تحليل المكونات الرئيسية الوظيفية

يُعد تحليل المكونات الرئيسية الوظيفية ( FPCA ) أسلوبًا إحصائيًا لدراسة أنماط التباين السائدة في البيانات الوظيفية . باستخدام هذا الأسلوب، تُمثَّل الدالة العشوائية في أساس الدوال الذاتية، وهو أساس متعامد في فضاء هيلبرت L² يتكون من الدوال الذاتية لمؤثر التغاير الذاتي . يُمثِّل FPCA البيانات الوظيفية بأكثر الطرق اقتصادًا، بمعنى أنه عند استخدام عدد ثابت من دوال الأساس ، يُفسِّر أساس الدوال الذاتية تباينًا أكبر ^من أي توسيع أساس آخر. يُمكن تطبيق FPCA لتمثيل الدوال العشوائية، ^{[ 1 ]} أو في الانحدار الوظيفي ^{[ 2 ]} والتصنيف.

بالنسبة لعملية عشوائية قابلة للتكامل التربيعي X ( t )، حيث t ∈ 𝒯، ليكن

${\displaystyle \mu (t)={\text{E}}(X(t))}$

و

${\displaystyle G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t))=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}\varphi _{k}(s)\varphi _{k}(t),}$

أين${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq ...\geq 0}$هي القيم الذاتية و${\displaystyle \varphi _{1}}$،${\displaystyle \varphi _{2}}$... هي الدوال الذاتية المتعامدة لمؤثر هيلبرت-شميدت الخطي

${\displaystyle G:L^{2}({\mathcal {T}})\rightarrow L^{2}({\mathcal {T}}),\,G(f)=\int _{\mathcal {T}}G(s,t)f(s)ds.}$

بحسب نظرية كارونين-لوف ، يمكن التعبير عن العملية المركزية في أساس القيم الذاتية.

${\displaystyle X(t)-\mu (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\varphi _{k}(t),}$

أين

${\displaystyle \xi _{k}=\int _{\mathcal {T}}(X(t)-\mu (t))\varphi _{k}(t)dt}$

المكون الرئيسي المرتبط بالدالة الذاتية رقم k${\displaystyle \varphi _{k}}$، مع الخصائص

${\displaystyle {\text{E}}(\xi _{k})=0,{\text{Var}}(\xi _{k})=\lambda _{k}{\text{ و }}{\text{E}}(\xi _{k}\xi _{l})=0{\text{ لـ }}k\neq l.}$

تكون العملية المركزية مكافئة لـ ξ ₁ ، ξ ₂ ، .... ومن الافتراضات الشائعة أن X يمكن تمثيلها فقط بالدوال الذاتية القليلة الأولى (بعد طرح دالة المتوسط)، أي

${\displaystyle X(t)\approx X_{m}(t)=\mu (t)+\sum _{k=1}^{m}\xi _{k}\varphi _{k}(t),}$

أين

${\displaystyle \mathrm {E} \left(\int _{\mathcal {T}}\left(X(t)-X_{m}(t)\right)^{2}dt\right)=\sum _{j>m}\lambda _{j}\rightarrow 0{\text{ as }}m\rightarrow \infty .}$

الدالة الذاتية الأولى${\displaystyle \varphi _{1}}$يوضح النمط السائد لتغير X.

${\displaystyle \varphi _{1}={\underset {\Vert \mathbf {\varphi } \Vert =1}{\operatorname {arg\,max} }}\left\{\operatorname {Var} \left(\int _{\mathcal {T}}(X(t)-\mu (t))\varphi (t)dt\right)\right\},}$

أين

${\displaystyle \Vert \mathbf {\varphi} \Vert =\left(\int _{\mathcal {T}}\varphi (t)^{2}dt\right)^{\frac {1}{2}}.}$

الدالة الذاتية رقم k${\displaystyle \varphi _{k}}$النمط السائد للتغير المتعامد مع${\displaystyle \varphi _{1}}$،${\displaystyle \varphi _{2}}$...${\displaystyle \varphi _{k-1}}$،

${\displaystyle \varphi _{k}={\underset {\Vert \mathbf {\varphi } \Vert =1,\langle \varphi ,\varphi _{j}\rangle =0{\text{ for }}j=1,\dots ,k-1}{\operatorname {arg\,max} }}\left\{\operatorname {Var} \left(\int _{\mathcal {T}}(X(t)-\mu (t))\varphi (t)dt\right)\right\},}$

أين

${\displaystyle \langle \varphi ,\varphi _{j}\rangle =\int _{\mathcal {T}}\varphi (t)\varphi _{j}(t)dt,{\text{ for }}j=1,\dots ,k-1.}$

لنفترض أن Y _{_ij} = X_{_i} ( t_{_ij} ) + ε_ij هي المشاهدات التي تم إجراؤها في المواقع (عادةً نقاط زمنية) t_{_ij} ، حيث X_{_i} هو التحقق رقم i من العملية العشوائية السلسة التي تولد البيانات، و ε _{_ij} هي متغيرات عشوائية طبيعية موزعة توزيعًا متطابقًا ومستقلًا بمتوسط ​​0 وتباين σ ^² ، حيث j = 1, 2, ..., m_{_i} . للحصول على تقدير لدالة المتوسط ​​μ ( t_{_ij} )، إذا كانت هناك عينة كثيفة متاحة على شبكة منتظمة ، يمكن حساب المتوسط ​​عند كل موقع t_{_ij} .

