رقم لوكاس

متتالية لوكاس هي متتالية أعداد صحيحة سُميت نسبةً إلى عالم الرياضيات فرانسوا إدوارد أناتول لوكاس ( 1842-1891 )، الذي درس هذه المتتالية ومتتالية فيبوناتشي المرتبطة بها ارتباطًا وثيقًا . تُعرف الأعداد الفردية في متتالية لوكاس بأعداد لوكاس . تُشكل أعداد لوكاس وأعداد فيبوناتشي حالات مُكملة لمتتاليات لوكاس .

تتمتع متتالية لوكاس بنفس العلاقة التكرارية لمتتالية فيبوناتشي، حيث يكون كل حدٍّ فيها مجموع الحدين السابقين، ولكن بقيم ابتدائية مختلفة. ^{[ 1 ]} ينتج عن ذلك متتالية تقترب فيها نسب الحدود المتتالية من النسبة الذهبية ، بل إن الحدود نفسها هي تقريب لقوى صحيحة للنسبة الذهبية. ^{[ 2 ]} كما ترتبط المتتالية بأعداد فيبوناتشي في علاقات متنوعة، مثل حقيقة أن جمع أي عددين من أعداد فيبوناتشي يفصل بينهما حدّان في متتالية فيبوناتشي ينتج عنه عدد لوكاس الواقع بينهما. ^{[ 3 ]}

الأرقام القليلة الأولى من أرقام لوكاس هي

2، 1، 3، 4، 7، 11، 18، 29، 47، 76، 123، 199، 322، 521، 843، 1364، 2207، 3571، 5778، 9349، ... ( التسلسل A000032 في OEIS )

وهو ما يتطابق، على سبيل المثال، مع عدد مجموعات الرؤوس المستقلة للرسوم البيانية الدورية${\displaystyle C_{n}}$من الطول${\displaystyle n\geq 2}$[ ^{1 ]​}

كما هو الحال مع أعداد فيبوناتشي، يُعرَّف كل عدد من أعداد لوكاس بأنه مجموع الحدين السابقين له مباشرةً، وبذلك يُشكِّل متتالية أعداد فيبوناتشي . أول عددين من أعداد لوكاس هما:${\displaystyle L_{0}=2}$و${\displaystyle L_{1}=1}$وهو ما يختلف عن أول عددين من أعداد فيبوناتشي${\displaystyle F_{0}=0}$و${\displaystyle F_{1}=1}$على الرغم من ترابطها الوثيق في التعريف، فإن أعداد لوكاس وفيبوناتشي تُظهر خصائص مميزة.

وبالتالي، يمكن تعريف أرقام لوكاس على النحو التالي:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{إذا كان }}n=0;\\1&{\text{إذا كان }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{إذا كان }}n>1.\end{cases}}}$

(حيث ينتمي n إلى الأعداد الطبيعية )

تظهر جميع المتتاليات العددية الشبيهة بمتتالية فيبوناتشي في شكل مُزاح كصف في مصفوفة وايثوف ؛ حيث تُمثل متتالية فيبوناتشي نفسها الصف الأول، ومتتالية لوكاس الصف الثاني. وكما هو الحال في جميع المتتاليات العددية الشبيهة بمتتالية فيبوناتشي، فإن النسبة بين عددين متتاليين من أعداد لوكاس تتقارب مع النسبة الذهبية .

استخدام${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$، يمكن للمرء أن يوسع أعداد لوكاس لتشمل الأعداد الصحيحة السالبة للحصول على متتالية لا نهائية مزدوجة:

..., − 11, 7, − 4, 3, − 1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (مصطلحات${\displaystyle L_{n}}$ل${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$(موضحة).

