أعداد فيبوناتشي الأولية

العدد الأولي فيبوناتشي هو عدد فيبوناتشي أولي ، وهو نوع من أنواع الأعداد الصحيحة الأولية.

الأعداد الأولية الأولى من متتالية فيبوناتشي هي (المتتالية A005478 في OEIS ) :

2 ، 3 ، 5 ، 13 ، 89 ، 233 ، 1597، 28657، 514229، 433494437، 2971215073، ....

من غير المعروف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي _من أعداد فيبوناتشي الأولية. مع بدء الترقيم من _F1 = F2 = 1 _، فإن أول 37 مؤشرًا n التي يكون فيها Fn عددًا أوليًا هي (المتتالية A001605 في OEIS ) :

n = 3, 4 , 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839, 104911, 130021, 148091, 201107.

(تصبح قيم F _n كبيرة جدًا بسرعة، لذلك يتم سرد المؤشرات n فقط.)

بالإضافة إلى أعداد فيبوناتشي الأولية المثبتة هذه، تم العثور على العديد من الأعداد الأولية المحتملة :

n = 397379، 433781، 590041، 593689، 604711، 931517، 1049897، 1285607، 1636007، 1803059، 1968721، 2904353، 3244369، 3340367، 4740217، 6530879، 7789819، 10317107، 10367321، 11964299. ^{[ 2 ]}

باستثناء الحالة n = 4، فإن جميع أعداد فيبوناتشي الأولية لها دليل أولي، لأنه إذا كان a يقسم b ، فإن${\displaystyle F_{a}}$ويقسم أيضًا${\displaystyle F_{b}}$(لكن ليس كل دليل أولي ينتج عنه عدد أولي في متتالية فيبوناتشي). أي أن متتالية فيبوناتشي هي متتالية قابلة للقسمة .

F _{_p} عدد أولي لثمانية من أول عشرة أعداد أولية p ؛ باستثناء F _₂ = 1 و F _₁₉ = 4181 = 37 × 113. مع ذلك، يبدو أن أعداد فيبوناتشي الأولية تصبح أقل شيوعًا مع ازدياد الدليل. F _{_p} عدد أولي لستة وعشرين فقط من أصل 1229 عددًا أوليًا p أصغر من 10000. ^{[ 3 ]} عدد العوامل الأولية في أعداد فيبوناتشي ذات الدليل الأولي هو:

0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 3, 5, 4, 2, 1, ... (التسلسل A080345 في OEIS )

اعتبارًا من سبتمبر 2023 أكبر عدد أولي مؤكد معروف في متتالية فيبوناتشي هو F ₂₀₁₁₀₇ ، ويتكون من 42029 رقمًا. وقد أثبتت مايا كاربوفيتش أوليته في سبتمبر 2023. ^{[ 4 ] [ 5 ]} أما أكبر عدد أولي محتمل معروف في متتالية فيبوناتشي فهو F _11964299 ، وقد اكتشفه رايان بروبر في يونيو 2025. ^{[ 2 ]} وقد أثبت نيك ماكينون أن أعداد فيبوناتشي الوحيدة التي هي أيضًا أعداد أولية توأم هي 3 و5 و13. ^{[ 6 ]}

رئيس الوزراء${\displaystyle p}$يقسم${\displaystyle F_{p-1}}$إذا وفقط إذا كان p متطابقًا مع ±1 بتردد 5، وكان p يقسم${\displaystyle F_{p+1}}$إذا وفقط إذا كان متطابقًا مع ±2 modulo 5. (عندما p = 5، فإن F ₅ = 5، لذا فإن 5 يقسم F ₅ )

أعداد فيبوناتشي التي لها فهرس أولي p لا تشترك في أي قواسم مشتركة أكبر من 1 مع أعداد فيبوناتشي السابقة، وذلك بسبب العنصر المحايد: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{m})=F_{\gcd(n,m)}.}$

بالنسبة لـ n  ≥  3 ، فإن F _n يقسم F _m إذا وفقط إذا كان n يقسم m . ^{[ 8 ]}

إذا افترضنا أن m هو عدد أولي p ، وأن n أقل من p ، فمن الواضح أن F _p لا يمكن أن يشترك في أي قواسم مشتركة مع أعداد فيبوناتشي السابقة.

${\displaystyle \gcd(F_{p},F_{n})=F_{\gcd(p,n)}=F_{1}=1.}$

هذا يعني أن F _p سيكون له دائمًا عوامل مميزة أو سيكون عاملًا مميزًا أوليًا بحد ذاته. ويمكن التعبير عن عدد العوامل الأولية المختلفة لكل عدد من أعداد فيبوناتشي بعبارات بسيطة.