${\displaystyle {\hat {\mu}}(t_{ij})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{ij}.}$

إذا كانت الملاحظات متفرقة، فمن الضروري تنعيم البيانات المجمعة من جميع الملاحظات للحصول على تقدير المتوسط، ^{[ 3 ]} باستخدام أساليب التنعيم مثل التنعيم الخطي المحلي أو تنعيم الشرائح .

ثم تقدير دالة التغاير${\displaystyle {\hat {G}}(s,t)}$يتم الحصول عليها عن طريق حساب المتوسط ​​(في الحالة الكثيفة) أو التنعيم (في الحالة المتفرقة) للتباينات الخام.

${\displaystyle G_{i}(t_{ij},t_{il})=(Y_{ij}-{\hat {\mu }}(t_{ij}))(Y_{il}-{\hat {\mu }}(t_{il})),j\neq l,i=1,\dots ,n.}$

لاحظ أنه يجب إزالة العناصر القطرية لـ G _{i لأنها تحتوي على خطأ في القياس.} ^{[ 4 ]}

عملياً،${\displaystyle {\hat {G}}(s,t)}$يتم تقسيم المصفوفة إلى شبكة كثيفة متساوية المسافات، ويتم تقدير ^القيم الذاتية λk _{والمتجهات} الذاتية vk باستخدام الجبر الخطي العددي . _[ ^{5 ]} تقديرات الدوال الذاتية${\displaystyle {\hat {\varphi }}_{k}}$ويمكن الحصول عليها بعد ذلك عن طريق استيفاء المتجهات الذاتية${\displaystyle {\hat {v_{k}}}.}$

ينبغي أن يكون التغاير المُقاس موجبًا تمامًا ومتماثلًا ، ويتم الحصول عليه على النحو التالي:

${\displaystyle {\tilde {G}}(s,t)=\sum _{\lambda _{k}>0}{\hat {\lambda }}_{k}{\hat {\varphi }}_{k}(s){\hat {\varphi }}_{k}(t).}$

يترك${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$لتكن نسخة مُنعّمة من العناصر القطرية G _i ( t _ij , t _ij ) لمصفوفات التغاير الخام. عندئذٍ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$يمثل تقديرًا لـ ( G ( t , t ⁾ + σ² ⁾ . ويتم الحصول على تقدير σ² من خلال

${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}={\frac {2}{|{\mathcal {T}}|}}\int _{\mathcal {T}}({\hat {V}}(t)-{\tilde {G}}(t,t))dt,}$لو${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}>0;}$خلاف ذلك${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=0.}$

إذا كانت المشاهدات X _{_ij} ، حيث j = 1، 2، ...، m _{_i}، كثيفة في 𝒯، فإنه يمكن تقدير FPC رقم k ، ξ_{_k}، عن طريق التكامل العددي ، بتطبيق

${\displaystyle {\hat {\xi }}_{k}=\langle X-{\hat {\mu }},{\hat {\varphi}}_{k}\rangle .}$

لكن إذا كانت الملاحظات قليلة، فلن تنجح هذه الطريقة. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام أفضل المتنبئات الخطية غير المتحيزة ، ^{[ 3 ]} مما ينتج عنه

${\displaystyle {\hat {\xi }}_{k}={\hat {\lambda }}_{k}{\hat {\varphi }}_{k}^{T}{\hat {\Sigma }}_{Y_{i}}^{-1}(Y_{i}-{\hat {\mu }}),}$

أين

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}_{Y_{i}}={\tilde {G}}+{\hat {\sigma }}^{2}\mathbf {I} _{m_{i}}}$،

و${\displaystyle {\tilde {G}}}$يتم تقييمها عند نقاط الشبكة التي تم إنشاؤها بواسطة t _ij ، حيث j = 1، 2، ...، m _i . تتوفر حزمة Matlab للخوارزمية، PACE، ^{[ 6 ]} وحزمة R ^{[ 7 ].}

