تسلسل لوكاس

في الرياضيات ، متتابعات لوكاس $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q)$ هي متتابعات عددية صحيحة ثابتة متكررة تحقق علاقة التكرار

x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}

أين $P$ و $Q$ أعداد صحيحة ثابتة . يمكن تمثيل أي متتالية تحقق علاقة التكرار هذه كتركيبة خطية لمتتاليات لوكاس. $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q).$

وبشكل أعم، تسلسلات لوكاس $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q)$ تمثل متواليات كثيرات الحدود في $P$ و $Q$ بمعاملات عددية صحيحة .

من الأمثلة الشهيرة لمتتاليات لوكاس أعداد فيبوناتشي ، وأعداد ميرسين ، وأعداد بيل ، وأعداد لوكاس ، وأعداد جاكوبستال ، ومجموعة فرعية من أعداد فيرما (انظر أدناه). سُميت متتاليات لوكاس نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي إدوارد لوكاس .

العلاقات التكرارية

بفرض وجود معامِلين صحيحين $P$ و $Q$ ، تسلسلات لوكاس من النوع الأول $U_{n}(P,Q)$ والنوع الثاني $V_{n}(P,Q)$ يتم تعريفها من خلال علاقات التكرار :

{\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\end{aligned}}

و

{\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}

ليس من الصعب إثبات ذلك بالنسبة لـ $n>0$ ،

{\begin{aligned}U_{n}(P,Q)&={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\\V_{n}(P,Q)&={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\end{aligned}}

يمكن التعبير عن العلاقات المذكورة أعلاه في شكل مصفوفة كما يلي:

{\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\U_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},

{\begin{bmatrix}V_{n}(P,Q)\\V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}V_{n-1}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},

{\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P/2&1/2\\(P^{2}-4Q)/2&P/2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\V_{n-1}(P,Q)\end{bmatrix}}.

الحدود الأولية لمتتاليات لوكاس $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q)$ موضحة في الجدول:

{\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}

التعبيرات الصريحة

المعادلة المميزة للعلاقة التكرارية لمتتاليات لوكاس $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q)$ يكون:

x^{2}-Px+Q=0\,

لديها القدرة على التمييز $D=P^{2}-4Q$ وبحسب الصيغة التربيعية ، فإن لها الجذور التالية :

a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,

هكذا:

a+b=P\,,

ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,

a-b={\sqrt {D}}\,.

لاحظ أن التسلسل $a^{n}$ والتسلسل $b^{n}$ كما أنها تحقق العلاقة التكرارية. ومع ذلك، قد لا تكون هذه متواليات أعداد صحيحة.

جذور متميزة

متى $D\neq 0$ a و b مختلفتان ويمكن التحقق من ذلك بسرعة .

a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}

b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}.

وبناءً على ذلك، يمكن التعبير عن حدود متتابعات لوكاس بدلالة a و b على النحو التالي

U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}

V_{n}=a^{n}+b^{n}\,

الجذر المتكرر

القضية $D=0$ يحدث ذلك بالضبط عندما $P=2S{\text{ and }}Q=S^{2}$ لبعض الأعداد الصحيحة S بحيث $a=b=S$ في هذه الحالة، يجد المرء بسهولة أن

U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,

V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.\,

ملكيات

الدوال المولدة

الدوال المولدة العادية هي

\sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};

\sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.

معادلات بيل

متى $Q=\pm 1$ ، تسلسلات لوكاس $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q)$ تحقق معادلات بيل معينة :

V_{n}(P,1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,1)^{2}=4,

V_{n}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,-1)^{2}=4(-1)^{n}.

العلاقات بين المتتاليات ذات المعلمات المختلفة

لأي عدد c ، فإن المتتاليات $U_{n}(P',Q')$ و $V_{n}(P',Q')$ مع

P'=P+2c

Q'=cP+Q+c^{2}

لها نفس التمييز مثل

U_{n}(P,Q)

و

V_{n}(P,Q)

:

P'^{2}-4Q'=(P+2c)^{2}-4(cP+Q+c^{2})=P^{2}-4Q=D.

لأي عدد c ، لدينا أيضًا

U_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n-1}\cdot U_{n}(P,Q),

V_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n}\cdot V_{n}(P,Q).

