القطع المخروطي المعمم

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف القطع المخروطي المعمم بأنه شكل هندسي يتميز بخاصية تُعمِّم إحدى الخصائص المميزة للقطع المخروطي الكلاسيكي . على سبيل المثال، في الهندسة الابتدائية ، يُمكن تعريف القطع الناقص بأنه المحل الهندسي لنقطة تتحرك في مستوى بحيث يكون مجموع بُعديها عن نقطتين ثابتتين - البؤرتين - في المستوى ثابتًا. يُطلق على المنحنى الناتج عن استبدال مجموعة النقطتين الثابتتين بمجموعة منتهية ثابتة من النقاط في المستوى اسم القطع الناقص من الرتبة n ، ويمكن اعتباره قطعًا ناقصًا معممًا. بما أن القطع الناقص هو مجموعة متساوية البعد من دائرتين، حيث تقع إحداهما داخل الأخرى، فإن مجموعة متساوية البعد من مجموعتين عشوائيتين من النقاط في مستوى ما يُمكن اعتبارها قطعًا مخروطيًا معممًا. في الإحداثيات الديكارتية المستطيلة، تُمثل المعادلة y = x² قطعًا مكافئًا . يمكن اعتبار المعادلة المعممة y = x r ، حيث r ≠ 0 و r ≠ 1، بمثابة تعريف لقطع مكافئ معمّم. وقد وجدت فكرة القطع المخروطي المعمّم تطبيقات في نظرية التقريب ونظرية التحسين . [ 1 ]

من بين الطرق العديدة الممكنة لتعميم مفهوم القطع المخروطي، يُعدّ تعريفه كتعميم للقطع الناقص الطريقة الأكثر شيوعًا . تنطلق هذه الطريقة من اعتبار القطع الناقص منحنىً يحقق "خاصية البؤرتين": أي أن القطع الناقص هو منحنى يمثل المحل الهندسي لنقاط يكون مجموع بُعدها عن نقطتين معطيتين ثابتًا. هاتان النقطتان هما بؤرتا القطع الناقص. ويمكن اعتبار المنحنى الناتج عن استبدال مجموعة النقطتين الثابتتين بمجموعة محدودة وثابتة من النقاط في المستوى قطعًا ناقصًا معمّمًا. تُسمى القطوع المخروطية المعمّمة ذات البؤر الثلاث بالقطع الناقص ثلاثي البؤر. ويمكن تعميم ذلك أكثر ليشمل المنحنيات التي تُمثل المحل الهندسي لنقاط يكون مجموع بُعدها عن مجموعة محدودة من النقاط ثابتًا. كما يُمكن تعميم ذلك أكثر بافتراض أن الأوزان المرتبطة بالمسافات يمكن أن تكون ذات إشارة اختيارية، أي موجبة أو سالبة. أخيرًا، يمكن أيضًا إزالة القيد الذي ينص على أن مجموعة النقاط الثابتة، والتي تُسمى مجموعة بؤر القطع المخروطي المعمم، يجب أن تكون منتهية. يمكن افتراض أن المجموعة منتهية أو غير منتهية. في حالة اللانهاية، يجب استبدال المتوسط ​​الحسابي المرجح بتكامل مناسب. تُسمى القطوع المخروطية المعممة بهذا المعنى أيضًا بالقطع الناقصة المتعددة ، أو القطع الناقصة البيضاوية ، أو القطع الناقصة المعممة . ولأن هذه المنحنيات قد درسها عالم الرياضيات الألماني إهرنفريد فالتر فون تشيرنهاوس (1651-1708)، فإنها تُعرف أيضًا باسم منحنيات تشيرنهاوس . [ 2 ] كما ناقش رينيه ديكارت [ 3 ] وجيمس كلارك ماكسويل هذه التعميمات. [ 4 ]

منحنيات بيضاوية متعددة البؤر

إنشاء الشكل البيضاوي المحدد بواسطة AP + 2 BP = c باستخدام الدبابيس والقلم الرصاص والخيط كما وصفه جيمس كليرك ماكسويل.
إنشاء الشكل البيضاوي المحدد بواسطة AP + BP + CP = c باستخدام الدبابيس والقلم الرصاص والخيط كما وصفه جيمس كليرك ماكسويل.

