نظرية النقطة الثابتة

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرف نظرية النقطة الثابتة بأنها نتيجة تنص على أن الدالة F سيكون لها على الأقل نقطة ثابتة واحدة (نقطة x التي عندها F ( x ) = x )، وذلك في ظل بعض الشروط على F التي يمكن صياغتها بشكل عام. [ 1 ]

في التحليل الرياضي

تنص نظرية باناش للنقطة الثابتة (1922) على معيار عام يضمن أنه إذا تحققت هذه النظرية، فإن إجراء تكرار دالة ما ينتج عنه نقطة ثابتة. [ 2 ]

وعلى النقيض من ذلك، فإن نظرية النقطة الثابتة لبروير (1911) هي نتيجة غير بناءة : فهي تقول أن أي دالة متصلة من الكرة المغلقة ذات الوحدة في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n إلى نفسها يجب أن يكون لها نقطة ثابتة، [ 3 ] لكنها لا تصف كيفية إيجاد النقطة الثابتة (انظر أيضًا إلى ليمّة سبيرنر ).

على سبيل المثال، دالة جيب التمام متصلة في الفترة [−1,  1] وتُسقطها على الفترة [−1,  1]، وبالتالي لا بد أن يكون لها نقطة ثابتة. يتضح هذا عند فحص رسم بياني لدالة جيب التمام؛ حيث تقع النقطة الثابتة عند تقاطع منحنى جيب التمام y = cos( x ) مع الخط y = x . عدديًا، تُقارب قيمة النقطة الثابتة (المعروفة برقم دوتي ) x = 0.73908513321516 (وبالتالي x = cos( x ) لهذه القيمة من x ).

تُعد نظرية النقطة الثابتة لـ Lefschetz [ 4 ] ( ونظرية النقطة الثابتة لـ Nielsen ) [ 5 ] من الطوبولوجيا الجبرية جديرة بالملاحظة لأنها تعطي، بمعنى ما، طريقة لحساب النقاط الثابتة.

توجد عدة تعميمات لنظرية باناش للنقطة الثابتة ، وتُطبّق هذه التعميمات في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية . انظر نظريات النقطة الثابتة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد .

تثبت نظرية التجميع في الضغط الفراكتالي أنه بالنسبة للعديد من الصور، يوجد وصف صغير نسبيًا لدالة، عند تطبيقها بشكل متكرر على أي صورة ابتدائية، تتقارب بسرعة نحو الصورة المطلوبة. [ 6 ]

في الجبر والرياضيات المتقطعة

تنص نظرية كناستر -تارسكي على أن أي دالة تحافظ على الترتيب على شبكة كاملة لها نقطة ثابتة، بل وأصغر نقطة ثابتة. [ 7 ] انظر أيضًا نظرية بورباكي-ويت .

تُستخدم هذه النظرية في التفسير المجرد ، وهو شكل من أشكال تحليل البرامج الثابتة .

يُعدّ إيجاد النقاط الثابتة لتعبيرات لامدا المعطاة موضوعًا شائعًا في حساب لامدا . لكل تعبير لامدا نقطة ثابتة، ومُركِّب النقطة الثابتة هو "دالة" تأخذ تعبير لامدا كمدخل وتُخرج نقطة ثابتة لهذا التعبير. [ 8 ] ومن مُرَكِّبات النقطة الثابتة المهمة مُرَكِّب Y المُستخدم لإعطاء تعريفات تكرارية .

في الدلالات التفسيرية للغات البرمجة، تُستخدم حالة خاصة من نظرية كناستر - تارسكي لتحديد دلالات التعريفات الاسترجاعية. وبينما تُطبق نظرية النقطة الثابتة على الدالة "نفسها" (من وجهة نظر منطقية)، فإن تطور النظرية يختلف تمامًا.

يمكن تقديم التعريف نفسه للدالة التكرارية، في نظرية الحوسبة ، بتطبيق نظرية كلين للتكرار . [ 9 ] هذه النتائج ليست نظريات متكافئة؛ فنظرية كناستر - تارسكي أقوى بكثير مما يُستخدم في الدلالات التفسيرية. [ 10 ] مع ذلك، في ضوء أطروحة تشيرش-تورينغ، يبقى معناها البديهي واحدًا: يمكن وصف الدالة التكرارية بأنها أصغر نقطة ثابتة لدالة معينة، تربط الدوال بالدوال.

يمكن أيضًا استخدام التقنية المذكورة أعلاه لتكرار دالة لإيجاد نقطة ثابتة في نظرية المجموعات ؛ تنص نظرية النقطة الثابتة للدوال العادية على أن أي دالة مستمرة متزايدة تمامًا من الأعداد الترتيبية إلى الأعداد الترتيبية لها نقطة ثابتة واحدة (بل والعديد من النقاط الثابتة).