علاقات أخرى

تحقق حدود متتابعات لوكاس علاقات تُعد تعميمًا للعلاقات بين أعداد فيبوناتشي $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ وأرقام لوكاس $L_{n}=V_{n}(1,-1)$ . على سبيل المثال:

{\begin{array}{l|l|r}{\text{General case}}&(P,Q)=(1,-1),D=P^{2}-4Q=5\\\hline DU_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}&5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}}=2L_{n+1}-L_{n}&(1)\\V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}&L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}&(2)\\U_{m+n}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}&F_{m+n}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}=F_{m}L_{n}-(-1)^{n}F_{m-n}&(3)\\U_{2n}=U_{n}(U_{n+1}-QU_{n-1})=U_{n}V_{n}&F_{2n}=F_{n}(F_{n+1}+F_{n-1})=F_{n}L_{n}&(4)\\U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}&F_{2n+1}=F_{n+1}^{2}+F_{n}^{2}&(5)\\V_{m+n}=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=DU_{m}U_{n}+Q^{n}V_{m-n}&L_{m+n}=L_{m}L_{n}-(-1)^{n}L_{m-n}=5F_{m}F_{n}+(-1)^{n}L_{m-n}&(6)\\V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}=DU_{n}^{2}+2Q^{n}&L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}&(7)\\U_{m+n}={\frac {U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m}}{2}}&F_{m+n}={\frac {F_{m}L_{n}+F_{n}L_{m}}{2}}&(8)\\V_{m+n}={\frac {V_{m}V_{n}+DU_{m}U_{n}}{2}}&L_{m+n}={\frac {L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}}{2}}&(9)\\V_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=4Q^{n}&L_{n}^{2}-5F_{n}^{2}=4(-1)^{n}&(10)\\U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1}&F_{n}^{2}-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1}&(11)\\V_{n}^{2}-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1}&L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1}&(12)\\2^{n-1}U_{n}={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots &2^{n-1}F_{n}={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots &(13)\\2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^{2}+\cdots &2^{n-1}L_{n}=1+5{n \choose 2}+5^{2}{n \choose 4}+\cdots &(14)\end{array}}

من بين هذه المعادلات، تسمح المعادلتان (6) و(7) بحساب سريع لقيمة V بشكل مستقل عن U بطريقة مماثلة للرفع الأسي عن طريق التربيع . العلاقة $V_{mn}=V_{m}(P=V_{n},Q=Q_{n})$ (الذي ينتمي إلى القسم أعلاه، "العلاقات بين المتتاليات ذات المعاملات المختلفة") مفيد أيضًا لهذا الغرض. ^{[ 1 ]}

الحوسبة السريعة

نظير لعملية الرفع الأسي بالتربيع مطبق على المصفوفة التي تحسب $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q)$ من $U_{n-1}(P,Q)$ و $V_{n-1}(P,Q)$ يسمح ${\mathcal {O}}(\log n)$ حساب الوقت لـ $U_{n}(P,Q)$ و $V_{n}(P,Q)$ بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n .

خصائص قابلية القسمة

ومن بين النتائج المترتبة على ذلك أن $U_{km}(P,Q)$ هو مضاعف لـ $U_{m}(P,Q)$ أي التسلسل $(U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}$ هي متتالية قابلة للقسمة . وهذا يعني، على وجه الخصوص، أن $U_{n}(P,Q)$ لا يمكن أن يكون n عددًا أوليًا إلا عندما يكون n عددًا أوليًا. علاوة على ذلك، إذا $\gcd(P,Q)=1$ ، ثم $(U_{m}(P,Q))_{m\geq 1}$ هي متتالية قابلة للقسمة قوية .