خصص رينيه ديكارت في كتابه "الهندسة" (1637) قسماً من حوالي 15 صفحة لمناقشة ما أسماه القطع الناقص ثنائي البؤرة. وقد عُرِّف القطع الناقص ثنائي البؤرة هناك بأنه المحل الهندسي لنقطة P تتحرك في مستوى بحيثأP+λبP=ج{\displaystyle AP+\lambda BP=c}حيث A و B نقطتان ثابتتان في المستوى، و λ و c ثابتان قد يكونان موجبين أو سالبين. قدّم ديكارت هذه الأشكال البيضاوية، المعروفة الآن بالأشكال البيضاوية الديكارتية ، لتحديد أسطح الزجاج بحيث تلتقي الأشعة بعد انكسارها في النقطة نفسها. كما اعتبر ديكارت هذه الأشكال البيضاوية تعميمًا للمخروطيات المركزية، لأنه بالنسبة لقيم معينة من λ، تتحول هذه الأشكال البيضاوية إلى المخروطيات المألوفة، وهي الدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد. [ 3 ]

أعاد جيمس كلارك ماكسويل (1831-1879) اكتشاف الأشكال البيضاوية متعددة البؤر عندما كان لا يزال طالبًا. في سن الخامسة عشرة، كتب ماكسويل بحثًا علميًا حول هذه الأشكال بعنوان "ملاحظات على الأشكال المحيطة ذات البؤر المتعددة، وأنصاف أقطار بنسب مختلفة". قدّم جيمس ديفيد فوربس هذا البحث في اجتماع للجمعية الملكية في إدنبرة عام 1846. كما نشر فوربس ملخصًا للبحث في وقائع الجمعية الملكية في إدنبرة . [ 4 ] [ 5 ] في بحثه، ورغم أن ماكسويل لم يستخدم مصطلح "المخروط المعمم"، إلا أنه كان يتناول منحنيات تُعدّ تعميمًا للشرط الأساسي لتعريف القطع الناقص.

تعريف

الشكل البيضاوي متعدد البؤر هو منحنى يُعرَّف بأنه المحل الهندسي لنقطة تتحرك بحيث

λ1أ1P+λ2أ2P+⋯+λنأنP=ج{\displaystyle \lambda _{1}A_{1}P+\lambda _{2}A_{2}P+\cdots +\lambda _{n}A_{n}P=c}

حيث A1 ، A2 ، ...، An نقاط ثابتة في مستوى، و λ1، λ2 ، ... ، λn أعداد نسبية ثابتة، و c ثابت . وقدّم طرقًا بسيطة باستخدام دبوس وخيط وقلم رصاص لرسم هذه الأشكال البيضاوية .

طريقة رسم الشكل البيضاوي محددة بالمعادلةأP+2بP=ج{\displaystyle AP+2BP=c}يوضح هذا الشكل النهج العام الذي اتبعه ماكسويل لرسم هذه المنحنيات. ثبت دبوسين عند البؤرتين A و B. خذ خيطًا طوله c + AB واربط أحد طرفيه بالدبوس عند A. اربط قلم رصاص بالطرف الآخر من الخيط، ثم مرر الخيط حول الدبوس عند البؤرة B. بعد ذلك، حرك القلم مسترشدًا بانحناءة الخيط. المنحنى الذي يرسمه القلم هو المحل الهندسي للنقطة P. تتجلى براعته بشكل أوضح في وصفه لطريقة رسم شكل بيضاوي ثلاثي البؤر مُعرَّف بمعادلة من الشكل التالي:أP+بP+جP=ج{\displaystyle AP+BP+CP=c}لنفترض تثبيت ثلاثة دبابيس عند البؤر الثلاث A و B و C. لنفترض تثبيت أحد طرفي الخيط عند الدبوس عند النقطة C ، ولنفترض تمرير الخيط حول الدبابيس الأخرى. لنفترض ربط قلم رصاص بالطرف الآخر من الخيط. لنفترض أن القلم يعلق في حلقة من الخيط بين A و C ، ثم يمتد إلى النقطة P. يتم تحريك القلم بحيث يصبح الخيط مشدودًا. سيكون الشكل الناتج جزءًا من قطع ناقص ثلاثي البؤر. قد يلزم تعديل موضع الخيط للحصول على الشكل البيضاوي الكامل.