• F _nk هو مضاعف لـ F _k لجميع قيم n و k التي تحقق الشرطين n ≥ 1 و k ≥ 1. ^{[ 9 ]} من المؤكد أن F _nk سيحتوي على "على الأقل" نفس عدد العوامل الأولية المختلفة الموجودة في F _k . جميع F _p لن تحتوي على أي عوامل من F _k ، ولكنها ستحتوي "على الأقل" على عدد أولي مميز جديد واحد وفقًا لنظرية كارمايكل .
• تنطبق نظرية كارمايكل على جميع أعداد فيبوناتشي باستثناء أربع حالات خاصة:${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,F_{6}=8}$و${\displaystyle F_{12}=144.}$إذا نظرنا إلى العوامل الأولية لأي عدد من أعداد فيبوناتشي، فسنجد على الأقل عاملاً واحداً لم يسبق له الظهور كعامل في أي عدد سابق من أعداد فيبوناتشي. لنفترض أن _πn هو عدد العوامل الأولية المختلفة للعدد _Fn . ( المتتالية A022307 في OEIS )

إذا كان k يقسم n فإن${\displaystyle \pi _{n}\geqslant \pi _{k}+1}$باستثناء${\displaystyle \pi _{6}=\pi _{3}=1.}$

إذا كان k = 1، وكان n عددًا أوليًا فرديًا ، فإن 1 يقسم p و${\displaystyle \pi _{p}\geqslant \pi _{1}+1=1.}$

تتمثل الخطوة الأولى في إيجاد القسمة المميزة لأي عدد من أعداد فيبوناتشي F _n في قسمة العوامل الأولية لجميع أعداد فيبوناتشي السابقة F _k التي يكون فيها k | n . ^{[ 10 ]}

نواتج القسمة المتبقية هي عوامل أولية لم تظهر بعد.

إذا كان كل من p و q أوليين، فإن جميع عوامل F _pq مميزة، باستثناء عوامل F _p و F _q .

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd(F_{pq},F_{q})&=F_{\gcd(pq,q)}=F_{q}\\\gcd(F_{pq},F_{p})&=F_{\gcd(pq,p)}=F_{p}\end{aligned}}}$

لذلك:

${\displaystyle \pi _{pq}\geqslant {\begin{cases}\pi _{p}+\pi _{q}+1&p\neq q\\\pi _{p}+1&p=q\end{cases}}}$

يرتبط عدد العوامل الأولية المختلفة لأعداد فيبوناتشي ذات الفهرس الأولي ارتباطًا مباشرًا بدالة العد. (المتتالية A080345 في OEIS )

بالنسبة لعدد أولي p ، يُطلق على أصغر دليل u > 0 بحيث يكون F _u قابلاً للقسمة على p اسم رتبة الظهور (أو نقطة دخول فيبوناتشي ) للعدد p ، ويُرمز لها بـ a ( p ). تُعرَّف رتبة الظهور a ( p ) لكل عدد أولي p . ^{[ 11 ]} تقسم رتبة الظهور دورة بيزانو π( p )، وتُمكّن من تحديد جميع أعداد فيبوناتشي القابلة للقسمة على p . ^{[ 12 ]}

بالنسبة لقابلية قسمة أعداد فيبوناتشي على قوى عدد أولي،${\displaystyle p\geqslant 3,n\geqslant 2}$و${\displaystyle k\geqslant 0}$

${\displaystyle p^{n}\mid F_{a(p)kp^{n-1}}.}$

بخاصة

${\displaystyle p^{2}\mid F_{a(p)p}.}$

يُطلق على العدد الأولي p ≠ 2 أو 5 اسم عدد فيبوناتشي-ويفريش الأولي أو عدد وال-سون-سون الأولي إذا${\displaystyle p^{2}\mid F_{q},}$أين

${\displaystyle q=p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$

و${\displaystyle \left({\tfrac {p}{5}}\right)}$رمز ليجندر هو :

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&p\equiv \pm 1{\bmod {5}}\\-1&p\equiv \pm 2{\bmod {5}}\end{cases}}}$

من المعروف أنه بالنسبة لـ p ≠ 2، 5، فإن a ( p ) هو قاسم لـ: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle p-\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}p-1&p\equiv \pm 1{\bmod {5}}\\p+1&p\equiv \pm 2{\bmod {5}}\end{cases}}}$

لكل عدد أولي p ليس عددًا أوليًا من نوع Wall–Sun–Sun،${\displaystyle a(p^{2})=pa(p)}$كما هو موضح في الجدول أدناه:

إن وجود الأعداد الأولية Wall–Sun–Sun هو أمر تخميني .