خصائص قابلية القسمة الأخرى هي كما يلي: ^{[ 2 ]}

إذا كان n مضاعفًا فرديًا لـ m ، فإن $V_{m}$ يقسم $V_{n}$ .
ليكن N عددًا صحيحًا أوليًا نسبيًا مع 2Q . إذا كان أصغر عدد صحيح موجب r يقسم N $U_{r}$ إذا وُجدت مجموعة n التي تقسم N، فإن مجموعة n التي تقسم N $U_{n}$ هي بالضبط مجموعة مضاعفات r .
إذا كان P و Q زوجيين ، فإن $U_{n},V_{n}$ تكون دائمًا متساوية باستثناء $U_{1}$ .
إذا كان P فرديًا و Q زوجيًا، فإن $U_{n},V_{n}$ دائماً ما تكون غريبة بالنسبة لكل $n>0$ .
إذا كان P زوجيًا و Q فرديًا، فإن زوجية $U_{n}$ هو نفسه n و $V_{n}$ دائماً ما يكون زوجياً.
إذا كان P و Q فرديين، فإن $U_{n},V_{n}$ تكون الأعداد زوجية إذا وفقط إذا كان n من مضاعفات العدد 3.
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا، فإن $U_{p}\equiv \left({\tfrac {D}{p}}\right),V_{p}\equiv P{\pmod {p}}$ (انظر رمز ليجندر ).
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا يقسم P و Q ، فإن p يقسم $U_{n}$ لكل $n>1$ .
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا يقسم P ولا يقسم Q ، فإن p يقسم $U_{n}$ إذا وفقط إذا كان n زوجيًا.
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا يقسم Q ولكنه لا يقسم P ، فإن p لا يقسم أبدًا $U_{n}$ لأي $n>0$ .
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا يقسم D ولكنه لا يقسم PQ ، فإن p يقسم $U_{n}$ إذا وفقط إذا كان p يقسم n .
إذا كان p عددًا أوليًا فرديًا لا يقسم PQD ، فإن p يقسم $U_{l}$ ، أين $l=p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)$ .

تُعمم الحقيقة الأخيرة نظرية فيرما الصغرى . تُستخدم هذه الحقائق في اختبار لوكاس-ليمر للأعداد الأولية . وكما هو الحال في نظرية فيرما الصغرى، فإن عكس الحقيقة الأخيرة صحيح في كثير من الأحيان، ولكن ليس دائمًا؛ إذ توجد أعداد مركبة n أولية نسبيًا مع D وتقسمها. $U_{l}$ ، أين $l=n-\left({\tfrac {D}{n}}\right)$ تُسمى هذه الأعداد المركبة بالأعداد الأولية الزائفة لوكاس .

يُطلق على العامل الأولي لأي حد في متتالية لوكاس، والذي لا يقسم أي حد سابق في المتتالية، اسم العامل الأولي . تنص نظرية كارمايكل على أن جميع حدود متتالية لوكاس، باستثناء عدد محدود منها، لها عامل أولي أولي. ^{[ 3 ]} في الواقع، أثبت كارمايكل (1913) أنه إذا كان D موجبًا و n ليس 1 أو 2 أو 6، فإن $U_{n}$ للعدد عامل أولي بدائي. في حالة كون D سالبًا، تُظهر نتيجة عميقة لبيلو وهانرو وفوتييه ومينوت ^{[ 4 ]} أنه إذا كان n > 30، فإن $U_{n}$ له عامل أولي بدائي ويحدد جميع الحالات $U_{n}$ ليس له عامل أولي بدائي.

أسماء محددة

تُعرف متواليات لوكاس لبعض قيم $P$ و $Q$ بأسماء محددة:

U n (1, -1)

: أعداد فيبوناتشي

V n (1, -1)

: أعداد لوكاس

U n (2, -1)

: أعداد بيل

V n (2, -1)

: أعداد بيل-لوكاس (أعداد بيل المصاحبة)

Un (2, 1) :

أعداد العد

U n (1, -2)

: أعداد جاكوبستال

V n (1, -2)

: أعداد جاكوبستال-لوكاس

U n (3, 2)

: أعداد ميرسين

2 n - 1

V n (3, 2)

: أعداد من الشكل

2 n + 1

، والتي تشمل أعداد فيرما ^{[ 3 ]}

U n (6, 1)

: الجذور التربيعية للأعداد المثلثية المربعة .