كل عامل إغلاق على مجموعة جزئية مرتبة له العديد من النقاط الثابتة؛ هذه هي "العناصر المغلقة" بالنسبة لعامل الإغلاق، وهي السبب الرئيسي لتعريف عامل الإغلاق في المقام الأول.

كل عملية التفاف على مجموعة منتهية ذات عدد فردي من العناصر لها نقطة ثابتة؛ وبشكل أعم، لكل عملية التفاف على مجموعة منتهية من العناصر، يكون لعدد العناصر وعدد النقاط الثابتة نفس الزوجية . استخدم دون زاغير هذه الملاحظات لتقديم برهان من جملة واحدة لنظرية فيرما حول مجموع مربعين ، وذلك بوصف عمليتي التفاف على نفس مجموعة ثلاثيات الأعداد الصحيحة، إحداهما يمكن إثبات أن لها نقطة ثابتة واحدة فقط، والأخرى لها نقطة ثابتة لكل تمثيل لعدد أولي معين (يطابق 1 mod 4) كمجموع مربعين. بما أن عملية الالتفاف الأولى لها عدد فردي من النقاط الثابتة، فإن الثانية كذلك، وبالتالي يوجد دائمًا تمثيل بالشكل المطلوب. [ 11 ]

قائمة بنظريات النقطة الثابتة

انظر أيضاً

الحواشي

  1. ↑ براون، آر إف، محرر. (1988). نظرية النقطة الثابتة وتطبيقاتها . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-5080-6.
  2. ↑ جايلز، جون ر. (1987). مقدمة في تحليل الفضاءات المترية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-35928-3.
  3. ↑ إيبرهارد زايدلر، التحليل الوظيفي التطبيقي: المبادئ الرئيسية وتطبيقاتها ، سبرينغر، 1995.
  4. ↑ سولومون ليفشيتز (1937). "حول صيغة النقطة الثابتة". حوليات الرياضيات 38 (4): 819-822 . doi : 10.2307/1968838 .
  5. ^ فنشل، فيرنر ؛ نيلسن، جاكوب (2003). شميدت، أسموس L. (محرر). مجموعات متقطعة من متساوي القياس في المستوى الزائدي . دراسات دي جرويتر في الرياضيات. المجلد. 29. برلين: والتر دي جرويتر وشركاه 
  6. ↑ بارنسلي، مايكل. (1988). الأشكال الكسورية في كل مكان . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-079062-9.
  7. ↑ ألفريد تارسكي (1955). "نظرية النقطة الثابتة في نظرية الشبكة وتطبيقاتها" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 5:2 : 285-309 .
  8. ↑ بيتون جونز، سيمون ل. (1987). تطبيق البرمجة الوظيفية . برنتيس هول إنترناشونال.
  9. ↑ كاتلاند، نيوجيرسي، قابلية الحوسبة: مقدمة في نظرية الدوال التكرارية ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1980. ISBN 0-521-29465-7
  10. ↑ أسس التحقق من البرامج ، الطبعة الثانية، جاك لوكس وكورت سيبر، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-91282-4، الفصل 4؛ النظرية 4.24، الصفحة 83، هي ما يستخدم في الدلالات الدلالية، بينما يتم إعطاء نظرية كناستر - تارسكي لإثباتها كتمرين 4.3 - 5 في الصفحة 90.
  11. ↑ زاغير، د. (1990)، "برهان من جملة واحدة على أن كل عدد أولي p ≡ 1 (mod 4) هو مجموع مربعين"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 97 (2): 144، doi : 10.2307/2323918 ، MR 1041893     .

مراجع

  • أغاروال، رافي ب.؛ ميهان، ماريا؛ أوريغان، دونال (2001). نظرية النقطة الثابتة وتطبيقاتها . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-80250-4.
  • أكصوي، أسومان ؛ وخامسي، محمد أ. (1990). طرق غير قياسية في نظرية النقطة الثابتة . دار نشر سبرينغر. ISBN 0-387-97364-8.
  • بيريندي، فاسيل (2005). التقريب التكراري للنقطة الثابتة . دار نشر سبرينغر. ISBN 978-3-540-72233-5.
  • بوردر، كيم سي. (1989). نظريات النقطة الثابتة مع تطبيقات في الاقتصاد ونظرية الألعاب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-38808-2.
  • كيرك، ويليام أ.؛ غوبل، كازيميرز (1990). موضوعات في نظرية النقطة الثابتة المترية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-38289-0.
  • كيرك، ويليام أ.؛ وخامسي، محمد أ. (2001). مقدمة في الفضاءات المترية ونظرية النقطة الثابتة . جون وايلي، نيويورك. ISBN 978-0-471-41825-2.
  • كيرك، ويليام أ.؛ سيمز، بريلي (2001). دليل نظرية النقطة الثابتة المترية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-7923-7073-2.
  • شاشكين، يوري أ؛ ميناشين، فيكتور؛ ماكي، جورج و. (1991). النقاط الثابتة . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0-8218-9000-X.