُضع داخل حاوية معتمة بحيث لا يمكن رؤيته إلا باستخدام كاميرا قادرة على التقاط صورة لما يحدث في الداخل. لكل صورة احتمال معين لرؤية المذبذب في أي موضع x على طول مساره. تُجسد دالة كثافة الاحتمال الكلاسيكية المواضع الأكثر احتمالًا، والمواضع الأقل احتمالًا، ومتوسط ​​موضع النظام، وما إلى ذلك. لاستنتاج هذه الدالة، ضع في اعتبارك أن المواضع التي يُرجح وجود المذبذب فيها هي تلك المواضع التي يقضي فيها معظم وقته. في الواقع، يتناسب احتمال التواجد عند قيمة x معينة طرديًا مع الوقت الذي يقضيه المذبذب بالقرب من تلك القيمة . إذا قضى المذبذب فترة زمنية متناهية الصغر dt بالقرب من قيمة x معينة dx ، فإن احتمال التواجد في ذلك الجوار P ( x ) dx سيكون

P(x)دx∝دت.{\displaystyle P(x)\,dx\propto dt.}

بما أن القوة المؤثرة على المذبذب قوة محافظة ، والحركة تحدث على نطاق محدود، فإن الحركة ستكون دورية بفترة زمنية معينة يُرمز لها بـ T. وبما أن احتمالية وجود المذبذب في أي موضع ممكن بين أدنى قيمة ممكنة لـ x وأعلى قيمة ممكنة لـ x يجب أن تساوي 1، فإن عملية التوحيد

∫xمأنانxمأxP(x)دx=1=شمال∫تأناتودت{\displaystyle \int _{x_{\rm {min}}}^{x_{\rm {max}}}P(x)\,dx=1=N\int _{t_{i}}^{t_{f}}dt}

يُستخدم هذا، حيث N هو ثابت التوحيد. بما أن الكتلة المتذبذبة تغطي هذا النطاق من المواضع في نصف دورتها (تنتقل الدورة الكاملة من − A إلى + A ثم تعود إلى − A ) ، فإن التكامل على t يساوي T /2 ، مما يجعل N يساوي 2/ T.

باستخدام قاعدة السلسلة ، يمكن التعبير عن dt بدلالة الارتفاع الذي تبقى عنده الكتلة، وذلك بملاحظة أن dt = dx / ( dx / dt ) ، وبالتالي تصبح دالة كثافة الاحتمال لدينا

P(x)دx=2تيدxدx/دت=2تيدxv(x)،{\displaystyle P(x)\,dx={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{dx/dt}}={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{v(x)}},}

حيث v ( x ) هي سرعة المذبذب كدالة لموضعه. (لاحظ أنه نظرًا لأن السرعة كمية قياسية، فإن v ( x ) تكون متساوية لكلا نصفي الدورة). عند هذه النقطة، كل ما هو مطلوب هو إيجاد دالة v ( x ) للحصول على P ( x ) . بالنسبة للأنظمة الخاضعة لقوى محافظة، يتم ذلك بربط السرعة بالطاقة. بما أن الطاقة الحركية K تساوي ½ mv² والطاقة الكلية E = K + U ، حيث U ( x ) هي طاقة الوضع للنظام، يمكن كتابة السرعة على النحو التالي :

v(x)=2كم=2م[هـ-يو(x)].{\displaystyle v(x)={\sqrt {\frac {2K}{m}}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}[EU(x)]}}.}

بإدخال هذا في تعبيرنا عن P ( x ) نحصل على

P(x)=1تي2مهـ-يو(x).{\displaystyle P(x)={\frac {1}{T}}{\sqrt {\frac {2m}{EU(x)}}}.}

على الرغم من أن مثالنا الأولي كان المذبذب التوافقي، إلا أن جميع المعادلات الرياضية حتى هذه النقطة كانت عامة تمامًا لجسيم يخضع لقوة محافظة. يمكن تعميم هذه الصيغة لأي نظام فيزيائي أحادي البعد عن طريق إدخال دالة طاقة الوضع المناسبة. بمجرد القيام بذلك، يمكن الحصول بسهولة على P ( x ) لأي طاقة مسموح بها E.

أمثلة

مذبذب توافقي بسيط

دالة كثافة الاحتمال للحالة n = 30 للمذبذب التوافقي الكمومي. يمثل الخط المتصل كثافة الاحتمال الكمومي، بينما يمثل الخط المنقط كثافة الاحتمال الكلاسيكي. تشير الخطوط الرأسية المتقطعة إلى نقاط التحول الكلاسيكية للنظام.