U n (x, -1)

: كثيرات حدود فيبوناتشي

V n (x, -1)

: كثيرات حدود لوكاس

U n (2 x, 1)

: كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الثاني

V n (2 x, 1)

: كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول مضروبة في 2

Un (x + 1, x)

: إعادة التوجيه

في

الأساس

x

V n (x + 1, x)

:

x n + 1

بعض متواليات لوكاس لها مدخلات في الموسوعة الإلكترونية لمتواليات الأعداد الصحيحة :

$P\,$	$Q\,$	$U_{n}(P,Q)\,$	$V_{n}(P,Q)\,$
-1	3	OEIS : A214733
1	-1	OEIS : A000045	OEIS : A000032
1	1	OEIS : A128834	OEIS : A087204
1	2	OEIS : A107920	OEIS : A002249
2	-1	OEIS : A000129	OEIS : A002203
2	1	OEIS : A001477	OEIS : A007395
2	2	OEIS : A009545
2	3	OEIS : A088137
2	4	OEIS : A088138
2	5	OEIS : A045873
3	-5	OEIS : A015523	OEIS : A072263
3	-4	OEIS : A015521	OEIS : A201455
3	-3	OEIS : A030195	OEIS : A172012
3	-2	OEIS : A007482	OEIS : A206776
3	-1	OEIS : A006190	OEIS : A006497
3	1	OEIS : A001906	OEIS : A005248
3	2	OEIS : A000225	OEIS : A000051
3	5	OEIS : A190959
4	-3	OEIS : A015530	OEIS : A080042
4	-2	OEIS : A090017
4	-1	OEIS : A001076	OEIS : A014448
4	1	OEIS : A001353	OEIS : A003500
4	2	OEIS : A007070	OEIS : A056236
4	3	OEIS : A003462	OEIS : A034472
4	4	OEIS : A001787
5	-3	OEIS : A015536
5	-2	OEIS : A015535
5	-1	OEIS : A052918	OEIS : A087130
5	1	OEIS : A004254	OEIS : A003501
5	4	OEIS : A002450	OEIS : A052539
6	1	OEIS : A001109	OEIS : A003499

التطبيقات

تُستخدم متواليات لوكاس في اختبارات لوكاس الأولية الزائفة الاحتمالية، والتي تعد جزءًا من اختبار بايلي-PSW الأولي الشائع الاستخدام .
تُستخدم متواليات لوكاس في بعض طرق إثبات أولية الأعداد، بما في ذلك اختبارات لوكاس-ليمر ولوكاس -ليمر-ريزل وطرق N−1/N+1 الهجينة مثل تلك الموجودة في بريلهارت-ليمر-سيلفريدج 1975. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}
نظام التشفير LUC هو نظام تشفير بالمفتاح العام يعتمد على متواليات لوكاس ^{[ 7 ]،} ويُطبّق نظائر أنظمة التشفير ElGamal (LUCELG) و Diffie-Hellman (LUCDIF) و RSA (LUCRSA). يُحسب تشفير الرسالة في LUC كأحد حدود متوالية لوكاس معينة، بدلاً من استخدام الأسس المعيارية كما في RSA أو Diffie-Hellman. مع ذلك، يُجادل ^{[ 8 ]} بأن العديد من المزايا الأمنية المزعومة لنظام LUC مقارنةً بأنظمة التشفير القائمة على الأسس المعيارية إما غير موجودة، أو ليست جوهرية كما يُدّعى.

التعميمات

التسلسل $V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}$ ، وهو حل لمشكلة التكرار $V_{n}(P,Q)=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q)$ عندما $a$ و $b$ ⁠ هي جذور المعادلة التربيعية المقابلة ⁠ $z^{2}-Pz+Q=0$ ، يعمم إلى درجة $k\geq 1$ . على وجه التحديد، بالنسبة لعلاقة التكرار $V_{n}(P_{1},\ldots ,P_{k})=\sum _{j=1}^{k}P_{j}V_{n-j}(P_{1},\ldots ,P_{k})$ باستخدام الأعداد الصحيحة $P_{1},\ldots ,P_{k}$ وعادةً مع $P_{k}\neq 0$ ، دع $a_{1},\ldots ,a_{k}$ لتكن جذور معادلة كثير الحدود المقابلة $z^{k}-\sum _{j=1}^{k}P_{j}z^{k-j}=0.$ ثم $V_{n}(P_{1},\ldots ,P_{k})=\sum _{j=1}^{k}a_{j}^{n}$ هي سلسلة من الأعداد الصحيحة تحقق العلاقة التكرارية، كما يتضح من دالتها المولدة العادية ، $G_{P_{1},\ldots ,P_{k}}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}(P_{1},\ldots ,P_{k})z^{n}={\frac {k-\sum _{j=1}^{k-1}(k-j)P_{j}z^{j}}{1-\sum _{j=1}^{k}P_{j}z^{j}}}.$

