المسألة الرابعة عشرة لهيلبرت

في الرياضيات ، تسأل المسألة الرابعة عشرة لهيلبرت ، أي المسألة رقم 14 من مسائل هيلبرت التي تم اقتراحها في عام 1900، عما إذا كانت بعض الجبر مولدة بشكل نهائي .

الإعداد كالتالي: افترض أن k حقل، وليكن K حقلاً فرعياً من حقل الدوال الكسرية في n متغيراً.

${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$زيادة${\displaystyle k}$.

لننظر الآن إلى الجبر k- الـ R المعرف على أنه التقاطع

${\displaystyle R:=K\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]\ .}$

افترض هيلبرت أن جميع هذه الجبريات مولدة بشكل نهائي على k .

تم التوصل إلى بعض النتائج التي تؤكد صحة حدسية هيلبرت في حالات خاصة ولفئات معينة من الحلقات (على وجه الخصوص، أثبت زاريسكي صحة الحدسية بشكل قاطع عندما n = 1 و n = 2 في عام 1954). ثم في عام 1959، وجد ماسايوشي ناجاتا مثالًا مضادًا لحدسية هيلبرت. ويتمثل هذا المثال في حلقة ثوابت مُنشأة بشكل مناسب لتأثير زمرة جبرية خطية .

نشأت هذه المشكلة في الأصل في نظرية الثوابت الجبرية. هنا _، تُعرَّف الحلقة R على أنها حلقة (مُعرَّفة تعريفًا مناسبًا) من ثوابت كثيرات الحدود لمجموعة جبرية خطية على حقل k _، تؤثر جبريًا على حلقة كثيرات الحدود k [ x1 , ..., xn ] (أو بشكل أعم، على جبر مُوَلَّد نهائيًا مُعرَّف على حقل). في هذه الحالة، يُمثِّل الحقل K حقل الدوال الكسرية (حاصل قسمة كثيرات الحدود) في المتغيرات xᵢ _، وهي ثابتة تحت تأثير المجموعة الجبرية المُعطاة، بينما تُمثِّل الحلقة R حلقة كثيرات الحدود الثابتة تحت هذا التأثير. ومن الأمثلة الكلاسيكية في القرن التاسع عشر الدراسة المُستفيضة (وخاصةً من قِبَل كايلي ، وسيلفستر ، وكلبيش ، وبول جوردان ، وهيلبرت أيضًا) لثوابت الأشكال الثنائية في متغيرين مع التأثير الطبيعي للمجموعة الخطية الخاصة _SL₂ ( k ) عليها. أثبت هيلبرت بنفسه التوليد المحدود للحلقات الثابتة في حقل الأعداد المركبة لبعض زمر لي شبه البسيطة الكلاسيكية (وخاصة الزمرة الخطية العامة على الأعداد المركبة) وللتأثيرات الخطية المحددة على حلقات كثيرات الحدود، أي التأثيرات الناتجة عن تمثيلات محدودة الأبعاد لزمرة لي. وقد وسّع هيرمان فايل لاحقًا هذه النتيجة المتعلقة بالتوحيد لتشمل جميع زمر لي شبه البسيطة. ومن أهم عناصر برهان هيلبرت نظرية أساس هيلبرت المطبقة على المثالي داخل حلقة كثيرات الحدود المولدة بواسطة الثوابت.

يطرح زاريسكي في صياغته للمسألة الرابعة عشرة لهيلبرت سؤالاً حول ما إذا كانت حلقة الدوال المنتظمة على X مولدة بشكل نهائي على k ، بالنسبة لمجموعة جبرية شبه أفينية X على حقل k ، بافتراض أن X طبيعي أو أملس .

^{وقد ثبت [ 1 ]} أن صياغة زاريسكي مكافئة للمسألة الأصلية، بالنسبة لـ X الطبيعي. (انظر أيضًا: نظرية زاريسكي عن التناهي .)

قدم إيفندييف إف إف (فؤاد أفندي) خوارزمية متناظرة لتوليد أساس الثوابت للأشكال من الدرجة r. ^{[ 2 ]}

قدّم ناجاتا (1960) المثال المضاد التالي لمسألة هيلبرت. الحقل k هو حقل يحتوي على 48 عنصرًا _a₁ᵢ ، _... ، a₁₆ᵢ _، حيث i = 1، 2، 3 _، وهي عناصر مستقلة جبريًا على الحقل الأولي. الحلقة R هي حلقة كثيرات الحدود k [ x₁ _, ..., x₁₆ , _{t₁ ,} ..., t₁₆ ] في 32 متغيرًا _. الفضاء المتجهي V هو فضاء متجهي ^ذو 13 بُعدًا على k، _ويتألف من جميع المتجهات ( b₁ _, ..., b₁₆ ) في k₁₆ المتعامدة مع كل متجه من المتجهات الثلاثة ( a₁ᵢ , ..., a₁₆ᵢ ₎ حيث i = 1، 2، 3. الفضاء المتجهي _{V هو زمرة} جبرية تبديلية أحادية القوة ذات 13 بُعدًا تحت تأثير الجمع، وتؤثر عناصره على _R بتثبيت جميع العناصر tⱼ وأخذ xⱼ إلى xⱼ + bⱼtⱼ . وبالتالي _{، فإن} حلقة عناصر R الثابتة تحت تأثير الزمرة _V ليست جبرًا منتهيًا _من الرتبة k .

قام العديد من المؤلفين بتقليص حجم المجموعة والفضاء المتجهي في مثال ناجاتا. على سبيل المثال، بيّن توتارو (2008) أنه على أي حقل يوجد تأثير لمجموع G ³ _a لثلاث نسخ من المجموعة الجمعية على k ¹⁸ التي لا تكون حلقة ثوابتها مولدة توليداً نهائياً.

• الاشتقاق المحلي عديم القوة
• تخمين ناجاتا حول المنحنيات

فهرس

• ناغاتا، ماسايوشي (1960) [1958]، "حول المسألة الرابعة عشرة لهيلبرت" ، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات 1958 ، مطبعة جامعة كامبريدج ، الصفحات 459-462 ، MR 0116056 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 17-07-2011  
• ناغاتا، ماسايوشي (1965)، محاضرات حول المسألة الرابعة عشرة لهيلبرت (ملف PDF) ، محاضرات معهد تاتا للأبحاث الأساسية في الرياضيات، المجلد  31، بومباي: معهد تاتا للأبحاث الأساسية، MR 0215828 
• توتارو، بيرت (2008)، "مسألة هيلبرت الرابعة عشرة على الحقول المنتهية وتخمين حول مخروط المنحنيات"، Compositio Mathematica ، 144 (5): 1176-1198 ، arXiv : 0808.0695 ، doi : 10.1112/S0010437X08003667 ، ISSN 0010-437X ، MR 2457523  
• O. Zariski، تفسيرات جبرية هندسية دو quatorzieme مشكلة هيلبرت ، نشرة علوم الرياضيات 78 (1954)، ص  155-168.

الحواشي