رسم بياني ريب

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة
رسم بياني لدالة الارتفاع على السطح الحلقي (التورس).

مخطط ريب [ 1 ] (نسبةً إلى جورج ريب من قِبل رينيه ثوم ) هو كائن رياضي يعكس تطور مجموعات المستوى لدالة حقيقية القيمة على مشعب . [ 2 ] وقد قدّم جي إم أديلسون-فيلسكي وإيه إس كرونرود مفهومًا مشابهًا وطُبّق على تحليل المسألة الثالثة عشرة لهيلبرت . [ 3 ] [ 4 ] اقترح جورج ريب استخدام مخططات ريب كأداة في نظرية مورس ، [ 5 ] وهي الأداة الأمثل لدراسة العلاقات الوظيفية متعددة القيم بين الحقول العددية ثنائية الأبعاد.ψ{\displaystyle \psi }،λ{\displaystyle \lambda }، وϕ{\displaystyle \phi }ناشئة عن الظروف ∇ψ=λ∇ϕ{\displaystyle \nabla \psi =\lambda \nabla \phi }وλ≠0{\displaystyle \lambda \neq 0}لأن هذه العلاقات تكون أحادية القيمة عند حصرها في منطقة مرتبطة بحافة فردية من مخطط ريب. وقد استُخدم هذا المبدأ العام لأول مرة لدراسة الأسطح المحايدة في علم المحيطات . [ 6 ]

وجدت رسوم ريب تطبيقات متنوعة في الهندسة الحسابية ورسومات الحاسوب ، [ 1 ] [ 7 ] بما في ذلك التصميم الهندسي بمساعدة الحاسوب ، ومطابقة الأشكال القائمة على الطوبولوجيا ، [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] وتحليل البيانات الطوبولوجية ، [ 11 ] والتبسيط والتنظيف الطوبولوجي، وتجزئة الأسطح، [ 12 ] وتحديد معلماتها، والحساب الفعال لمجموعات المستويات، وعلم الأعصاب ، [ 13 ] والديناميكا الحرارية الهندسية . [ 3 ] في حالة خاصة لدالة على فضاء مسطح (مجال متصل ببساطة من الناحية الفنية)، يشكل رسم ريب شجرة متعددة ويُسمى أيضًا شجرة محيطية . [ 14 ]

تساعد رسوم بيانية مجموعة المستويات في الاستدلال الإحصائي المتعلق بتقدير دوال كثافة الاحتمال ودوال الانحدار ، ويمكن استخدامها في تحليل التجميع وتحسين الدوال ، من بين أمور أخرى. [ 15 ]

التعريف الرسمي

بفرض وجود فضاء طوبولوجي X ودالة متصلة f : X → R ، نُعرّف علاقة تكافؤ ~ على X حيث p ~ q عندما ينتمي p و q إلى نفس المكون المتصل لمجموعة مستوى واحدة f − 1 ( c ) لبعض الأعداد الحقيقية c . مخطط ريب هو فضاء القسمة X /~ مزود بطوبولوجيا القسمة .    

عموماً، لا يمتلك فضاء القسمة هذا بنية الرسم البياني المحدود. حتى بالنسبة لدالة ملساء على مشعب أملس، يمكن أن يكون رسم ريب البياني غير أحادي البعد، بل وحتى غير هاوسدورف . [ 16 ]

في الواقع، يُعدّ تماسك المتشعب أمرًا بالغ الأهمية: فمخطط ريب لدالة ملساء على متشعب مغلق هو متصل بيانو أحادي البعد، وهو مكافئ تماثليًا لمخطط منتهٍ. [ 16 ] وعلى وجه الخصوص، فإن مخطط ريب لدالة ملساء على متشعب مغلق ذي عدد منتهٍ من القيم الحرجة - وهو ما ينطبق على دوال مورس ، ودوال مورس-بوت، أو الدوال ذات النقاط الحرجة المعزولة - له بنية مخطط منتهٍ. [ 17 ]

بنية مخطط ريب المحدد بواسطة دالة سلسة

يتركو:م→R{\displaystyle f:M\to {\mathbb {R} }}لتكن دالة سلسة على مشعب مغلقم{\displaystyle M}بنية مخطط ريبRو{\displaystyle R_{f}}يعتمد ذلك على المشعبم{\displaystyle M}وعلى فئة الدالةو{\displaystyle f}.