انطلاقًا من المثال المستخدم في الاشتقاق أعلاه، فإن المذبذب التوافقي البسيط له دالة طاقة كامنة

يو(x)=12كx2=12مω2x2،{\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},}

حيث k هو ثابت الزنبرك للمذبذب، و ω = 2π / T هو التردد الزاوي الطبيعي للمذبذب. تُعطى الطاقة الكلية للمذبذب بحساب U ( x ) عند نقاط الانعطاف x = ± A . بتعويض هذه القيمة في معادلة P ( x )، نحصل على

P(x)=1π1أ2-x2.{\displaystyle P(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}.}

تحتوي هذه الدالة على خطين تقاربيين رأسيين عند نقاط الانعطاف، وهو أمر منطقي فيزيائيًا لأن نقاط الانعطاف هي حيث يكون المذبذب في حالة سكون، وبالتالي من المرجح أن توجد بالقرب من قيم x تلك . لاحظ أنه على الرغم من أن دالة كثافة الاحتمال تقترب من اللانهاية، فإن الاحتمال يظل محدودًا نظرًا لأن المساحة تحت المنحنى، وليس المنحنى نفسه، هي التي تمثل الاحتمال.

كرة نطاطة

دوال كثافة الاحتمال للكرة الكمومية (باللون الأحمر) والكلاسيكية (باللون الأسود) المرتدة عند n = 50. نقطة التحول هنا تحمل علامة z n (ما يشير إليه هذا القسم باسم h ).

بالنسبة للكرة المرتدة عديمة الفقد ، فإن طاقة الوضع والطاقة الكلية هما

يو(z)=مزz،{\displaystyle U(z)=mgz,}
هـ=مزح،{\displaystyle E=mgh,}

حيث h هو أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة. وبتعويض هذه القيم في P ( z )، نحصل على

P(z)=12ح1ح-z،{\displaystyle P(z)={\frac {1}{2{\sqrt {h}}}}{\frac {1}{\sqrt {hz}}},}

حيث العلاقةتي=8ح/ز{\displaystyle T={\sqrt {8h/g}}}استُخدمت هذه الطريقة لتبسيط العوامل الظاهرة. مجال هذه الدالة هوz∈[0،ح]{\displaystyle z\in [0,h]}(لا تسقط الكرة عبر الأرضية عند z = 0 )، لذا فإن التوزيع ليس متناظرًا كما هو الحال في المذبذب التوافقي البسيط. ومرة ​​أخرى، يوجد خط تقارب رأسي عند نقطة الانعطاف z = h .

توزيع فضاء الزخم

إضافةً إلى دراسة توزيعات الاحتمالات في فضاء الموضع ، من المفيد أيضاً توصيف النظام بناءً على زخمه. وباتباع حجة مماثلة لما سبق، تكون النتيجة [ 2 ]

P(ص)=2تي1|F(x)|،{\displaystyle P(p)={\frac {2}{T}}{\frac {1}{|F(x)|}},}

حيث F ( x ) = −dU / dx هي القوة المؤثرة على الجسيم كدالة للموضع. عمليًا، يجب التعبير عن هذه الدالة بدلالة الزخم p عن طريق تغيير المتغيرات.

مذبذب توافقي بسيط

بالنظر إلى مثال المذبذب التوافقي البسيط المذكور أعلاه، يمكن كتابة طاقة الوضع والقوة على النحو التالي:

يو(x)=12كx2،{\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},}
|F(x)|=|-كx|=2كيو(x)=كم(2مهـ-ص2).{\displaystyle |F(x)|=|-kx|={\sqrt {2kU(x)}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2mE-p^{2})}}.}

بتحديد (2 mE ) 1/2 = p 0 باعتباره أقصى زخم للنظام، يتبسط هذا إلى

P(ص)=1π1ص02-ص2.{\displaystyle P(p)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {p_{0}^{2}-p^{2}}}}.}

لاحظ أن هذا له نفس الشكل الوظيفي لتوزيع الاحتمالية في فضاء الموضع. وهذا خاص بمسألة المذبذب التوافقي البسيط، وينشأ بسبب التناظر بين x و p في معادلات الحركة.

كرة نطاطة

أما مثال الكرة المرتدة فهو أكثر وضوحاً، لأن القوة في هذه الحالة ثابتة.

F(x)=مز،{\displaystyle F(x)=mg,}

مما ينتج عنه دالة كثافة الاحتمال

P(ص)=1م8زح=12ص0 ل |ص|<ص0،{\displaystyle P(p)={\frac {1}{m{\sqrt {8gh}}}}={\frac {1}{2p_{0}}}{\text{ لـ }}|p|<p_{0},}

حيث p₀ = m ( 2gh ) ¹ / ² هي أقصى زخم للكرة. في هذا النظام، جميع الزخمات متساوية الاحتمال.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غريفيث، ديفيد ج .؛ شروتر، داريل ف. (2018). مقدمة في ميكانيكا الكم ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 12-13 ، 20، 53. ISBN   978-0-13-191175-8.
  2. روبينيت ، ر . و. (1995). "التوزيعات الاحتمالية الكمومية والكلاسيكية للموقع والزخم" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 63 (9): 823-832 . Bibcode : 1995AmJPh..63..823R . doi : 10.1119/1.17807 .
  3. ↑ ليبوف، ريتشارد ل. (1980). مدخل إلى ميكانيكا الكم . شركة أديسون-ويسلي للنشر، ص 91، 194. ISBN  0-201-12221-9.