في العامين التاليين لتقديم بحثه إلى الجمعية الملكية في إدنبرة، قام ماكسويل بتطوير الخصائص الهندسية والبصرية لهذه الأشكال البيضاوية بشكل منهجي. [ 5 ]

التخصص والتعميم في منهج ماكسويل

كحالة خاصة من منهج ماكسويل، لننظر إلى القطع الناقص ذي البعد n - وهو موضع نقطة تتحرك بحيث يتحقق الشرط التالي:

أ1P+أ2P+⋯+أنP=ج.{\displaystyle A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P=c.\,}

بقسمة الناتج على n واستبدال c / n بـ c ، يمكن صياغة هذا الشرط المحدد على النحو التالي:

1ن(أ1P+أ2P+⋯+أنP)=ج{\displaystyle {\frac {1}{n}}(A_{1}P+A_{2}P+\cdots +A_{n}P)=c}

يشير هذا إلى تفسير بسيط: القطع المخروطي المعمم هو منحنى يكون فيه متوسط ​​المسافة بين كل نقطة P على المنحنى والمجموعة { A1 , A2 , ..., An } ثابتًا . وقد عُممت هذه الصيغة لمفهوم القطع المخروطي المعمم بطرق مختلفة.

  • غيّر تعريف المتوسط . في الصياغة، فُسِّر المتوسط ​​على أنه الوسط الحسابي. يمكن استبدال هذا بمفهوم آخر للمتوسطات، مثل المتوسط ​​الهندسي للمسافات. إذا استُخدم المتوسط ​​الهندسي لتحديد المتوسط، فإن المنحنيات الناتجة تُصبح منحنيات ليمنيسكات . "منحنيات الليمنيسكات هي مجموعات جميع نقاطها لها نفس المتوسط ​​الهندسي للمسافات (أي أن حاصل ضربها ثابت). تلعب منحنيات الليمنيسكات دورًا محوريًا في نظرية التقريب. يمكن تفسير التقريب متعدد الحدود لدالة تحليلية على أنه تقريب لمنحنيات المستوى باستخدام منحنيات الليمنيسكات. يتوافق حاصل ضرب المسافات مع القيمة المطلقة لتحليل الجذور لكثيرات الحدود في المستوى المركب ." [ 6 ]
  • غيّر عدد عناصر المجموعة البؤرية . عدّل التعريف بحيث يمكن تطبيقه حتى في حالة كون المجموعة البؤرية لانهائية. طُرحت هذه الإمكانية لأول مرة من قِبل سي. غروس وتي. ك. ستريمبل [2]، حيث طرحا مسألة إمكانية تعميم نتائج الحالة الكلاسيكية على حالة وجود عدد لا نهائي من النقاط البؤرية أو على مجموعة متصلة من البؤر. [ 7 ]
  • قم بتغيير بُعد الفضاء الأساسي . يمكن افتراض أن النقاط تقع في فضاء ذي بُعد d .
  • غيّر تعريف المسافة . تقليديًا، تُستخدم التعريفات الإقليدية. بدلًا منها، يمكن استخدام مفاهيم أخرى للمسافة، مثل مسافة سيارة الأجرة . [ 6 ] [ 8 ] وقد وجدت القطوع المخروطية المعممة، مع هذا المفهوم للمسافة، تطبيقات في التصوير المقطعي الهندسي . [ 6 ] [ 9 ]

تتضمن صياغة تعريف القطع المخروطي المعمم في الحالة العامة عندما تكون عناصر المجموعة البؤرية لانهائية مفاهيم المجموعات القابلة للقياس وتكامل ليبيغ . وقد استخدمها مؤلفون مختلفون، ودُرست المنحنيات الناتجة مع التركيز بشكل خاص على التطبيقات.

تعريف

يتركد:Rن→R{\displaystyle d:R^{n}\rightarrow R}كن مقياسًا وμ{\displaystyle \mu }مقياس على مجموعة مضغوطةك⊂Rن{\displaystyle K\subset R^{n}}معμ(ك)>0{\displaystyle \mu (K)>0}الدالة المخروطية المعممة غير الموزونةوك{\displaystyle f_{K}}مرتبط بـك{\displaystyle K}يكون

وك(x)=∫كز(x،y)د(x،y)دμy{\displaystyle f_{K}(x)=\int _{K}g(x,y)d(x,y)\,d_{\mu }y}

أينز:Rن×Rن→R{\displaystyle g:R^{n}\times R^{n}\rightarrow R}هي دالة نواة مرتبطة بـوك{\displaystyle f_{K}}.ك{\displaystyle K}هي مجموعة البؤر. مجموعات المستويات{x∈Rن:وك(x)<ج}{\displaystyle \{x\in R^{n}:f_{K}(x)<c\}}وتسمى هذه القطوع المخروطية المعممة. [ 6 ]

القطوع المخروطية المعممة باستخدام المعادلات القطبية

يوضح الشكل الوضع الأولي للمخروط الدائري القائم، بالإضافة إلى مقطع مستوٍ، قبل أن يتم فرده على مستوى.
يوضح الشكل موضعًا عشوائيًا لمخروط دائري قائم، بالإضافة إلى مقطع مستوٍ، أثناء فرد المخروط على مستوى. كما يوضح الشكل أيضًا القطع المخروطي المعمم (المنحنى المنقط في المستوى) الذي يُفرد إليه المقطع المخروطي على المخروط في المستوى.

