فرز الأصوات الفردية القابلة للتحويل

عندما وضع توماس هير تصوره الأصلي لنظام التصويت الفردي القابل للتحويل، كان يتصور استخدام نظام الحصص:

${\displaystyle {\frac {\text{votes}}{\text{seats}}}}$

نظام حصة هير بسيط من الناحية الرياضية. حجمه الكبير يعني أن الأعضاء المنتخبين لديهم عدد أقل من الأصوات الفائضة، وبالتالي لا يستفيد المرشحون الآخرون من تحويلات الأصوات بنفس القدر الذي يستفيدون منه في أنظمة أخرى. قد يُستبعد بعض المرشحين في هذه العملية، ممن ربما لم يُستبعدوا في ظل أنظمة أخرى تُحوّل عددًا أكبر من الأصوات الفائضة. قد يُسبب استبعادهم درجة من عدم التناسب، وهي درجة أقل احتمالًا مع نظام حصة أصغر، مثل نظام حصة دروب.

الصيغة الأكثر شيوعًا لتحديد الحصص هي حصة الانخفاض ، وهي رقم أكبر من هذا المقدار:

${\displaystyle {\frac {\text{votes}}{{\text{seats}}+1}}}$

إن حصة دروب هي دائماً عدد أقل من الأصوات التي يتم حسابها بواسطة طريقة هير.

بسبب هذا الاختلاف، في ظل نظام دروب، يرجح أن يحقق الفائزون الحصة المطلوبة بدلاً من انتخابهم كآخر مرشح متبقٍ بعد استبعاد أو انتخاب مرشحين آخرين. ولكن في الانتخابات الواقعية، إذا لم تتطلب أوراق الاقتراع الصحيحة ترتيب جميع المرشحين، فمن الشائع حتى في ظل نظام دروب انتخاب مرشح أو اثنين بحصة جزئية في النهاية، حيث يتقلص عدد المرشحين إلى عدد المقاعد الشاغرة المتبقية، وتصبح الأصوات الصحيحة المتبقية أقل.

يؤدي استخدام نظام دروب إلى استبعاد ما يقارب حصة كاملة من الأصوات، إما بسبب نفادها أو حصول مرشحين غير فائزين عليها، وبالتالي يتم تجاهلها. على عكس النظام الذي يستخدم نظام هير مع إلزامية ملء ورقة الاقتراع بالكامل، ومع وجود أنظمة STV التي تستخدم التصويت التفضيلي الاختياري ونظام دروب، فإن نسبة معينة من أوراق الاقتراع لا تُستخدم لانتخاب أي شخص. ونتيجة لذلك، يرى البعض أن نظام دروب يميل إلى عدم التناسب والتحيز لصالح الأحزاب الكبيرة. ^{[ 1 ]}

صُممت حصص دروب ونظام هير-كلارك الانتخابي لتسهيل عملية فرز الأصوات يدويًا. ومع ظهور أنظمة الفرز الحاسوبية، يرى البعض أنها قديمة ومعيبة، إذ لا تعكس نوايا الناخبين. ومع اعتماد التكنولوجيا الحاسوبية، قد يُفضّل نظام فرز الأصوات التكراري، كنظام رايت، لأنه يعكس نوايا الناخبين بدقة أكبر. في ظل النظام التكراري، لا حاجة ولا مبرر لاستخدام حصص دروب.

مع ذلك، تستخدم معظم أنظمة التصويت التفضيلي الفردي (STV) في العالم نظام دروب. ويرى كثيرون أنه أكثر عدلاً للأحزاب الكبيرة من نظام هير. ^{[ 2 ]} ففي نظام دروب، يُضمن لمجموعة تضم نصف الناخبين على الأقل الفوز بنصف المقاعد على الأقل، وهو ما لا يتحقق دائمًا باستخدام نظام هير. ^{[ 3 ]} كما أن نظام دروب - لكونه أصغر من نظام هير - قد يمنح مقعدًا لحزب أصغر، وهو ما لا يتحقق في نظام هير.  

إذا كان التحويل يتعلق بالفائض الذي تم الحصول عليه في العد الأول، فإن التحويلات تتم بالرجوع إلى جميع الأصوات التي حصل عليها المرشح الفائز.