برمجة

تُنفذ SageMath $U_{n}$ و $V_{n}$ كدوال lucas_number1()و lucas_number2()، على التوالي. ^{[ 9 ]}

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ أتناشيف، بافيل. "بديل أبسط لاختبار لوكاس-ليمر-ريزل للأعداد الأولية" . أرشيف الطباعة الإلكترونية لعلم التشفير .
↑ للاطلاع على مثل هذه العلاقات وخصائص قابلية القسمة، انظر ( كارمايكل 1913 ) ، ( ليمر 1930 ) أو ( ريبنبوم 1996 ، 2.IV) .
1 2 يابوتا، م (2001). "برهان بسيط لنظرية كارمايكل حول القواسم الأولية" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 39 (5): 439-443 . doi : 10.1080/00150517.2001.12428701 . تاريخ الاسترجاع: 4 أكتوبر 2018 .
↑ بيلو، يوري؛ هانرو، غيوم؛ فوتييه، بول م.؛ مينوت، موريس (2001). "وجود القواسم الأولية لأعداد لوكاس وليمر" ( ملف PDF) . مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية . 2001 (539): 75-122 . doi : 10.1515/crll.2001.080 . MR 1863855. S2CID 122969549 .
↑ "إثبات الأعداد الأولية 3.2 اختبارات n+1 واختبار لوكاس-ليمر" . t5k.org .
↑ جون بريلهارت ؛ ديريك هنري ليمر ؛ جون سيلفريدج (أبريل 1975). "معايير أولية جديدة وتحليلات للعدد 2 ^م ± 1" . رياضيات الحساب . 29 (130): 620-647 . doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1 . JSTOR 2005583 .
↑ بي جيه سميث؛ إم جيه جيه لينون (1993). "LUC: نظام مفتاح عام جديد". وقائع الندوة الدولية التاسعة للاتحاد الدولي لمعالجة المعلومات حول أمن الحاسوب : 103-117 . CiteSeerX 10.1.1.32.1835 .
↑ د. بليشنباخر؛ و. بوسما؛ أ. ك. لينسترا (1995). "بعض الملاحظات حول أنظمة التشفير القائمة على لوكاس" (ملف PDF) . التطورات في علم التشفير - CRYPT0' 95. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 963. الصفحات 386-396 . doi : 10.1007/3-540-44750-4_31 . ISBN 978-3-540-60221-7.
↑ "الدوال التوافقية - التوافقية" . doc.sagemath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-07-2023 .