صيغة الحدود ذات الأسس السالبة في هذه المتتالية هي

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

ترتبط أعداد لوكاس بأعداد فيبوناتشي من خلال العديد من المتطابقات . ومن بين هذه المتطابقات ما يلي:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}.}$
• ${\displaystyle L_{n+k}=L_{n+1}F_{k}+L_{n}F_{k-1}.}$
• ${\displaystyle F_{n+k}=L_{k}F_{n}-(-1)^{k}F_{nk};}$وخاصة عندما${\displaystyle k=n,}$${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}.}$
• ${\displaystyle 2F_{n+k}=L_{n}F_{k}+L_{k}F_{n}.}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$، لذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$
• ${\displaystyle L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}={\frac {2}{(-\varphi )^{n}}}\to 0.}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{nk}=5F_{n}F_{k}}$وخاصة عندما${\displaystyle k=1,}$${\displaystyle 5F_{n}=L_{n+1}+L_{n-1}=2L_{n+1}-L_{n}=L_{n}+2L_{n-1},}$بينما عندما${\displaystyle k=n,}$الهوية المذكورة أعلاه لـ${\displaystyle L_{2n}}$يتم الحصول عليه.

صيغتهم المغلقة هي كالتالي:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n},}$

أين${\displaystyle \varphi }$هي النسبة الذهبية .${\displaystyle n>1}$حجم المصطلح${\textstyle (1-\varphi )^{n}}$أقل من 1/2، لذلك${\displaystyle L_{n}}$هو أقرب عدد صحيح إلى${\displaystyle \varphi ^{n}}$أو، بصورة مكافئة، الجزء الصحيح من${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$، وتكتب أيضًا على${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$.

بدمج ما سبق مع صيغة بينيه ،

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

صيغة لـ${\displaystyle \varphi ^{n}}$يتم الحصول على:

${\displaystyle \varphi ^{n}={L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}} \over 2}\,.}$

بالنسبة للأعداد الصحيحة n ≥ 2، نحصل أيضًا على:

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(1-\varphi )^{n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

مع الباقي R الذي يحقق

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}.}$

توجد العديد من متطابقات فيبوناتشي في أعداد لوكاس. على سبيل المثال، تصبح متطابقة كاسيني

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

أيضًا

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

أين${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$.

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

أين${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$باستثناء${\displaystyle L'_{0}=1}$.

على سبيل المثال، إذا كان n فرديًا ،${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$و${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

التحقق،${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$، و${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

الدالة المولدة العادية لمتتالية أعداد لوكاس هي متسلسلة القوى

$${\displaystyle \Phi (x)=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}=2+x+3x^{2}+4x^{3}+7x^{4}+11x^{5}+\cdots .}$$

هذه المتسلسلة متقاربة لأي عدد مركب${\displaystyle x}$مُرضٍ${\displaystyle |x|<1/\varphi \approx 0.618,}$ومجموعها له شكل مغلق بسيط: $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$$

ويمكن إثبات ذلك بالضرب في${\textstyle (1-x-x^{2})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x-x^{2})\Phi (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }L_{k-1}x^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }L_{k-2}x^{k}\\&=2x^{0}+1x^{1}-2x^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(L_{k}-L_{k-1}-L_{k-2})x^{k}\\&=2-x,\end{aligned}}}$$ حيث جميع المصطلحات التي تتضمن${\displaystyle x^{k}}$ل${\displaystyle k\geq 2}$يتم إلغاء ذلك بسبب علاقة التكرار المحددة لأعداد لوكاس.

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$تعطي الدالة المولدة لأعداد لوكاس ذات الفهرس السالب ،${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$، و

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$يحقق المعادلة الوظيفية

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

بما أن الدالة المولدة لأعداد فيبوناتشي معطاة بـ

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

لدينا

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

مما يثبت أن

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

و

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

يثبت ذلك

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

يُعطى تحليل الكسور الجزئية بالصيغة التالية :

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

أين${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$هي النسبة الذهبية و${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$وهو مرافقه .

يمكن استخدام هذا لإثبات الدالة المولدة، كما

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

استخدام${\displaystyle x}$يساوي أيًا من 0.01، 0.001، 0.0001، إلخ. يحدد أرقام لوكاس الأولى في التوسع العشري لـ${\displaystyle \Phi (x)}$. على سبيل المثال،${\displaystyle \Phi (0.001)={\frac {1.999}{0.998999}}={\frac {1999000}{998999}}=2.001003004007011018029047\ldots .}$

لو${\displaystyle F_{n}\geq 5}$إذا كان عددًا من أعداد فيبوناتشي، فلا يوجد عدد من أعداد لوكاس يقبل القسمة عليه.${\displaystyle F_{n}}$.

