المصفوفة الأولية

في الرياضيات ، المصفوفة الأولية هي مصفوفة مربعة تُستنتج من تطبيق عملية صفية أولية واحدة على مصفوفة الوحدة . تُولّد المصفوفات الأولية المجموعة الخطية العامة $GL n (F)$ عندما يكون $F$ حقلاً . يُمثل الضرب من اليسار (الضرب المسبق) في مصفوفة أولية العملية الصفية الأولية المقابلة ، بينما يُمثل الضرب من اليمين (الضرب اللاحق) العملية العمودية الأولية المقابلة .

تُستخدم عمليات الصفوف الأولية في طريقة الحذف الغاوسي لتقليل المصفوفة إلى شكل صفوف متدرجة . كما تُستخدم أيضًا في طريقة الحذف الغاوسي-جوردان لتقليل المصفوفة بشكل أكبر إلى شكل صفوف متدرجة مُختزل .

عمليات الصف الأولية

توجد ثلاثة أنواع من المصفوفات الأولية، والتي تتوافق مع ثلاثة أنواع من عمليات الصفوف (على التوالي، عمليات الأعمدة):

تبديل الصفوف: يمكن تبديل صف داخل المصفوفة بصف آخر.; $R_{i}\leftrightarrow R_{j}$

ضرب الصفوف: يمكن ضرب كل عنصر في صف بثابت غير صفري. ويُعرف هذا أيضاً باسم تغيير حجم الصف.; $kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0$

إضافة صف: يمكن استبدال صف بمجموع ذلك الصف ومضاعفات صف آخر.; $R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j$

إذا كانت $E$ مصفوفة أولية، كما هو موضح أدناه، لتطبيق عملية الصف الأولية على المصفوفة $A$ ، نضرب $A$ في المصفوفة الأولية الموجودة على اليسار، $EA$ . تُحسب المصفوفة الأولية لأي عملية صفية بتطبيق العملية على مصفوفة الوحدة . يمكن فهم هذه الحقيقة كمثال على تطبيق مبرهنة يونيدا على فئة المصفوفات. ^{[ 1 ]}

تحويلات تبديل الصفوف

النوع الأول من عمليات الصفوف على المصفوفة $A$ هو تبديل جميع عناصر المصفوفة في الصف $i$ مع نظائرها في صف مختلف $j$ . يتم الحصول على المصفوفة الأولية المقابلة عن طريق تبديل الصف $i$ والصف $j$ من مصفوفة الوحدة .

T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

إذن $T$ i $,j$ $A$ هي المصفوفة الناتجة عن تبديل الصف $i$ والصف $j$ من $A.$

من حيث المعاملات، تُعرَّف المصفوفة $T i,j$ على النحو التالي :

[T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}

ملكيات

معكوس هذه المصفوفة هو نفسه: $T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.$
بما أن محدد مصفوفة الوحدة يساوي واحدًا، $\det(T_{i,j})=-1.$ ويترتب على ذلك أنه لأي مصفوفة مربعة $A$ (ذات الحجم الصحيح)، لدينا $\det(T_{i,j}A)=-\det(A).$
لأغراض نظرية، يمكن الحصول على تحويل تبديل الصفوف من تحويلات جمع الصفوف وضرب الصفوف المذكورة أدناه لأن $T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).$

تحويلات ضرب الصفوف

النوع التالي من عمليات الصف على المصفوفة $A$ هو ضرب جميع عناصر الصف $i$ في $m$ ، حيث $m$ عدد قياسي غير صفري (عادةً ما يكون عددًا حقيقيًا). المصفوفة الأولية المقابلة هي مصفوفة قطرية، عناصرها القطرية تساوي 1 في كل مكان باستثناء العنصر $i$ ، حيث تساوي $m$ .

D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&1\end{bmatrix}}

إذن فإن $D i (m) A$ هي المصفوفة الناتجة من $A$ عن طريق ضرب الصف $i$ في $m$ .

من حيث المعاملات، $يتم$ تعريف مصفوفة $Di (m)$ على النحو التالي :

[D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}

ملكيات

معكوس هذه المصفوفة يُعطى بالصيغة التالية: $D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).$
المصفوفة ومعكوسها عبارة عن مصفوفات قطرية .
$\det(D_{i}(m))=m.$ لذلك، بالنسبة لمصفوفة مربعة $A$ (ذات الحجم الصحيح)، لدينا $\det(D_{i}(m)A)=m\det(A).$

تحويلات جمع الصفوف

النوع الأخير من عمليات الصف على المصفوفة $A$ يضيف الصف $j$ مضروبًا في عدد قياسي $m$ إلى الصف $i$ . المصفوفة الأولية المقابلة هي مصفوفة الوحدة ولكن مع وجود $m$ في الموضع $(i, j)$ .

L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}

إذن $، L <sub>ij</sub> (m) A$ هي المصفوفة الناتجة من $A$ بإضافة الصف $j$ إلى الصف $i بمقدار$ $m$ مرة . و $AL$ $<sub>ij</sub>$ $($ $m$ $)$ هي المصفوفة الناتجة من $A$ بإضافة العمود $i$ إلى العمود $j بمقدار$ $m$ مرة .

من حيث المعاملات، تُعرَّف المصفوفة $L i,j (m)$ على النحو التالي :

[L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}

ملكيات

هذه التحولات هي نوع من أنواع تحويل القص ، والمعروفة أيضًا باسم التحويلات الانتقالية .
معكوس هذه المصفوفة يُعطى بالصيغة التالية: $L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).$
المصفوفة ومعكوسها عبارة عن مصفوفات مثلثية .
$\det(L_{ij}(m))=1.$ لذلك، بالنسبة للمصفوفة المربعة $A$ (ذات الحجم الصحيح) لدينا $\det(L_{ij}(m)A)=\det(A).$
تحقق تحويلات جمع الصفوف علاقات شتاينبرغ .

انظر أيضاً

مراجع

^ بيروني (2024) ، ص 119 – 120

أكسلر، شيلدون جاي (1997)، الجبر الخطي بشكل صحيح (الطبعة الثانية )، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-98259-0
لاي، ديفيد سي. (22 أغسطس 2005)، الجبر الخطي وتطبيقاته ( الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي، رقم ISBN 978-0-321-28713-7
ماير، كارل د. (15 فبراير 2001)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM)، رقم ISBN 978-0-89871-454-8تمت أرشفة هذا النص من النسخة الأصلية بتاريخ 31 أكتوبر 2009.
بيروني، باولو (2024)، مدخل إلى نظرية الفئات ، وورلد ساينتيفيك، doi : 10.1142/9789811286018_0005 ، ISBN 978-981-12-8600-1
بول، ديفيد (2006)، الجبر الخطي: مقدمة حديثة ( الطبعة الثانية)، بروكس/كول، رقم ISBN 0-534-99845-3
أنطون، هوارد (2005)، الجبر الخطي الابتدائي (نسخة التطبيقات) ( الطبعة التاسعة)، وايلي إنترناشونال
ليون، ستيفن ج. (2006)، الجبر الخطي مع التطبيقات ( الطبعة السابعة)، بيرسون برنتيس هول
سترانج، جيلبرت (2016)، مقدمة في الجبر الخطي ( الطبعة الخامسة)، مطبعة ويليسلي-كامبريدج، رقم ISBN 978-09802327-7-6

[1] بيروني (2024) ، ص 119 – 120

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	23 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