تم التحقق من خصائص التقارب التقاربي لهذه التقديرات. ^{[ 3 ] [ 8 ] [ 9 ]}

يمكن تطبيق تحليل المكونات الرئيسية الوظيفية (FPCA) لعرض أنماط التباين الوظيفي ، ^{[ 1 ] [ 10 ]} في مخططات التشتت للمكونات الرئيسية الوظيفية مقابل بعضها البعض أو للاستجابات مقابل المكونات الرئيسية الوظيفية، لنمذجة البيانات الطولية المتفرقة ، ^{[ 3 ]} أو للانحدار الوظيفي والتصنيف (مثل الانحدار الخطي الوظيفي ). ^{[ 2 ]} يمكن استخدام مخططات التباين وغيرها من الطرق لتحديد عدد المكونات المضمنة. لتحليل المكونات الرئيسية الوظيفية تطبيقات متنوعة في تحليل السلاسل الزمنية . حاليًا، يجري تكييف هذه الطريقة من التقنيات متعددة المتغيرات التقليدية لتحليل مجموعات البيانات المالية مثل مؤشرات سوق الأسهم وإنشاء رسوم بيانية للتقلب الضمني. ^{[ 11 ]} من الأمثلة الجيدة على مزايا المنهج الوظيفي تحليل المكونات الرئيسية الوظيفية المُنعّم (SPCA)، الذي طوره سيلفرمان [1996] ودرسه بيزولي وسيلفرمان [1993]، والذي يُتيح الدمج المباشر بين تحليل المكونات الرئيسية الوظيفية ومنهجية تنعيم عامة تُسهّل استخدام المعلومات المُخزّنة في بعض المؤثرات التفاضلية الخطية. ومن التطبيقات المهمة لتحليل المكونات الرئيسية الوظيفية، والمعروفة في تحليل المكونات الرئيسية متعدد المتغيرات، تحليل كارونين-لوف لدالة عشوائية إلى مجموعة من المعاملات الوظيفية - دوال العوامل ومعاملات التحميل المقابلة (المتغيرات العشوائية العددية). يُعد هذا التطبيق أكثر أهمية من تحليل المكونات الرئيسية متعدد المتغيرات القياسي، لأن توزيع الدالة العشوائية يكون معقدًا للغاية بحيث لا يُمكن تحليله مباشرةً، ويُختزل تحليل كارونين-لوف التحليل إلى تفسير دوال العوامل وتوزيع المتغيرات العشوائية العددية. وبفضل تقليل الأبعاد ودقته في تمثيل البيانات، هناك مجال واسع لمزيد من تطوير تقنيات المكونات الرئيسية الوظيفية في المجال المالي.

يُبيّن الجدول التالي مقارنة بين عناصر مختلفة من تحليل المكونات الرئيسية (PCA) وتحليل المكونات الرئيسية الوظيفية (FPCA). تُستخدم كلتا الطريقتين لتقليل الأبعاد . في التطبيقات العملية، يستخدم تحليل المكونات الرئيسية الوظيفية خطوة تحليل المكونات الرئيسية.

مع ذلك، يختلف تحليل المكونات الرئيسية (PCA) وتحليل المكونات الوظيفية (FPCA) في بعض الجوانب الجوهرية. أولًا، يمكن تبديل ترتيب البيانات متعددة المتغيرات في PCA ، وهو ما لا يؤثر على التحليل، بينما يحمل ترتيب البيانات الوظيفية معلومات زمنية أو مكانية ولا يمكن إعادة ترتيبه. ثانيًا، يُعد تباعد المشاهدات مهمًا في FPCA، بينما لا توجد مشكلة تباعد في PCA. ثالثًا، لا يُجدي PCA العادي نفعًا مع البيانات عالية الأبعاد دون تنظيم ، بينما يتميز FPCA بتنظيم مُدمج نظرًا لسلاسة البيانات الوظيفية وتقليص عدد المكونات المُضمنة إلى عدد محدود.

عنصر	في تحليل المكونات الرئيسية	في قانون حماية المستهلك المالي
بيانات	${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p}}$	${\displaystyle X\in L^{2}({\mathcal {T}})}$
الأبعاد	${\displaystyle p<\infty }$	${\displaystyle \infty }$
يقصد	${\displaystyle \mu ={\text{E}}(X)}$	${\displaystyle \mu (t)={\text{E}}(X(t))}$
التغاير	${\displaystyle {\text{Cov}}(X)=\Sigma _{p\times p}}$	${\displaystyle {\text{Cov}}(X(s),X(t))=G(s,t)}$
القيم الذاتية	${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{p}}$	${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }$
المتجهات الذاتية/الدوال الذاتية	${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{p}}$	${\displaystyle \varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\dots }$
المنتج الداخلي	${\displaystyle \langle \mathbf {X} ,\mathbf {Y} \rangle =\sum _{k=1}^{p}X_{k}Y_{k}}$	${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\int _{\mathcal {T}}X(t)Y(t)dt}$
المكونات الرئيسية	${\displaystyle z_{k}=\langle X-\mu ,\mathbf {v_{k}} \rangle ,k=1,2,\dots ,p}$	${\displaystyle \xi _{k}=\langle X-\mu ,\varphi _{k}\rangle ,k=1,2,\dots }$

• تحليل المكونات الرئيسية

• جيمس أو. رامزي؛ بي دبليو سيلفرمان (8 يونيو 2005). تحليل البيانات الوظيفية . سبرينغر. ISBN 978-0-387-40080-8.