إذا كان التحويل يتعلق بالفائض الذي تم استلامه بعد العد الأول من خلال التحويل من مرشح آخر، فإن التحويلات تتم بالرجوع إلى جميع الأصوات التي حصل عليها المرشح الفائز أو بالرجوع فقط إلى أحدث تحويل تلقاه المرشح الفائز.

تُسحب أوراق الاقتراع لإعادة التوزيع عشوائياً من أحدث الأوراق التي تم استلامها. في عملية العد اليدوي للأوراق، تُعد هذه الطريقة الأسهل للتطبيق.

يتم نقل الأصوات كأصوات كاملة. ولا يتم استخدام الأصوات الجزئية.

هذا النظام قريب من اقتراح توماس هير الأصلي لعام 1857. ويُستخدم في انتخابات جمهورية أيرلندا لمجلس النواب (Dáil Éireann )، ^{[ 5 ]} وللحكومات المحلية ، ^{[ 6 ]} وللبرلمان الأوروبي ، ^{[ 7 ]} وللدوائر الجامعية في مجلس الشيوخ ( Seanad Éireann ). ^{[ 8 ]}

يُوصف هذا أحيانًا بأنه "عشوائي" لأنه لا يأخذ في الاعتبار تفضيلات النسخ الاحتياطية اللاحقة، بل يعتمد فقط على التفضيل التالي المتاح. ومن خلال السحب العشوائي للأصوات لتكوين عملية النقل، تعكس عمليات النقل إحصائيًا في كثير من الأحيان تركيبة الأصوات التي حصل عليها المرشح الفائز.

أحيانًا، تُخلط أوراق اقتراع المرشح المنتخب يدويًا. في كامبريدج، ماساتشوستس ، تُحصى الأصوات في كل دائرة انتخابية على حدة، مما يُرتب الأصوات ترتيبًا زائفًا. ولمنع وصول جميع أوراق الاقتراع المنقولة من نفس الدائرة، يتم فرز كل ورقة اقتراع على حدة.${\displaystyle n}$يتم اختيار ورقة الاقتراع رقم 1، حيث${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}\end{matrix}}}$هو الكسر المطلوب اختياره.

نظام رايت هو عملية عد خطية متكررة حيث يتم إعادة ضبط الحصة وإعادة فرز الأصوات عند استبعاد كل مرشح، وتوزيع الأصوات وفقًا لترتيب تفضيل الناخبين، واستبعاد المرشحين الذين تم استبعادهم من العد كما لو لم يتم ترشيحهم.

لكل مرشح ناجح يتجاوز الحد الأدنى للأصوات المطلوبة، احسب نسبة الأصوات الفائضة لهذا المرشح (أي الزيادة عن الحد الأدنى) مقسومة على إجمالي عدد الأصوات التي حصل عليها، بما في ذلك قيمة التحويلات السابقة. انقل أصوات هذا المرشح إلى المرشح المفضل التالي لكل ناخب. زد عدد أصوات المتلقي بضرب النسبة في قيمة ورقة الاقتراع كقيمة التحويل السابق (1 للعد الأولي).

يستمر احتساب كل صوت تفضيلي حتى استنفاد جميع الخيارات في ورقة الاقتراع أو انتهاء الانتخابات. يتمثل عيبه الرئيسي في أنه عند وجود أعداد كبيرة من الأصوات أو المرشحين أو المقاعد، يصبح فرز الأصوات يدويًا عبئًا إداريًا كبيرًا نظرًا لكثرة التدخلات. لا ينطبق هذا على استخدام التوزيع الإلكتروني للأصوات التفضيلية.

