متتالية الحزم الأسية

في الرياضيات ، يعتبر تسلسل الحزم الأسي تسلسلاً أساسياً قصيراً ودقيقاً من الحزم المستخدمة في الهندسة المعقدة .

ليكن M متعدد شعب عقدي ، ولنرمز _{بـ OM} إلى حزمة الدوال التحليلية على M. ولتكن OM * هي الحزمة الجزئية المكونة من الدوال التحليلية غير الصفرية. كلتاهما حزمتان من زمر أبيلية . تعطي الدالة الأسية تشاكلًا للحزم _.

${\displaystyle \exp$ :{\mathcal {O}}_{M}\إلى {\mathcal {O}}_{M}^{*},}

لأنّ الدالة التحليلية f ، فإنّ exp( f ) دالة تحليلية غير معدومة، و exp( f  + g ) = exp( f )exp( g ). ونواتها هي حزمة 2π من الدوال الثابتة محليًا على M التي تأخذ القيم 2π في ، حيث n عدد صحيح . وبالتالي ، فإنّ متتالية الحزم الأسية هي  

${\displaystyle 0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0.}$

لا يكون التحويل الأسي هنا دائمًا تحويلًا شاملًا على المقاطع؛ ويمكن ملاحظة ذلك، على سبيل المثال، عندما يكون M قرصًا مثقوبًا في المستوى المركب. يكون التحويل الأسي شاملًا على السيقان : إذا كان لدينا جرثومة g لدالة تامة الشكل عند نقطة P بحيث g ( P )  ≠  0، فيمكننا حساب لوغاريتم g في جوار P. يُظهر التسلسل التام الطويل لتماثل الحزم أن لدينا تسلسلًا تامًا .

${\displaystyle \cdots \to H^{0}({\mathcal {O}}_{U})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U})\to \cdots }$

لأي مجموعة مفتوحة U من M. هنا H ⁰ تعني ببساطة المقاطع فوق U ، و H ¹ ( 2π i Z | _U ) هو التماثل المفرد لـ U.

يمكن اعتبار H ¹ (2π i Z | _U ) بمثابة ربط عدد صحيح بكل حلقة في U. لكل قسم من OM *، يُعطي التشاكل الرابط إلى H ¹ (2π i Z | _U ) عدد اللفات لكل حلقة. لذا، يُعد هذا التشاكل عددًا عامًا _للّفات ، ويقيس عدم قابلية U للانكماش . بعبارة أخرى، ثمة عائق طوبولوجي محتمل أمام حساب اللوغاريتم الكلي لدالة تحليلية غير معدومة، وهو أمر ممكن محليًا دائمًا .

ومن النتائج الأخرى لهذا التسلسل دقة

${\displaystyle \cdots \to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\to \cdots .}$

هنا يمكن تعريف H ¹ ( O _M *) بمجموعة بيكارد لحزم الخطوط الهولومورفية على M. يرسل التشاكل المتصل حزمة خطية إلى فئة تشيرن الأولى الخاصة بها .

• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جوزيف (1994)، مبادئ الهندسة الجبرية ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ انظر على وجه الخصوص الصفحتين  37 و  139