بفرض وجود قطع مخروطي، باختيار إحدى بؤرتي القطع المخروطي كقطب، والخط المار بالقطب والمرسوم موازياً لدليل القطع المخروطي كمحور قطبي، يمكن كتابة المعادلة القطبية للقطع المخروطي بالشكل التالي:

ر=هـد1+هـالخطيئة⁡θ{\displaystyle r={\frac {ed}{1+e\sin \theta }}}

هنا، يُمثل e انحراف القطع المخروطي، و d المسافة بين الدليل والقطب. قدّم توم م. أبوستول وماميكون أ. مناتساكانيان، في دراستهما للمنحنيات المرسومة على أسطح المخاريط الدائرية القائمة، فئة جديدة من المنحنيات أطلقوا عليها اسم القطوع المخروطية المعممة. [ 10 ] [ 11 ] هذه منحنيات تتشابه معادلاتها القطبية مع المعادلات القطبية للقطوع المخروطية العادية، وتظهر القطوع المخروطية العادية كحالات خاصة من هذه القطوع المخروطية المعممة.

تعريف

بالنسبة للثوابت r ≥ 0 و λ ≥ 0 و k الحقيقي ، فإن المنحنى المستوي الموصوف بالمعادلة القطبية

ر=ر01+λالخطيئة⁡(كθ){\displaystyle r={\frac {r_{0}}{1+\lambda \sin(k\theta )}}}

يُطلق عليه اسم القطع المخروطي المعمم . [ 11 ] يُطلق على القطع المخروطي اسم القطع الناقص المعمم أو القطع المكافئ أو القطع الزائد وفقًا لـ λ < 1 أو λ = 1 أو λ > 1.

حالات خاصة

  • في الحالة الخاصة عندما k = 1، يتحول القطع المخروطي المعمم إلى قطع مخروطي عادي.
  • في الحالة الخاصة عندما يكون k > 1، توجد طريقة هندسية بسيطة لتوليد القطع المخروطي المعمم المقابل. [ 11 ]
لتكن α زاوية بحيث يكون sin α = 1/ k . لنفترض مخروطًا دائريًا قائمًا بزاوية نصف رأسية تساوي α . لنفترض تقاطع هذا المخروط مع مستوى بحيث يكون التقاطع قطعًا مخروطيًا بانحراف مركزي λ . لنقم بفرد المخروط إلى مستوى. عندئذٍ، يكون المنحنى في المستوى الذي تم فرد القطع المخروطي ذي الانحراف المركزي λ إليه قطعًا مخروطيًا معمّمًا بمعادلته القطبية كما هو موضح في التعريف.
  • في الحالة الخاصة عندما تكون قيمة k أقل من 1، لا يمكن الحصول على القطع المخروطي المعمم عن طريق فك التفاف القطع المخروطي. في هذه الحالة، يوجد تفسير آخر.
لنفترض وجود قطع مخروطي عادي مرسوم على مستوى. لفّ المستوى لتشكيل مخروط دائري قائم بحيث يصبح القطع المخروطي منحنى في الفضاء ثلاثي الأبعاد. إسقاط هذا المنحنى على مستوى عمودي على محور المخروط سيكون قطعًا مخروطيًا معمّمًا وفقًا لأبوستول ومناتساكانيان، حيث k < 1.

أمثلة

r₀ = 5، λ = 0.6، k = 1.5
r₀ = 5، λ = 0.22، k = 5.5
r 0 = 5، λ = 1، k = 1.5
r 0 = 5، λ = 1، k = 1.15
r₀ = 5، λ = 1.6، k = 1.5
r₀ = 5، λ = 0.8، k = 0.5
r₀ = 5، λ = 1.0، k = 0.5
r₀ = 5، λ = 1.5، k = 0.5

القطوع المخروطية المعممة في تقريب المنحنيات

في عام 1996، قدم رويبين كو مفهومًا جديدًا للقطع المخروطي المعمم كأداة لتوليد تقريبات للمنحنيات. [ 12 ] نقطة البداية لهذا التعميم هي النتيجة التي مفادها أن سلسلة النقاط{Pك:ك=0،1،2،...}{\displaystyle \{P_{k}:k=0,1,2,\ldots \}}محدد بواسطة

Pك+1=2αPك-Pك-1{\displaystyle P_{k+1}=2\alpha P_{k}-P_{k-1}}

تقع على قطع مخروطي. في هذا النهج، يُعرَّف القطع المخروطي المعمم الآن كما يلي.