لأن${\displaystyle F_{a}|F_{ab}}$يمكننا قسمة أي عدد من أعداد فيبوناتشي${\displaystyle F_{n}}$بالمضاعف المشترك الأصغر للجميع${\displaystyle F_{d}}$أين${\displaystyle d|n}$تُسمى النتيجة الجزء الأولي من${\displaystyle F_{n}}$الأجزاء الأولية لأعداد فيبوناتشي هي

1، 1، 2، 3، 5، 4، 13، 7، 17، 11، 89، 6، 233، 29، 61، 47، 1597، 19، 4181، 41، 421، 199، 28657، 46، 15005، 521، 5777، 281، 514229، 31، 1346269، 2207، 19801، 3571، 141961، 321، 24157817، 9349، 135721، 2161، 165580141، 211، 433494437، 13201، 109441، ... (التسلسل A061446 في OEIS )

أي أعداد أولية تقسم${\displaystyle F_{n}}$وليس أي من${\displaystyle F_{d}}$تُسمى هذه العوامل الأولية بالعوامل الأولية لـ${\displaystyle F_{n}}$حاصل ضرب العوامل الأولية لأعداد فيبوناتشي هو

1، 1، 2، 3، 5، 1، 13، 7، 17، 11، 89، 1، 233، 29، 61، 47، 1597، 19، 4181، 41، 421، 199، 28657، 23، 3001، 521، 5777، 281، 514229، 31، 1346269، 2207، 19801، 3571، 141961، 107، 24157817، 9349، 135721، 2161، 165580141، 211، 433494437، 13201، 109441، 64079، 2971215073، 1103، 598364773، 15251، ... (التسلسل A178763 في OEIS )

أول حالة لوجود أكثر من عامل أولي بدائي هي 4181 = 37 × 113 لـ${\displaystyle F_{19}}$.

يحتوي الجزء الأولي في بعض الحالات على عامل أولي غير أولي. النسبة بين المتتاليتين أعلاه هي

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 13، 1، 1، .... (التسلسل A178764 في OEIS )

الأعداد الطبيعية n التي${\displaystyle F_{n}}$له عامل أولي واحد فقط

3، 4، 5، 7، 8، 9، 10، 11، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 20، 21، 22، 23، 24، 25، 26، 28، 29، 30، 32، 33، 34، 35، 36، 38، 39، 40، 42، 43، 45، 47، 48، 51، 52، 54، 56، 60، 62، 63، 65، 66، 72، 74، 75، 76، 82، 83، 93، 94، 98، 105، 106، 108، 111، 112، 119 121، 122، 123، 124، 125، 131، 132، 135، 136، 137، 140، 142، 144، 145، ... (التسلسل A152012 في OEIS )

بالنسبة لعدد أولي p ، يكون p ضمن هذه المتتالية إذا وفقط إذا${\displaystyle F_{p}}$هو عدد أولي في متتالية فيبوناتشي، ويكون العدد 2p ضمن هذه المتتالية إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{p}}$هو عدد أولي من نوع لوكاس (حيث${\displaystyle L_{p}}$هو${\displaystyle p}$العدد لوكاس رقم 1. علاوة على ذلك، فإن ²ⁿ ينتمي إلى هذه المتتالية إذا وفقط إذا${\displaystyle L_{2^{n-1}}}$هو عدد أولي من نوع لوكاس.

عدد العوامل الأولية الأولية لـ${\displaystyle F_{n}}$نكون

0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 1، 2، 2، 2، 2، 3، 2، 2، 2، 2، 1، 1، 3، 2، 4، 1، 2، 2، 2، 2، 3، 2، 1، 1، 2، 1، 2، 2، 1، 1، 2، 2، 2، 2، 2، 3، 1، 2، 1، 1، 1، 1، 1، 2، 2، 2، ... (التسلسل A086597 في OEIS )

أصغر العوامل الأولية لـ${\displaystyle F_{n}}$نكون

1، 1، 2، 3، 5، 1، 13، 7، 17، 11، 89، 1، 233، 29، 61، 47، 1597، 19، 37، 41، 421، 199، 28657، 23، 3001، 521، 53، 281، 514229، 31، 557، 2207، 19801، 3571، 141961، 107، 73، 9349، 135721، 2161، 2789، 211، 433494437، 43، 109441، 139، 2971215073، 1103، 97، 101، ... (التسلسل A001578 في OEIS )

يُعتقد أن جميع العوامل الأولية لـ ${\displaystyle F_{n}}$بدائية عندما ${\displaystyle n}$هو عدد أولي. ^{[ 14 ]}

على الرغم من أنه ليس من المعروف ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من أعداد فيبوناتشي الأولية، فقد أثبت ميلفي أن هناك عددًا لا نهائيًا منها وهي أعداد عملية ، ^{[ 15 ]} وهي متتالية تشبه الأعداد الأولية في بعض النواحي.

• رقم لوكاس

• وايسستين، إريك دبليو. “فيبوناتشي برايم” . عالم الرياضيات .
• أعداد فيبوناتشي الأولية لـ ر. نوت
• كالدول، كريس. أعداد فيبوناتشي ، وأعداد فيبوناتشي الأولية ، وأعداد فيبوناتشي الأولية المسجلة في صفحات الأعداد الأولية.
• تحليل أول 300 عدد من أعداد فيبوناتشي إلى عواملها الأولية
• تحليل أعداد فيبوناتشي ولوكاس إلى عواملها الأولية. مؤرشف بتاريخ 19 أغسطس 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• برنامج هاسكل صغير متوازي لإيجاد أعداد فيبوناتشي الأولية المحتملة على موقع haskell.org
• برنامج بلغة C++ لإيجاد الأعداد الأولية في متسلسلة فيبوناتشي