يُستخدم هذا الأسلوب في انتخابات مجلس النواب في تسمانيا وإقليم العاصمة الأسترالية. وتُستخدم طريقة غريغوري (نقل الأصوات الجزئية)، ولكن توزيع الأصوات المنقولة يعتمد فقط على التفضيل التالي القابل للاستخدام والمُحدد في أصوات آخر حزمة نُقلت إلى المرشح الفائز. ^{[ 9 ]}

تعرضت طريقة نقل الأصوات الأخيرة لانتقاداتٍ لكونها معيبةً في جوهرها، إذ تُستخدم شريحةٌ واحدةٌ فقط من الأصوات لنقل قيمة الأصوات الفائضة، ما يحرم الناخبين الآخرين الذين ساهموا في فوز المرشح من حقهم في المشاركة في توزيع الفائض. في الشرح التالي، Q هي الحصة المطلوبة للفوز بالانتخابات.

1. احسب أصوات التفضيلات الأولى.
2. أعلن فوز المرشحين الذين يبلغ مجموع نقاطهم Q على الأقل.
3. لكل فائز، احسب الفائض (إجمالي عدد الأصوات مطروحًا منه Q).
4. لكل فائز، حسب ترتيب الفائض التنازلي:
   1. قم بتخصيص بطاقات الاقتراع الخاصة بالفائز للمرشحين وفقًا للأفضلية التالية القابلة للاستخدام في كل بطاقة اقتراع من آخر طرد تم استلامه، مع وضع بطاقات الاقتراع المستنفدة جانبًا.
   2. احسب نسبة الفائض إلى عدد أوراق الاقتراع المعاد تخصيصها أو 1 إذا كان عدد هذه الأوراق أقل من الفائض.
   3. لكل مرشح، اضرب النسبة في عدد الأصوات المعاد تخصيصها لهذا المرشح وأضف النتيجة (بعد تقريبها إلى الأدنى) إلى مجموع أصوات المرشح.
5. كرر الخطوات من 3 إلى 5 حتى يفوز جميع المرشحين أو حتى يتم استنفاد جميع أوراق الاقتراع.
6. إذا كانت هناك حاجة إلى المزيد من الفائزين، فأعلن عن المرشح الحاصل على أقل عدد من الأصوات كخاسر، وأعد توزيع أوراق اقتراع ذلك المرشح وفقًا للتفضيل التالي لكل ورقة اقتراع.

يجب شغل مقعدين من بين أربعة مرشحين: أندريا، وبراد، وكارتر، وديليلا. أدلى 57 ناخبًا بأصواتهم وفقًا لترتيب التفضيل التالي:

يتم حساب الحصة على النحو التالي:${\displaystyle {57 \over 2+1}=19}$في الجولة الأولى، انتُخبت أندريا، ونُقلت أصواتها العشرين الزائدة. في الجولة الثانية، استُبعد كارتر، المرشح الحاصل على أقل عدد من الأصوات. وُجّهت أصواته الثمانية إلى براد كخيار ثانٍ. وبذلك، حصل براد على 20 صوتًا (متجاوزًا الحصة المطلوبة)، مما أهّله للفوز بالمقعد الثاني.

عدد:	أندريا	براد	كارتر	دليلة	نتيجة
الأول	39 سنة	0	0	17	أندريا انتُخبت
الثاني	19 سنة	12	8 شمالاً	17	تم إقصاء كارتر
الثالث	19 سنة	20 سنة	0 شمال	17	براد منتخب

تنص أنظمة أخرى، مثل تلك المستخدمة في أشتيبولا وكالامازو وسكرامنتو وكليفلاند، على سحب الأصوات المراد نقلها عشوائيًا بأعداد متساوية من كل مركز اقتراع. في نظام التصويت التفضيلي الفردي (STV) المستخدم في سينسيناتي (1924-1957) وفي انتخابات مدينة كامبريدج، كانت الأصوات التي يحصل عليها المرشح الفائز تُرقّم تسلسليًا؛ ثم، إذا شكلت الأصوات الفائضة ربع الأصوات التي حصل عليها المرشح الفائز، يُستخرج كل صوت يحمل رقمًا من مضاعفات العدد أربعة ويُنقل إلى الخيار المفضل التالي المتاح في كل من تلك الأصوات. (في استخدامات نظام التصويت التفضيلي الفردي (STV) في بريطانيا وأيرلندا وكندا، استُخدمت طريقة التصويت الكامل الموضحة أعلاه). ^{[ 10 ]}

تُعرف طريقة غريغوري، أو قواعد مجلس الشيوخ (نسبةً إلى استخدامها في معظم مقاعد انتخابات مجلس الشيوخ الأيرلندي )، أو طريقة غريغوري (نسبةً إلى مخترعها عام 1880، جيه بي غريغوري من ملبورن )، بأنها تقضي على عنصر العشوائية تمامًا. فبدلًا من نقل جزء من الأصوات بقيمتها الكاملة ، تنقل هذه الطريقة كل صوت من الأصوات ذات الصلة بقيمة جزئية .