أول رقم بيتي في الرسم البياني لريب

بما أن الرسم البياني لـ Reeb هو رسم بياني لدالة سلسة على مشعب مغلقRو{\displaystyle R_{f}}بما أنه أحادي البعد، [ 16 ] فإننا نأخذ في الاعتبار فقط عدد بيتي الأول الخاص بهب1(Rو){\displaystyle b_{1}(R_{f})}؛ لوRو{\displaystyle R_{f}}إذا كان له بنية رسم بياني محدود، فـب1(Rو){\displaystyle b_{1}(R_{f})}يمثل رتبة الدورة لهذا الرسم البياني. يوجد حد أعلى [ 18 ] [ 16 ]

ب1(Rو)≤جoرأنك(π1(م)){\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq corank(\pi _{1}(M))}،

أينجoرأنك(π1(م)){\displaystyle corank(\pi _{1}(M))}هي الرتبة المشتركة للمجموعة الأساسية للمتشعب. إذاخافت⁡م≥3{\displaystyle \dim M\geq 3}، هذا الحد ضيق حتى في فئة دوال مورس البسيطة . [ 19 ]

لوخافت⁡م=2{\displaystyle \dim M=2}وبالنسبة للدوال السلسة ، يكون هذا الحد ضيقًا أيضًا، وذلك من حيث الجنسز{\displaystyle g}من السطحم2{\displaystyle M^{2}}يمكن إعادة كتابة الحد على النحو التالي ب1(Rو)≤{ز،لو م2 قابل للتوجيه ز/2،لو م2 غير قابل للتوجيه .{\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g,&{\text{إذا كانت }}M^{2}{\text{ قابلة للتوجيه}}\\g/2,&{\text{إذا كانت }}M^{2}{\text{ غير قابلة للتوجيه}}.\end{cases}}}

لوخافت⁡م=2{\displaystyle \dim M=2}بالنسبة لدوال مورس ، يوجد حد أفضل لرتبة الدورة. بما أن الرسم البياني لريب لدوال مورسRو{\displaystyle R_{f}}إذا كان الرسم البياني محدودًا، [ 17 ] فإننا نرمز إليه بـشمال2{\displaystyle N_{2}}عدد الرؤوس ذات الدرجة 2 فيRو{\displaystyle R_{f}}ثم [ 20 ]ب1(Rو)≤{ز-شمال2،لو م2 قابل للتوجيه (ز-شمال2)/2،لو م2 غير قابل للتوجيه .{\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g-N_{2},&{\text{إذا كانت }}M^{2}{\text{ قابلة للتوجيه}}\\(g-N_{2})/2,&{\text{إذا كانت }}M^{2}{\text{ غير قابلة للتوجيه}}.\end{cases}}}

كتل الأوراق في الرسم البياني لريب

لوو:م→R{\displaystyle f:M\to R}إذا كانت دالة مورس أو مورس-بوت على مشعب مغلق ، فإن رسم ريب الخاص بهاRو{\displaystyle R_{f}}له بنية رسم بياني محدود. [ 17 ] يتميز هذا الرسم البياني المحدود ببنية محددة، وهي

وصف وظائف مورس

لوو{\displaystyle f}إذا كانت دالة مورس ذات قيم حرجة مميزة ، فيمكن وصف مخطط ريب بشكل أكثر وضوحًا. تتوافق عقده، أو رؤوسه، مع مجموعات المستوى الحرج.و-1(ج){\displaystyle f^{-1}(c)}يعكس النمط الذي تلتقي فيه الأقواس، أو الحواف، عند العقد/الرؤوس التغير في طوبولوجيا مجموعة المستوىو-1(ت){\displaystyle f^{-1}(t)}مثلت{\displaystyle t}يمر عبر القيمة الحرجةج{\displaystyle c}على سبيل المثال، إذاج{\displaystyle c}هو الحد الأدنى أو الحد الأقصى لـو{\displaystyle f}يتم إنشاء عنصر أو تدميره؛ وبالتالي، ينشأ قوس أو ينتهي عند العقدة المقابلة، والتي لها درجة 1. إذاج{\displaystyle c}هي نقطة سرجية ذات مؤشر 1 ومكونين منو-1(ت){\displaystyle f^{-1}(t)}الدمج عندت=ج{\displaystyle t=c}مثلت{\displaystyle t}كلما زاد عدد الرؤوس، يصبح للرأس المقابل في مخطط ريب درجة 3 ويشبه الحرف "Y". وينطبق المنطق نفسه إذا كان مؤشرج{\displaystyle c}يكوندأنامX-1{\displaystyle dimX-1}ومكون منو-1(ج){\displaystyle f^{-1}(c)}ينقسم إلى قسمين.