تحقق أعداد لوكاس تطابق غاوس . وهذا يعني أن${\displaystyle L_{n}}$يتطابق مع 1 بتردد${\displaystyle n}$لو${\displaystyle n}$هو عدد أولي . القيم المركبة لـ${\displaystyle n}$تُعرف الأعداد التي تحقق هذه الخاصية باسم الأعداد الأولية الزائفة لفيبوناتشي .

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$متطابق مع 0 بتردد 5.

العدد الأولي لوكاس هو عدد لوكاس أولي . الأعداد الأولية القليلة الأولى من لوكاس هي

2، 3، 7، 11، 29، 47، 199، 521، 2207، 3571، 9349، 3010349، 54018521، 370248451، 6643838879، ... (التسلسل A005479 في OEIS ) .

مؤشرات هذه الأعداد الأولية هي (على سبيل المثال، L ₄ = 7)

0، 2، 4، 5، 7، 8، 11، 13، 16، 17، 19، 31، 37، 41، 47، 53، 61، 71، 79، 113، 313، 353، 503، 613، 617، 863، 1097، 1361، 4787، 4793، 5851، 7741، 8467، ... (التسلسل A001606 في OEIS ) .

اعتبارًا من سبتمبر 2015 أكبر عدد أولي مؤكد من نوع لوكاس هو L ₁₄₈₀₉₁ ، والذي يحتوي على 30950 رقمًا عشريًا. ^{[ 4 ]} اعتبارًا من أغسطس 2022 أكبر عدد أولي محتمل معروف من نوع لوكاس هو L _5466311 ، ويتكون من 1,142,392 رقمًا عشريًا. ^{[ 5 ]}

إذا كان L _n عددًا أوليًا، فإن n يكون 0 أو عددًا أوليًا أو قوة من قوى العدد 2. ^{[ 6 ]} L _{2 ^m} عدد أولي عندما m  = 1 و  2 و  3  و 4 ،  ولا توجد قيم أخرى معروفة لـ m . 

بنفس الطريقة التي تُشتق بها كثيرات حدود فيبوناتشي من أعداد فيبوناتشي ، فإن كثيرات حدود لوكاس${\displaystyle L_{n}(x)}$هي متتالية متعددة الحدود مشتقة من أعداد لوكاس.

بالنسبة لجميع قيم n باستثناء أصغرها ، فإن العدد الصحيح L _n يقترب بشكل كبير من القوة n للنسبة الذهبية ،  ${\displaystyle \varphi ^{n}}$علاوة على ذلك، يمكن الحصول على تقريبات عقلانية قريبة لقوى النسبة الذهبية من كسورها المستمرة .

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n ، تكون الكسور المستمرة كما يلي:

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$.

على سبيل المثال:

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

هو الحد الأقصى لـ

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

مع كون الخطأ في كل حد حوالي 1% من الخطأ في الحد السابق؛ و

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

هو الحد الأقصى لـ

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

حيث يبلغ الخطأ في كل حد حوالي 0.3% من الخطأ في الحد السابق له.

تُعد أرقام لوكاس ثاني أكثر الأنماط شيوعًا في عباد الشمس بعد أرقام فيبوناتشي، عند حساب اللوالب في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة، وفقًا لتحليل 657 زهرة عباد الشمس في عام 2016. ^{[ 7 ]}

• تعميمات أعداد فيبوناتشي

• "متعددات حدود لوكاس" ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد لوكاس" . عالم الرياضيات .
• فايستين، إريك دبليو. “لوكاس متعدد الحدود” . عالم الرياضيات .
• " أرقام لوكاس "، د. رون نوت
• أرقام لوكاس والنسبة الذهبية
• يمكنك العثور على حاسبة أرقام لوكاس هنا.
• تسلسل OEIS A000032 (أرقام لوكاس تبدأ من 2)