تعريف

القطع المخروطي المعمم هو منحنى بحيث إذا كانت النقطتانP0{\displaystyle P_{0}}وP1{\displaystyle P_{1}}إذا كانت النقاط موجودة،{Pك:ك>1}{\displaystyle \{P_{k}:k>1\}}تم توليدها بواسطة العلاقة المتكررة

Pك+1=2αPك+βPك-1{\displaystyle P_{k+1}=2\alpha P_{k}+\beta P_{k-1}}

بالنسبة للبعضα{\displaystyle \alpha }وβ{\displaystyle \beta }إرضاء العلاقات

αβ≠0،(α،β)≠(±1،-1)،α2+β≠0{\displaystyle \alpha \beta \neq 0,\quad (\alpha ,\beta )\neq (\pm 1,-1),\quad \alpha ^{2}+\beta \neq 0}

وهم أيضاً يعملون عليه.

القطوع المخروطية المعممة كمجموعات متساوية البعد

رسم متحرك يوضح تكوين شكل بيضاوي كمجموعة متساوية البعد من دائرتين.

تعريف

ليكن ( X , d ) فضاءً متريًا، ولتكن A مجموعة جزئية غير فارغة من X. إذا كانت x نقطة في X ، فإن المسافة بين x و A تُعرَّف على النحو التالي: d ( x , A ) = inf{ d ( x , a ): a ∈ A }. إذا كانت A و B مجموعتين جزئيتين غير فارغتين من X، فإن المجموعة متساوية المسافة المحددة بواسطة A و B تُعرَّف على أنها المجموعة { x ∈ X : d ( x , A ) = d ( x , B )}. يُرمز لهذه المجموعة متساوية المسافة بالرمز { A = B }. يُستخدم مصطلح القطع المخروطي المعمم للدلالة على مجموعة متساوية المسافة بشكل عام. [ 13 ]

أمثلة

يمكن تمثيل القطوع المخروطية الكلاسيكية بمجموعات متساوية البعد. على سبيل المثال، إذا كانت A مجموعة أحادية و B خطًا مستقيمًا، فإن المجموعة متساوية البعد { A = B } تمثل قطعًا مكافئًا. وإذا كانت A و B دائرتين بحيث تقع A بالكامل داخل B، فإن المجموعة متساوية البعد { A = B } تمثل قطعًا ناقصًا. أما إذا كانت A تقع بالكامل خارج B، فإن المجموعة متساوية البعد { A = B } تمثل قطعًا زائدًا.

يتبنى نهج مشابه تعميمًا لتفسير البؤرة/الدليل/اللامركزية للمخروطيات، وذلك بالاحتفاظ بنقطة واحدة F كبؤرة، وأي منحنى قابل للتفاضل d كدليل، و e > 0 كلامركزية. ولتكن X نقطة متغيرة على d. يكون القطع المخروطي المعمم الناتج هو مجموعة النقاط P (تقع كل منها على عمود على d يمر عبر X ) التي تحقق فيها المسافتان PF و PX النسبة PF/PX = e . وقد أشار نورمان [ 14 ] وبوبلين [ 15 ] إلى هذه المنحنيات باسم شبه المخروطيات، وتم التخلي عن شرط أن تكون المسافة من P إلى الدليل في حدها الأدنى.

القطع المكافئ الزائف ذو الدليل المكافئ والتكعيبي، على التوالي

إذا تم الحفاظ على شرط الحد الأدنى، فإن مجموعة النقاط P التي تحقق هذا الشرط تُعتبر شبه مخروطية أساسية، وبقية المنحنى تُعتبر فرعًا ثانويًا من شبه المخروطية. يمكن إيجاد أمثلة مشابهة للقطع المكافئ المعمم في جوزيف وآخرون [ 16 ] .

