توزيع هولتسمارك

يُعد توزيع هولتسمارك (أحادي البعد) توزيعًا احتماليًا مستمرًا . وهو حالة خاصة من التوزيع المستقر ذي مؤشر الاستقرار أو معامل الشكل.${\displaystyle \alpha }$يساوي 3/2 ومعامل الالتواء${\displaystyle \beta }$من الصفر. بما أن${\displaystyle \beta }$عندما تساوي قيمة المتغير التابع صفرًا، يكون التوزيع متناظرًا، وبالتالي يُعد مثالًا على التوزيع المتناظر ألفا-المستقر. يُعد توزيع هولتسمارك أحد الأمثلة القليلة على التوزيعات المستقرة التي تُعرف لها صيغة مغلقة لدالة كثافة الاحتمال . مع ذلك، لا يمكن التعبير عن دالة كثافة الاحتمال الخاصة به بدلالة الدوال الأولية ؛ بل تُعبّر عنها بدلالة الدوال فوق الهندسية .

يُستخدم توزيع هولتسمارك في فيزياء البلازما والفيزياء الفلكية. ^{[ 1 ]} في عام 1919، اقترح الفيزيائي النرويجي يوهان بيتر هولتسمارك هذا التوزيع كنموذج للحقول المتذبذبة في البلازما الناتجة عن حركة الجسيمات المشحونة. ^{[ 2 ]} كما أنه قابل للتطبيق على أنواع أخرى من قوى كولوم، ولا سيما في نمذجة الأجسام الجاذبة، ولذا فهو ذو أهمية في الفيزياء الفلكية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

الدالة المميزة للتوزيع المستقر المتماثل هي:

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{\alpha }\right],}$$

أين${\displaystyle \alpha }$هو معامل الشكل، أو مؤشر الاستقرار،${\displaystyle \mu }$يمثل معامل الموقع ، و c هو معامل المقياس .

منذ أن قامت شركة هولتسمارك للتوزيع${\displaystyle \alpha =3/2,}$وظيفتها المميزة هي: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left[~it\mu \!-\!\left|ct\right|^{3/2}\right].}$$

بما أن توزيع هولتسمارك هو توزيع مستقر حيث α > 1 ،${\displaystyle \mu }$يمثل متوسط ​​التوزيع. ^{[ 6 ] [ 7 ]} بما أن β = 0 ،${\displaystyle \mu }$يمثل أيضًا الوسيط والمنوال للتوزيع. وبما أن α < 2 ، فإن تباين توزيع هولتسمارك لانهائي. ^{[ 6 ]} جميع العزوم العليا للتوزيع لانهائية أيضًا. ^{[ 6 ]} ومثل التوزيعات المستقرة الأخرى (باستثناء التوزيع الطبيعي)، نظرًا لأن التباين لانهائي ، فإن التشتت في التوزيع ينعكس في معامل المقياس ، c. وثمة طريقة بديلة لوصف تشتت التوزيع وهي من خلال العزوم الكسرية. ^{[ 6 ]}

بشكل عام، يمكن اشتقاق دالة كثافة الاحتمال ، f ( x ) ، لتوزيع احتمالي مستمر من دالته المميزة عن طريق:

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.}$$

لا تمتلك معظم التوزيعات المستقرة صيغة مغلقة معروفة لدوال كثافة الاحتمال الخاصة بها. التوزيعات الطبيعية ، وكوشي ، وليفي هي فقط التي تمتلك صيغًا مغلقة معروفة بدلالة الدوال الأولية . ^{[ 1 ]} يُعد توزيع هولتسمارك أحد التوزيعين المستقرين المتناظرين اللذين يمتلكان صيغة مغلقة معروفة بدلالة الدوال فوق الهندسية . ^{[ 1 ]} عندما${\displaystyle \mu }$إذا كانت قيمة تساوي صفرًا ومعامل المقياس يساوي واحدًا، فإن توزيع هولتسمارك له دالة كثافة الاحتمال التالية:

$$\begin{aligned}f(x;0,1)=\frac{1}{\pi}\,\Gamma\left(\frac{5}{3}\right)\;\2F3\left(\frac{5}{12},\frac{11}{12};\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{5}{6};-\frac{4x^6}{729}\right)\\&\quad-\frac{x^2}{3\pi}\;\3F4\left(\frac{3}{4},1,\frac{5}{4};\frac{2}{3},\frac{ {5}{6}},{\frac {7}{6}},{\frac {4}{3}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right)\\&{}\quad {}+{\frac {7x^{4}}{81\pi }}\,\Gamma {\left({\frac {4}{3}}\right)}\;{_{2}F_{3}}\!\left({\frac {13}{12}},{\frac {19}{12}};{\frac {7}{6}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4x^{6}}{729}}\right),\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle {\Gamma (x)}}$دالة غاما و${\displaystyle _{m}F_{n}(\cdot )}$هي دالة فوق هندسية . ^{[ 1 ]} لدينا أيضًا ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;0,1)&=-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~{_{2}F_{2}}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right]\\[2pt]&\quad +{\frac {4}{3^{5/3}}}\left[\operatorname {Bi} '\left(-{\frac \begin{aligned} \right) \cos \left(\frac{2x^{3}}{27} \right) + \frac{x}{3^{2/3} \right) \bi \left(-\frac{x^{2}}{3^{4/3} \right) \sin \left(\frac{2x^{3}}{27} \right) \right], \end{aligned}$$

أين${\displaystyle \mathrm {Bi} }$هي دالة إيري من النوع الثاني و${\displaystyle \mathrm {Bi} '}$مشتقها. حجج${\displaystyle _{2}F_{2}}$الدوال عبارة عن أعداد مركبة تخيلية بحتة، لكن مجموع الدالتين هو عدد حقيقي.${\displaystyle x}$إيجابية، الوظيفة${\displaystyle \mathrm {Bi} (-x)}$يرتبط ذلك بدوال بيسل ذات الرتبة الكسرية${\displaystyle J_{-1/3}}$و${\displaystyle J_{1/3}}$ومشتقها لدوال بيسل ذات الرتبة الكسرية${\displaystyle J_{-2/3}}$و${\displaystyle J_{2/3}}$لذلك، يمكن للمرء أن يكتب ^{[ 8 ]}

$$\begin{aligned}f(x;0,1)&=\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\cos \left(\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-2/3}{\left(\frac {2x^{3}}{27}}\right)}+J_{2/3}{\left(\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&+\frac {4x^{2}}{3^{7/2}}}\sin \left(\frac {2x^{3}}{27}}\right)\left[J_{-1/3}{\left(\frac {2x^{3}}{27}}\right)}-J_{1/3}{\left({\frac {2x^{3}}{27}}\right)}\right]\\[1ex]&-{\frac {x^{2}}{6\pi }}\left[~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};-{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}+~_{2}F_{2}{\left(1,{\frac {3}{2}};{\frac {4}{3}},{\frac {5}{3}};{\frac {4ix^{3}}{27}}\right)}\right].\end{aligned}}}$$