مراجع

كارمايكل، آر دي (1913)، "حول العوامل العددية للأشكال الحسابية α ⁿ ±β ⁿ "، حوليات الرياضيات ، 15 (1/4): 30-70 ، doi : 10.2307/1967797 ، JSTOR 1967797
ليمر، د. هـ. (1930). "نظرية موسعة لدوال لوكاس". حوليات الرياضيات . 31 (3): 419-448 . Bibcode : 1930AnMat..31..419L . doi : 10.2307/1968235 . JSTOR 1968235 .
وارد، مورغان (1954). "قواسم الأعداد الأولية للمتتابعات الدورية من الرتبة الثانية". مجلة ديوك للرياضيات 21 (4): 607-614 . doi : 10.1215/S0012-7094-54-02163-8 . hdl : 10338.dmlcz/137477 . MR 0064073 .
سومر، لورانس (1980). "خصائص قابلية القسمة لمتتاليات لوكاس الأولية بالنسبة للأعداد الأولية" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 18 (4): 316-334 . doi : 10.1080/00150517.1980.12430140 .
لاغارياس، ج. س. (1985). "مجموعة الأعداد الأولية التي تقسم أعداد لوكاس لها كثافة 2/3". مجلة المحيط الهادئ للرياضيات 118 ( 2): 449-461 . CiteSeerX 10.1.1.174.660 . doi : 10.2140/pjm.1985.118.449 . MR 0789184 .
هانز ريزل (1994). الأعداد الأولية وطرق الحاسوب للتحليل إلى عوامل . سلسلة التقدم في الرياضيات. المجلد 126 ( الطبعة الثانية). بيركهاوزر. الصفحات 107-121 . ISBN 0-8176-3743-5.
ريبنبوم، باولو؛ ماكدانيال، واين ل. (1996). "الحدود المربعة في متتابعات لوكاس" . مجلة نظرية الأعداد . 58 (1): 104-123 . doi : 10.1006/jnth.1996.0068 .
جوي، م.؛ كيسكواتر، ج.-ج. (1996). "حساب فعال لمتتاليات لوكاس الكاملة" (ملف PDF) . رسائل الإلكترونيات . 32 (6): 537-538 . رمز Bibcode : 1996ElL....32..537J . doi : 10.1049/el:19960359 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2015-02-02.
ريبنبوم، باولو (1996). الكتاب الجديد لسجلات الأعداد الأولية ( نسخة إلكترونية). سبرينغر-فيرلاغ ، نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4612-0759-7 . ISBN 978-1-4612-0759-7.
ريبنبوم، باولو (2000). أرقامي، أصدقائي: محاضرات مبسطة في نظرية الأعداد . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ص 1-50 . ISBN 0-387-98911-0.
لوكا، فلوريان (2000). "أعداد فيبوناتشي ولوكاس المثالية". ريند. سيرك ماتيم. باليرمو . 49 (2): 313-318 . doi : 10.1007/BF02904236 . S2CID 121789033 .
يابوتا، م. (2001). "برهان بسيط لنظرية كارمايكل حول القواسم الأولية" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 39 (5): 439-443 . doi : 10.1080/00150517.2001.12428701 .
بنيامين، آرثر ت .؛ كوين، جينيفر ج. ( 2003). براهين ذات قيمة حقيقية: فن البرهان التوافقي . سلسلة دولسياني للعروض الرياضية. المجلد 27. الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 35. ISBN 978-0-88385-333-7.
متتالية لوكاس في موسوعة الرياضيات .
وايسستين، إريك دبليو. “تسلسل لوكاس” . عالم الرياضيات .
وي داي . "متواليات لوكاس في علم التشفير" .

[1] أتناشيف، بافيل. "بديل أبسط لاختبار لوكاس-ليمر-ريزل للأعداد الأولية" . أرشيف الطباعة الإلكترونية لعلم التشفير .

[2] للاطلاع على مثل هذه العلاقات وخصائص قابلية القسمة، انظر ( كارمايكل 1913 ) ، ( ليمر 1930 ) أو ( ريبنبوم 1996 ، 2.IV) .

[Yabuta-3] 1 2 يابوتا، م (2001). "برهان بسيط لنظرية كارمايكل حول القواسم الأولية" (ملف PDF) . مجلة فيبوناتشي الفصلية . 39 (5): 439-443 . doi : 10.1080/00150517.2001.12428701 . تاريخ الاسترجاع: 4 أكتوبر 2018 .

[4] بيلو، يوري؛ هانرو، غيوم؛ فوتييه، بول م.؛ مينوت، موريس (2001). "وجود القواسم الأولية لأعداد لوكاس وليمر" ( ملف PDF) . مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية . 2001 (539): 75-122 . doi : 10.1515/crll.2001.080 . MR 1863855. S2CID 122969549 .

[5] "إثبات الأعداد الأولية 3.2 اختبارات n+1 واختبار لوكاس-ليمر" . t5k.org .

[BLS75-6] جون بريلهارت ؛ ديريك هنري ليمر ؛ جون سيلفريدج (أبريل 1975). "معايير أولية جديدة وتحليلات للعدد 2 ^م ± 1" . رياضيات الحساب . 29 (130): 620-647 . doi : 10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1 . JSTOR 2005583 .

[7] بي جيه سميث؛ إم جيه جيه لينون (1993). "LUC: نظام مفتاح عام جديد". وقائع الندوة الدولية التاسعة للاتحاد الدولي لمعالجة المعلومات حول أمن الحاسوب : 103-117 . CiteSeerX 10.1.1.32.1835 .

[8] د. بليشنباخر؛ و. بوسما؛ أ. ك. لينسترا (1995). "بعض الملاحظات حول أنظمة التشفير القائمة على لوكاس" (ملف PDF) . التطورات في علم التشفير - CRYPT0' 95. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 963. الصفحات 386-396 . doi : 10.1007/3-540-44750-4_31 . ISBN 978-3-540-60221-7.

[9] "الدوال التوافقية - التوافقية" . doc.sagemath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13-07-2023 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]،

[ 8 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