في المثال أعلاه، الكسر ذو الصلة هو${\displaystyle \textstyle {\frac {72}{272-92}}={\frac {4}{10}}}$لاحظ أن جزءًا من نتيجة التصويت البالغة 272 صوتًا قد يكون ناتجًا عن عمليات نقل سابقة؛ على سبيل المثال، ربما تم انتخاب Y بـ 250 صوتًا، و150 صوتًا مع X كخيار ثانٍ، بحيث يكون النقل السابق لـ 30 صوتًا في الواقع 150 ورقة اقتراع بقيمة 150 صوتًا.${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{5}}}$في هذه الحالة، ستُعاد هذه الأصوات الـ 150 إلى صناديق الاقتراع بقيمة كسرية مركبة قدرها${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{5}}\times {\frac {4}{10}}={\frac {4}{50}}}$.

في جمهورية أيرلندا، تُستخدم طريقة غريغوري في انتخابات المقاعد الـ 43 في اللجان المهنية في مجلس الشيوخ الأيرلندي ( Seanad Éireann) ، الذي يقتصر حق التصويت فيه على 949 عضوًا من أعضاء السلطات المحلية وأعضاء البرلمان الأيرلندي ( Oireachtas ). ^{[ 11 ]} أما في أيرلندا الشمالية ، فتُستخدم طريقة غريغوري منذ عام 1973 في جميع انتخابات نظام التصويت التفضيلي الفردي (STV)، مع إمكانية نقل ما يصل إلى 7 أجزاء من الأصوات (في انتخابات مجالس المقاطعات ذات 8 مقاعد)، وفرز ما يصل إلى 700,000 صوت (في انتخابات البرلمان الأوروبي ذات 3 مقاعد عن دائرة أيرلندا الشمالية الانتخابية في الاتحاد الأوروبي من عام 1979 إلى عام 2020).

ثمة طريقة بديلة للتعبير عن غريغوري في حساب قيمة فائض التحويل المطبقة على كل صوت وهي $${\displaystyle {\text{قيمة التحويل الفائضة}}=\left({{{\text{إجمالي قيمة أصوات المرشح}}-{\text{الحصة}}} \over {\text{إجمالي قيمة أصوات المرشح}}}\right)\times {\text{قيمة كل صوت}}}$$

تُستخدم طريقة غريغوري الشاملة غير المرجحة في انتخابات مجلس الشيوخ الأسترالي . ^{[ 12 ]} تُعطي هذه الطريقة وزنًا متساويًا لجميع أوراق الاقتراع الخاصة بالمرشح المنتخب. وقد يؤدي ذلك إلى تشويه قيم التحويل في حال تم تحويل عدد كبير من أوراق الاقتراع بمعدل منخفض. $${\displaystyle {\text{surplus transfer value}}={{{\text{total value of candidate's votes}}-{\text{quota}}} \over {\text{ballot papers for candidate}}}}$$

يتم التغلب على هذه المشكلة في طريقة غريغوري الشاملة الموزونة.

بعض طرق غريغوري المستخدمة تنقل فقط الأعداد الصحيحة المكونة من مجموع الأصوات الكسرية المختلفة. وهذا يبسط العمليات الحسابية. ^{[ 13 ]}

يمكن محاكاة تأثير نظام غريغوري دون استخدام القيم الكسرية من خلال طريقة التوزيع النسبي للقوائم الحزبية ، مثل طريقة ديهوندت ، أو ويبستر/سانت لاغو، أو هير-نيمير . يخصص نظام التمثيل النسبي للقوائم الحزبية حصة من مقاعد المجلس التشريعي لحزب سياسي بما يتناسب مع حصته من الأصوات، وهي مهمة تُعادل رياضياً تحديد حصة من الأصوات الفائضة تُنقل إلى مرشح مُحتمل بناءً على إجمالي الأصوات التي حصل عليها مرشح مُستبعد.