مراجع

  1. 1 2 ي. شيناغاوا، تي إل كوني، و واي إل كيرغوسين، 1991. ترميز السطح القائم على نظرية مورس. مجلة IEEE لرسومات الحاسوب وتطبيقاتها، 11(5)، ص 66-78
  2. ↑ هاريش دورايسوامي، فيجاي ناتاراجان، خوارزميات فعالة لحساب رسوم ريب البيانية ، الهندسة الحسابية 42 (2009) 606-616
  3. 1 2 غوربان، ألكسندر ن. (2013). "الشجرة الديناميكية الحرارية: فضاء المسارات المسموح بها". مجلة SIAM للأنظمة الديناميكية التطبيقية . 12 (1): 246-278 . arXiv : 1201.6315 . doi : 10.1137/120866919 . S2CID 5706376 . 
  4. ↑ GM Adelson-Velskii, AS Kronrod, حول مجموعات المستوى للدوال المتصلة ذات المشتقات الجزئية، Dokl. Akad. Nauk SSSR، 49 (4) (1945)، ص 239-241.
  5. ↑ جي ريب، Sur les Points Singles d'uneforme de Pfaff complètement intégrable أو d'une fonction numérique، CR Acad. الخيال العلمي. باريس 222 (1946) 847-849
  6. ↑ ستانلي، جيفري ج. (يونيو 2019). "طوبولوجيا السطح المحايدة". نمذجة المحيطات . 138 : 88-106 . arXiv : 1903.10091 . Bibcode : 2019OcMod.138...88S . doi : 10.1016/j.ocemod.2019.01.008 . S2CID 85502820 . 
  7. ↑ Y. Shinagawa و TL Kunii، 1991. بناء رسم بياني ريب تلقائيًا من المقاطع العرضية. IEEE Computer Graphics and Applications، 11(6)، ص 44-51.
  8. ↑ باسكوتشي، فاليريو؛ سكورتزيلي، جورجيو؛ بريمر، بير-تيمو؛ ماسكارينهاس، أجيث (2007). "حساب قوي عبر الإنترنت لرسوم ريب البيانية: البساطة والسرعة" (ملف PDF) . معاملات ACM في الرسومات . 26 (3): 58.1 – 58.9 . doi : 10.1145/1276377.1276449 .
  9. ↑ م. هيلاغا، ي. شيناغاوا، ت. كوهومورا، وت. ل. كوني، أغسطس 2001. مطابقة الطوبولوجيا لتقدير التشابه التلقائي الكامل للأشكال ثلاثية الأبعاد. في وقائع المؤتمر السنوي الثامن والعشرين حول رسومات الحاسوب والتقنيات التفاعلية (ص 203-212). ACM.
  10. ↑ تونغ، توني؛ شميت، فرانسيس (2005). "نهج الرسم البياني ريب متعدد الدقة المعزز لاسترجاع الأشكال ثلاثية الأبعاد بناءً على المحتوى" . المجلة الدولية لنمذجة الأشكال . 11 (1): 91-120 . doi : 10.1142/S0218654305000748 . مؤرشف من الأصل في 16 سبتمبر 2016. تم الاسترجاع في 11 مايو 2011 .
  11. ↑ "مجموعة أدوات الطوبولوجيا" .
  12. ↑ حجيج، مصطفى؛ روزن ، بول (2020). "خوارزمية الرسم البياني الموازي لاسترجاع البيانات بكفاءة" . الخوارزميات . 13 (10): 258. أرخايف : 1810.08310 . دوى : 10.3390/a13100258 .
  13. ↑ شيلجا، س؛ تشانغ، أنجيلا؛ مانجوناث، ب.س. (2021). "نهج الهندسة الحسابية لنمذجة مسارات الألياف العصبية". الحوسبة الطبية التصويرية والتدخل بمساعدة الحاسوب - MICCAI 2021. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 12908. الصفحات 175-185 . doi : 10.1007/978-3-030-87237-3_17 . ISBN   978-3-030-87236-6. PMC 8560085 . PMID 34729555 .  
  14. ↑ كار، هاميش؛ سنوينك، جاك؛ أكسن، أولريك (2000)، "حساب أشجار الكفاف في جميع الأبعاد" ، وقائع الندوة الحادية عشرة لجمعية آلات الحوسبة والجمعية الصناعية للرياضيات التطبيقية حول الخوارزميات المنفصلة (SODA 2000) ، الصفحات 918-926 ، ISBN  978-0-89871-453-1.
  15. ↑ كليميلا، جوسي (2018). "طرق شجرة مجموعة المستوى". مراجعات وايلي متعددة التخصصات: الإحصاءات الحاسوبية . 10 (5) e1436. doi : 10.1002/wics.1436 . S2CID 58864566 . 
  16. 1 2 3 4 I. Gelbukh، 2024. حول طوبولوجيا مخطط ريب. Publicationes Mathematicae Debrecen، 104(3-4)، ص 343-365
  17. 1 2 3 أ. سايكي، 2022. فضاءات ريب للدوال الملساء على المشعبات. مجلة البحوث الرياضية الدولية، 11، ص 8740-8768
  18. ↑ إ. جيلبوخ، 2018. الحلقات في رسوم ريب البيانية للمتشعبات من الرتبة n. الهندسة المنفصلة والحسابية، 59(4)، ص 843-863
  19. ↑ إل بي ميشالاك، 2021. التعديلات التوافقية لمخططات ريب ومسألة التحقيق. الهندسة المنفصلة والحسابية، 65، ص 1038-1060
  20. ↑ إل بي ميشالاك، 2018. تحقيق الرسم البياني كرسم بياني ريب لدالة مورس على مشعب. الأساليب الطوبولوجية في التحليل غير الخطي، 52(2)، ص 749-762
  21. ↑ إ. جيلبوخ، 2022. معيار توجيه الرسم البياني بشكل جيد من حيث كتل الأوراق. مجلة الرياضيات الشهرية، 198، ص 61-77
  22. ^ I. جلبوخ، 2022. تحقيق الرسم البياني باعتباره الرسم البياني ريب لمورس بوت أو وظيفة مستديرة. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 59(1)، الصفحات من 1 إلى 16