مراجع

  1. ^ كسابا فينشي. "الهندسة المحدبة" . تم الاسترجاع 11 نوفمبر 2015 .
  2. ^ جيولا سز ناجي (يونيو 1950). "Tschirnhaus'sche Eiflachen und EiKurven". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae . 1 (2): 167-181 . دوى : 10.1007 / BF02021309 . S2CID 121088250 . 
  3. 1 2 إيفور غراتان-غينيس (2005). كتابات بارزة في الرياضيات الغربية 1640-1940 . إلسيفير. ص 13. ISBN  9780080457444تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 ديسمبر 2015 .
  4. 1 2 جيمس كلارك ماكسويل (1990). الرسائل والأوراق العلمية لجيمس كلارك ماكسويل: 1846-1862 (ورقة بحثية حول وصف المنحنيات البيضاوية) . أرشيف مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 35-42 . ISBN  9780521256254تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2015 .
  5. 1 2 ب. م. هارمان، بيتر مايكل هارمان (فبراير 2001). الفلسفة الطبيعية لجيمس كلارك ماكسويل . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 11-15 . ISBN  9780521005852تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 ديسمبر 2015 .
  6. 1 2 3 4 أبريس ناجي (2015). "مراجعة موجزة لنظرية القطوع المخروطية المعممة" (ملف PDF) . مجلة أكتا ماتيماتيكا أكاديميا بيداجوجيكا نييريغيهازينسيس . 31 : 81-96 . تاريخ الاسترجاع: 17 ديسمبر 2015 .
  7. ↑ سي. غروس وتي. ك. ستريمبل (1998). "حول تعميمات القطوع المخروطية وتعميم لمسألة فيرما-توريتشيلي". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 105 (8): 732-743 . doi : 10.2307/2588990 . JSTOR 2588990 . 
  8. ^ أكوس جي هورفاث، هورست مارتيني (2011). “المخروطيات في الطائرات المعيارية” (PDF) . مقتطفات الرياضيات . 26 (1): 29 – 43 . تم الاسترجاع 17 ديسمبر 2015 .
  9. ↑ أبريس ناجي. "القطوع المخروطية المعممة والتصوير المقطعي الهندسي" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 22 ديسمبر 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 ديسمبر 2015 .
  10. ↑ توم م . أبوستول وماميكون أ. مناتساكانيان (مايو 2007). "فكّ تغليف المنحنيات من الأسطوانات والمخاريط" (ملف PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 114 (5): 388-416 . doi : 10.1080/00029890.2007.11920429 . JSTOR 27642220. S2CID 5953158. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 11 ديسمبر 2015 .  
  11. 1 2 3 توم م. أبوستول وماميكون أ. مناتساكانيان (2012). آفاق جديدة في الهندسة . جمعية الرياضيات الأمريكية. ص. 197. ردمك  9780883853542.
  12. ↑ رويبين كو (ديسمبر 1997). "المنحنيات المخروطية المعممة وتطبيقاتها في تقريب المنحنيات". نظرية التقريب وتطبيقاتها . 13 (4): 57-74 .
  13. ↑ ماريو بونس، باتريسيو سانتيبانيز (يناير 2014). "حول المجموعات متساوية البعد والقطوع المخروطية المعممة: القديم والجديد" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 121 (1): 18-32 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.121.01.018 . hdl : 10533/140755 . S2CID 207521114. تاريخ الاسترجاع: 10 نوفمبر 2015 . 
  14. ↑ نورمان، ف. أ. (1986). دراسة القطوع المخروطية المعممة: فرصة للطلاب لإنشاء الرياضيات.  تأملات، 33 (2)، 12-15.
  15. ↑ بوبلين، ب. ل. (1990). الأشكال شبه المخروطية . رسالة ماجستير. قسم الرياضيات، جامعة ولاية أبالاتشيان. بون، كارولاينا الشمالية.
  16. ↑ دان جوزيف، غريغوري هارتمان وكالب جيبسون (2011) القطوع المكافئة المعممة، مجلة الرياضيات الجامعية ، 42:4، 275-282، DOI: 10.4169/college.math.j.42.4.275

للمزيد من القراءة

  • للحصول على مناقشة مفصلة حول القطوع المخروطية المعممة من وجهة نظر الهندسة التفاضلية، انظر الفصل الخاص بالقطوع المخروطية المعممة في كتاب الهندسة المحدبة للمؤلف تشابا فينس، والمتوفر على الإنترنت. [ 1 ]
  1. ↑ تشابا فينس. "الهندسة المحدبة، الفصل العاشر: القطوع المخروطية المعممة" . قاعدة بيانات Digitalis Tankonyvtar . تاريخ الاسترجاع: 17 ديسمبر 2015 .