مثال: إذا كان العدد المخصص 200 صوتًا، وحصل الفائز على 272 صوتًا من اختياره الأول، فإن الفائض هو 72 صوتًا. إذا لم يكن هناك مرشح آخر مدرج في 92 صوتًا من أصوات الفائز البالغ عددها 272 صوتًا، فإن الأصوات المتبقية البالغ عددها 180 صوتًا لها خيار ثانٍ ويمكن نقلها.

Of the 180 votes which can be transferred, 75 have hopeful X as their second choice, 43 have hopeful Y as their second choice, and 62 have hopeful Z as their second choice. The D'Hondt system is applied to determine how the surplus votes would be transferred –successive quotients are calculated for each hopeful candidate, one surplus vote is transferred to the hopeful candidate with the largest quotient, and the hopeful candidate's quotient is recalculated; this is repeated until all surplus votes have been transferred.

As a result of this process, 30 surplus votes have been transferred to hopeful X, 17 to hopeful Y, and 25 to hopeful Z.

In 1969, B. L. Meek devised a vote counting algorithm based on the Senatorial (Gregory) vote counting rules. The Meek algorithm uses an iterative approximation to short-circuit the infinite recursion that results when there are secondary preferences for prior winners. This system is currently used for some local elections in New Zealand,^[14][15] and for elections of moderators on some internet websites, e.g. Stack Exchange portals.^[16]

All candidates are allocated one of three statuses –hopeful, elected, or excluded. Hopeful is the default. Each status has a weighting, or keep value, which is the fraction of the vote a candidate will receive for any preferences allocated to them while holding that status.

The weightings are:

Hopeful	${\displaystyle 1}$
Excluded	${\displaystyle 0}$
Elected	${\displaystyle w_{\text{new}}=w_{\text{old}}\times {\frac {\text{Quota}}{\text{Candidate's votes}}}}$ which is repeated until ${\displaystyle {\text{Candidate's votes}}={\text{Quota}}}$ for all elected candidates

Thus, if a candidate is hopeful, they retain the whole of the remaining preferences allocated to them, and subsequent preferences are worth 0.

إذا تم انتخاب مرشح، فإنه يحتفظ بجزء من قيمة التفضيلات المخصصة له، وهو ما يمثل قيمة وزنه ؛ أما الباقي فيُوزع جزئيًا على التفضيلات اللاحقة حسب وزنها. على سبيل المثال، لنفترض ورقة اقتراع تتضمن التفضيلات العليا أ، ب، ج، د بهذا الترتيب، حيث تكون أوزان المرشحين هي${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$، و${\displaystyle d}$على التوالي. من هذه الورقة الانتخابية، سيحتفظ أ${\displaystyle r_{A}=a}$سيحتفظ بـ B${\displaystyle r_{B}=(1-a)b}$سيحتفظ C${\displaystyle r_{C}=(1-a)(1-b)c}$وسيحتفظ د${\displaystyle r_{D}=(1-a)(1-b)(1-c)d}$.

إذا لم يحصل أي مرشح في ورقة الاقتراع على وزن يساوي 1، فإن مجموع الأوزان التي يحتفظ بها المرشحون في ورقة الاقتراع سيكون أقل من 1. يُطلق على مقدار الزيادة عن 1 في مجموع ورقة الاقتراع اسم "الفائض"، ويتم التخلص من إجمالي الفائض من جميع أوراق الاقتراع عن طريق تعديل الحصة. تُعد طريقة ميك الطريقة الوحيدة لتغيير الحصة أثناء العملية. يتم تحديد الحصة بواسطة

$${\displaystyle {{{\text{votes}}-{\text{excess}}} \over {\text{seats}}+1},}$$ يُعد هذا شكلاً معدلاً من أشكال Droop. ويؤدي هذا أيضاً إلى تغيير وزن كل مرشح.

تستمر هذه العملية حتى تتطابق قيم أصوات جميع المرشحين المنتخبين بشكل وثيق مع الحصة (بزيادة أو نقصان 0.0001%). ^{[ 17 ]}

في عام ١٩٩٤، اقترحت سي إي وارن طريقة أخرى لتمرير الأصوات الفائضة إلى المرشحين المنتخبين سابقًا. ^{[ ١٨ ]} تتطابق طريقة وارن مع طريقة ميك باستثناء عدد الأصوات التي يحتفظ بها الفائزون. فبموجب طريقة وارن، بدلًا من الاحتفاظ بنسبة من قيمة كل صوت تُحسب بضرب الوزن في قيمة الصوت، يحتفظ المرشح بمقدار من قيمة الصوت الكلية يُحسب بالوزن ، أو ما تبقى من قيمة الصوت إذا كان أقل من الوزن .

لنفترض مجدداً ورقة اقتراع تتضمن الخيارات المفضلة A وB وC وD حيث تكون الأوزان a و b و c و d . وفقاً لطريقة وارن، سيحتفظ الخيار A بالوزن r _A = a ، وسيحتفظ الخيار B بالوزن r _B = min( b , 1− r _A ) ، وسيحتفظ الخيار C بالوزن r _C = min( c , 1− r _A − r _B ) ، وسيحتفظ الخيار D بالوزن r _D = min( d , 1− r _A − r _B − r _C ) .

نظراً لأن المرشحين يحصلون على قيم مختلفة للأصوات، فإن الأوزان التي تحددها وارن تختلف بشكل عام عن تلك التي يحددها ميك.

في ظل نظام وارن، كل صوت يساهم في دعم مرشح ما، بقدر استطاعته، يساهم بنفس النسبة التي يساهم بها كل صوت آخر من هذا القبيل. ^{[ 19 ]}

يمكن لقواعد الاستبعاد الجماعي تقليل عدد الخطوات المطلوبة في عملية العد. يتطلب الاستبعاد الجماعي حساب نقاط فاصلة . يمكن إدراج أي مرشحين تقل نتائجهم عن نقطة فاصلة في عملية الاستبعاد الجماعي، شريطة ألا تتجاوز قيمة المجموع التراكمي المرتبط بها الفرق بين إجمالي نتائج أعلى مرشح محتمل والحصة المحددة.

لتحديد نقطة التحول، يتم سرد نتائج كل مرشح بترتيب تنازلي، ثم حساب مجموع أصوات جميع المرشحين الأقل من نتيجة المرشح المعني. الأنواع الأربعة هي:

• نقطة انقطاع الحصة - أعلى قيمة إجمالية جارية تقل عن نصف الحصة
• نقطة التوقف الجارية - أعلى عدد أصوات للمرشح الذي يقل عن المجموع التراكمي المرتبط به
• نقطة الفصل بين المجموعات: هي أعلى نتيجة يحصل عليها مرشح في مجموعة ما، والتي تقل عن مجموع نتائج مرشحي المجموعة الذين تقل نتائجهم عن نتيجة المرشح المعني. (ينطبق هذا فقط في حال وجود مجموعات محددة من المرشحين، كما هو الحال في الانتخابات العامة الأسترالية، التي تستخدم نظام التصويت الجماعي المباشر ).
• الحد الفاصل المُطبق: هو أعلى مجموع تراكمي أقل من الفرق بين مجموع أصوات المرشح الأعلى والحصة المطلوبة (أي أن مجموع أصوات المرشحين الأقل لا يؤثر على النتيجة). جميع المرشحين الذين تتجاوز أصواتهم الحد الفاصل المُطبق يستمرون في الجولة التالية.

قد لا تنطبق نقاط الفصل الخاصة بالحصص على بطاقات الاقتراع التفضيلية الاختيارية أو إذا كان هناك أكثر من مقعد شاغر. لا ينبغي إدراج المرشحين الذين تتجاوز نسبتهم نقطة الفصل المطبقة في عملية الاستبعاد الجماعي إلا إذا كانت حصة مجاورة أو نقطة فصل جارية (انظر مثال فرز أصوات مجلس شيوخ تسمانيا لعام 2007 أدناه).